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matemática para estudar.

1. TURMA DO M˘ RIO
Álgebra

Porcentagem

Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b é a razão 0≠
x
100
tal que:
x
100 b
=
a
, e se indica:
x
x%
100
= .
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de
um número, significa multiplicar este número por
x
100
.
Exemplo: 15 % de 200 =
15
. 200 30
100
=
.

Potenciação

Definições

0
nn1
aR a 1
a R e n N a a . a
−
∀∈ ⇒ =
∀∈ ∀∈ ⇒ =


Propriedades

1.
mn mn
a. a a
+
=
2.
m
mn
n
a
a,a
a
−
= ≠
0
n

3.
mn m . n
(a ) a=
4.
nn
(a . b) a . b=
5. (a : b)
n
= a
n
: b
n
, b 0≠
6. a
– n
=
n
1
, a 0
a
≠


Nota: Em geral ()
nn
mm
aa≠

Em geral ()
n
nn
ab a b+≠+

Radiciação

Propriedades

1.
nn
a . b a . b=
n

2.
nnn
a : b a : b ,b 0= ≠
3. ()
m
mnn
aa=

4.
m n . mn
aa=
5.
m
mn n
aa=

6.
n . pm . p mn
aa=
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2. Produtos notáveis
(a+b)(a–b)=a
2
-b
2
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
(a–b)
2
=a
2
–2ab+b
2
(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b + 3ab
2
+b
3
(a–b)
3
=a
3
–3a
2
b + 3ab
2
–b
3
(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2(ab + ac + bc)
Fatoração
ab + ac = a(b+c)
ab+ac+db+dc=a (b+c)+d(b+c)=(b+c)(a+d)
a
2
+2ab+b
2
=(a+b)
2
a
2
–2ab+b
2
=(a–b)
2
ax
2
+ bx + c = a.(x –
1
)(x –
2
), onde
1
e
2
são as raízes de ax
2
+bx+c=0.
a
3
+3a
2
b + 3ab
2
+b
3
=(a+b)
3
a
3
–3a
2
b + 3ab
2
–b
3
=(a–b)
3
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
–ab+b
2
)
a
3
–b
3
=(a–b)(a
2
+ab+b
2
)
a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+ac+bc)=(a+b+c)
2
Números naturais
Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois
divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.
Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor
natural comum entre eles for 1.
Quantidade de divisores naturais de um número natural
Sen=a
p
.b
q
.c
r
.d
s
..., então n tem (p+1)(q+1)(r+1)... divisores positivos, sendo n um
número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.
Seqüências
Definições
Seqüência real é toda função f : IR,ondeI=N*ouI={1,2,3,... ..., n}
Se I = N*, a seqüência é chamada infinita.
Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita.
2

3. Progressão Aritmética (PA)
Definição
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo
encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA.
Conseqüência da definição:r=a
2
–a
1
=a
3
–a
2
=a
4
–a
3
= ... ... = a
n+1
–a
n
=r
Classificação das PA´s
Uma PA de números reais pode ser:
I.crescente: (razão positiva): r >0a
n+1
>a
n
II.decrescente (razão negativa):r<0a
n+1
<a
n
III.constante (razão nula):r=0a
n+1
=a
n
Fórmula do termo geral de uma PA
Termos eqüidistantes em PA
Na PA genérica: PA(a
1
,a
2
,a
3
,... ..., a
p-1
,a
p
,a
p+1
,... ...,a
n
), tem-se:
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA(a
1
,a
2
,a
3
,... ..., a
n
,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por:
3
Seja a PA(a
1
,a
2
,a
3
, ... ... a
n
). Então:
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer a
n
, a partir de um termo de ordem p
(a
p
), poderemos utilizar a regra:
an=a1+(n–1)r, nN*
an=ap+(n–p)r, n,pN*
a
aa
2
p
pk pk



com p, kIN
*
S
(a a ) n
2
n
1n

4. Progressão Geométrica (PG)
Definição
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G.
Conseqüência da definição:
Se a
n
0, então q =
a
a
n1
n

; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo
qualquer pelo seu antecessor.
Classificação das PG´s:
Uma PG pode ser:
I.Crescente: quando a
n+1
>a
n
Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...),q=2
II.Decrescente: quando a
n+1
<a
n
Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...),q=1/3
III.Constante: quando a
n+1
=a
n
Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...),q=1
IV.Alternante: quando a
1
0eq<0
Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a
1
=2eq=–2
V. Não decrescente: quando a
1
<0eq=0
Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a
1
=–2eq=0
VI.Não crescente: quando a
1
>0eq=0
Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a
1
=5eq=0
Fórmula do termo geral da PG
Termos eqüidistantes em PG
Na PG genérica: PG(a
1
,a
2
,a
3
,... ..., a
p-1
,a
p
,a
p+1
,... ...,a
n
), então:
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)
4
Seja a PG genérica: PG(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
, ......). Assim:
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer a
n
, a partir de um termo de ordem p
(a
p), poderemos utilizar a regra:
an=a1q
n–1
,nN*
an=apq
n–p
, n,pN*
(ap)
2
=(ap–k) (ap+k), p,kN*
Seja a PG(a1,a2,a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pno produto de seus n primeiros
termos. Assim: P
n=a1
n
q
n(n 1)
2

ou Pn=(a1an)
n
2

5. Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)
Soma dos termos de uma PG infinita (S)
Seja a P.G. = (a
1
,a
2
,a
3
,...,a
n
,...)derazãoqeasoma de seus infinitos termos
Sn=a
1
+a
2
+a
3
+...+a
n
+...(série)
Quandolim S = S
n
n

existe e é finito, dizemos que a série converge para S.
Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode
determinar tal soma). Se–1<q<1, pode-se demonstrar que:lim S = S
n
n

=
a
1q
1

Função Exponencial
f(x) = a
x
; a>0 e a 1Im
f
=IR

*
D
f
=IR
Propriedades de potência
1. a
m
.a
n
=a
m+n
2. a
m
:a
n
=a
m–n
,a0
3. (a
m
)
n
=a
m.n
4.
a
mn
=a
mn
,nIN/n>1
5. a
–n
=
1
a
n
,a0
5
0
1
x
a>1
função crescente
0 x
0<a<1
função decrescente
yy
Sn=
a(q 1)
q1
1
n

Sn=na 1
Seja (a
1
,a
2
,a
3
, ..., a
n
, ...) uma PG de razão q e indiquemos por S
n
a soma de seus n
primeiros termos. Assim:
Se a PG não for constante, ou seja q1 teremos:
Se a PG for constante, ou sejaq=1teremos:

6. Equação exponencial
a
f(x)
=a
g(x)
f(x) = g(x)
Inequação exponencial
a
f(x)
>a
g(x)
f(x) > g(x), se a >1
a
f(x)
>a
g(x)
f(x) < g(x), se0<a<1
Logaritmo
Definição
log
b
a=xa=b
x
com a>0,0<b 1
Propriedade de logaritmo
1. log
c
(a.b) = log
c
a + log
c
b;a>0,b>0,0<c 1
2. log
c
a
b





= log
c
a – log
c
b;a>0,b>0,0<c 1
3. log
c
a
m
=m.log
c
a;a>0,0<c 1emIR
4.log a
c
m=
1
m
. log
c
a;a>0,0<c 1emIR*
Função Logarítmica
f(x) = log
a
x,a>0ea 1Im
f
=IR
D
f
=IR

*
6
0011 xx
a>1
função crescente
0<a<1
função decrescente
yy

7. Geometria Plana
Relações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no círculo
PAPB = PCPD PA PB = PCPD (PT)
2
=PAPB
Lei dos
Lei dos cossenos
7
A
B
C
D
P
T
B
A
P
A
B
C
DP
h
mn
a
b c
h
2
=mnb c=ah
b
2
=ama
2
=b
2
+c
2
(Pitágoras).
c
2
=an
a
sen
b
sen
c
sen
2R


a
2
=b
2
+c
2
–2bccos
b
2
=a
2
+c
2
–2accos
c
2
=a
2
+b
2
–2abcos

8. Teorema de Tales
a
1
// a
2
// a
3
// .....
Teorema da bissetriz interna
Teorema da bissetriz externa
Semelhança de triângulos
a
x
b
y
c
z
H
h
k
Área ABC
Área PQR
k 2


8
AB
A'B'
BC
B' C'
CD
C'D'
AC
A'C'
AD
A'D'

xy
b c
S
A
b
x
c
y

c
y
x
b c
C S
B
A
b
x
c
y

b
c
A
a
BC
H y
z
P
x
Q R
h

9. Arcos e ângulos
=a
a
2

a+b
2

a–b
2

a
2
Razões trigonométricas
Comprimento da circunferência
Base média de triângulo
9
b
sen
b
a
sen
c
a

cos
c
a
cos
b
a

tg
b
c
tg
c
b

R
C2R
MN

//BC

MN =
BC
2

10. Base média de trapézio
Baricentro de triângulo
Polígonos convexos
Sendo n = número de lados;
d = número de diagonais;
S
i
= soma dos ângulos internos e
S
e
= soma dos ângulos externos,
temos:
d=
n(n – 3)
2
S
i
=(n–2)180ºe S
e
= 360º
Áreas
Retângulo Quadrado Paralelogramo
Triângulo Trapézio
10
MN

//AB

MN =
AB+CD
2

11. Losango 1 Losango 2
Fórmulas especiais para área do triângulo
A
3
4


2
A
bc
2


A p(p – a) (p – b)(p – c)
em quep
abc
2


A
1
2
absen A=rp A
abc
4R


p
abc
2


Círculo
Setor circular
A
R
2


360º A
R
2


2 A
R


2
em radianos
11
C
B A
(AC) (BD)
Los


2
R
AR
2

12. Análise Combinatória / Probabilidades
Número binomial:
n
p
=
n!
p!(n – p)!
=C =
combinação de n objeto
n, p








s distintos
agrupados de p em p








Teorema binomial:(a+b)
n
=
n
0








a
n
b
0
+
n
1








a
n–1
b
1
+...+
n
n








a
0
b
n
=
n
i
ab
io
n
n–i i










Arranjo:A
n, p
=
n!
(n – p)!
n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p
Permutação de n objetos distintos:P
n
=n!
Probabilidade de ocorrer um evento =
n.o de elementos do conjunto evento
n.o de elemento
s do espaço amostral
=
n(A)
n(E)
=P(A)
probabilidade de ocorrer
oeventoA
eemse








guida
ocorrer o
evento B
=








=
probabilidade de
ocorrer o evento A
x
prob








abilidade de
ocorrer o evento B
que A ocorsabendo reu










Teorema da multiplicação
Exemplo:
Conjuntos, Funções e Inequações
Relação
Considerando dois conjuntosAeB,não-vazios, chamamos relação (binária) deAeBa
qualquer subconjunto do produto cartesiano(AxB={(x; y) / xAxB}).
Definição
Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo xA, existe um único y
B tal que (x; y)f. (Indica-se:f:AB).
12
Permutação de elementos repetidos:P n
,,=n!
!!!
,
objetos iguais entre si
objetos iguais entre si
objetos iguais entre si
2 bolas azuis
5 bolas verdes
P
tirar uma bola azul e em
seguida uma bola azul








=
2
7
1
6

chance de retirar uma
bola azul sabendo que
já saiu uma azul

13. Exemplo Contra-exemplo
Tipos de função
Função crescente e decrescente
Uma função f é crescente em AD
f
(x
1
<x
2
f(x
1
) < f(x
2
),x
1
,x
2
A).
Uma função f é decrescente em AD
f
(x
1
<x
2
f(x
1
) > f(x
2
),x
1
,x
2
A).
Função injetora, sobrejetora e bijetora
Umaf:AB é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em
B(x
1
,x
2
A, x
1
x
2
f(x
1
)f(x
2
)).
Umaf:AB é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A
(Im(f) = CD(f) ouyB,xA / f(x) = y)
Uma função def:AB é bijetora se é injetora e sobrejetora.
Exemplos:
Função par e ímpar
Uma função f : AB é parxA, f(x) = f( – x).
Uma função f : AB é ímparxA,f(x)=–f(–x).
Função periódica
Uma função f : AB é periódica de período pxA, f(x + p) = f(x),p>0.
Função composta
Dadas duas funçõesfeg,podemos obter uma outra função fog, tal que
fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g.
13
1
2
3
4
5
AB
f
f é sobrejetora
e não é injetora
3 4 6
1
2
3
AB
f
f é bijetora
1
2
3
4
5
6
AB
f
f não é injetora
e nem sobrejetora
1 3 5
4
3
2
1
AB
f
f é injetora
e não é sobrejetora
1 2 5
1
2
3
3
4
6
4
5
6
AA BB
f g
f é função g não é função
Domínio def=D(f)=A={1,2,5}
Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4}
Contradomínio = CD(f)=B={3,4,6}
4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5)
4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)

14. Função inversa
Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x),f:AB a função f
–1
:BA, tal que
f
–1
(y)=x.
Observação:
Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática
y=f(x)
a. troca-se x por y e y por x;
b. coloca-se o novo y em função do novo x.
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Propriedades dos determinantes
a. det(A
t
) = det(A).
b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero.
c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica
multiplicado por –1.
d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é
igual a zero.
e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser
colocado em “evidência”.
f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = k
n
.det(A)
g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B)
Atenção: em geral, det(A+B)det(A) + det(B)
h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma
matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna)
paralela multiplicada por uma constante.
i. Matriz Triangular:A
10 00
–3 4 0 0
23–50
56 78
det(A) 1 4(–5) 8






!
"
#
#
#
#

Multiplicação de matrizes
ab
cd
xy
zw
=
ax+bz ay+bw
cx+dz cy+dw

























a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um
sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D0,ondeDéodeterminante da
matriz dos coeficientes de tal sistema.
b. Para os casos ondeD=0,para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é
impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando
ordenadamente as incógnitas das equações.
A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a0; tem infinitas
soluções paraa=0eb=0enãotem solução paraa=0eb 0.
14

15. Trigonometria
Relações Fundamentais Conseqüências x
k
2








sen
2
x + cos
2
x=1,xR
cotgx
1
tgx

tgx
senx
cosx
x
2
k







1+tg
2
x = sec
2
x
cotgx
cosx
senx
xk ($ 1 + cotg
2
x = cossec
2
x
secx
1
cosx
x
2
k







cos x
1
1+ tg x
2
2

cossecx
1
senx
xk () sen x
tg x
1+ tg x
2
2
2

Fórmulas de adição
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
tg(a b)
tg a tg b
1– tg a tg b



tg(a b)
tg a tg b
1+ tg a tg b
–
–


Fórmulas de multiplicação
15
Arcos duplos
sen 2a = 2 sen a cos a
cos 2a =
cos a – sen a
ou
2cos a – 1
ou
22
2
1– 2sen a
2
%
&
'
'
'
(
'
'
'
tg 2a =
2tga
1– tg a
2
Arcos Triplos
sen 3a = 3 sen a – 4 sen
3
a
cos 3a = 4 cos
3
a – 3 cos a
tg 3a =
3tga – tg a
1– 3tg a
3
2

16. Fórmulas de divisão
sen
x
2
=
1– cos x
2
) cos
x
2
=
1+ cos x
2
) tg
x
2
=
1– cos x
1+ cos x
)
Fórmulas de transformação em produto
cos p+cos q= 2 cos
p+q
2
cos
p–q
2
cos p – cos q= –2 sen
p+q


2
sen
p–q
2
sen p+sen q= 2 sen
p+q
2
cos
p–q
2
sen p – sen q=


2sen
p–q
2
cos
p+q
2
tg p+ tg q=
sen(p+q)
cos p cos q
tg p


–tgq=
sen(p – q)
cos p cos q
Equações trigonométricas fundamentais
sen= sen=+2kou=(–)+2k
cos= cos=)+2k
tg=tg=+k
Funções circulares inversas
y = arc senxseny=xe–

2
*y*

2
y = arc cosxcosy=xe0*y*
y = arc tgxtgy=xe–

2
<y<

2
16

17. Geometria Espacial
O volume de um prismaeodeumcilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da
área da base(B)pela altura(H). E o volume de uma pirâmideeodeumcone reto (ou
oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura.
Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raioRe alturaHobtemos um
retângulo de lados 2R e H. Então a área lateral (A
L
) do cilindro reto é:
Planificando a superfície lateral de um cone reto de raioRe geratrizgobtemos um setor
circular de raioge arco2R. Então a área lateral do cone reto é.
O volumeVe a áreaAde uma esfera de raioRsão dados por:
17
B
H H
R
V=BH
B
H H
g
R
V= BH
1
3
—
A
L
= AsetorA
L
=
2
2
Rg
A
L
=Rg
Sendoa medida, em graus, do setor,
temos:
A
setor
=
2
2
Rg
=

360º
g 2
R=

360º
g
R A=4R
2
eV=
4
3
R3

18. Números Complexos
Forma algébrica
Nomenclatura
z=a+bi(a,bIR)
i = unidade imaginária
a = Re (z) = parte real de z
b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z
Exemplos de números complexos
z=3i=0+3i= número imaginário puro.
z=–6=–6+0i= número real.
z=a+bi(b0) = número imaginário ou número complexo não real.
Potências inteiras de i (i
k
,kZZ )
i
0
=1 e i
4k
=1
i
1
=i e i
4k+1
=i
4k
.i
1
=i
i
2
=–1 e i
4k+2
=i
4k
.i
2
=–i
i
3
=–i e i
4k+3
=i
4k
.i
3
=–i
Conjugado dez=a+bi(a,b IR)
z
=a–bi
Propriedades
1.z+w
=z+w
2.z.w=z.w
3.
z
w
=
z
w






4.z=z)
nn
( (nZZ )
5.(z)=z
Produtos e divisões notáveis
1. (1 + i)
2
=2i
2. (1 – i)
2
=–2i
3. (1+ i)(1 – i) = 2
4.
1+ i
1– i
=i
5.
1– i
1+ i
=–i
18

19. Igualdade na forma algébrica
Representação no plano de Argand-Gauss
Propriedades
1.|z|
2
=z.z
2.|z.w|=|z|.|w|
3.
z
w
=
z
w
(w 0)
4.|z
n
|=|z|
n
,nZZ
5.|z+w| *|z|+|w|
6.|z|=|z
|
Forma trigonométrica de zC*
z=a+bi=|z| (cos isen )++
|z|=ab
22
e
cos =
a
z
sen =
b
z
+
+
%
&
'
'
(
'
'
Igualdade na forma trigonométrica
|z|( cos + i sen
z
++$

=|w|( cos + i sen
w
$

19
a+bi=c+di a = c e b = d (a, b, c, d IR)
z=a+bi=(a,b)=P(a,b IR)
P = afixo de z
d
op
= |z| =
a+b
22
= módulo de z
++k.2= arg(z) = argumento de z
(0*+<2)
+= argumento principal de z
0
z=w
|z| = |w| e
+=+k.2
kZZ

20. Operações na forma trigonométrica
Sejam z = |z| (cos isen )++
z
1
=|z
1
|(cos isen )++
11

z
2
=|z
2
|(cos isen )++
22

Multiplicação
z
1
.z
2
=|z
1
|.|z
2
| . [cos (+
1
++
2
) + isen (+
1
++
2
)]
Divisão
z
z
1
2
=
|z
|z
1
2
|
|
[cos (+
1
–+
2
) + isen (+
1
–+
2
)]
Potenciação
z
n
= |z|
n
. [cos (n+) + isen (n+)]
Radiciação
z=w= z cos
n
+k
n
+i sen
n
+k
n
n
C
k
n + +
















22 !
"
#
, (k=0,1,2,...,n–1)
Propriedades
1. w
0
+w
1
+w
2
+...+w
n–1
=0
2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais.
3. O raio dessa circunferência é
|z|
n .
4. O “ponto de partida” (w
o
) é o arco
+
n
e o “pulo’ de uma raiz para outra é de
2
n
.
Equação binômia em C
ax
n
+b=0 (a 0)
ax
n
=–bx
n
=
–b
a
x=
–b
a
n
C =w
k
, (k=0,1,2,...,n–1)
Geometria Analítica
Distâncias
De dois pontosAeB
d(x–x)(y–y)
AB B A
2
BA
2
Do ponto P à reta (r) ax + by+c=0
d
|ax + by + c|
a+b
PP
22

20

21. Pontos especiais
a.
M divide AB na razão
AM
MB
=r
r=
x–x
xx
=
y–y
yy
MA
BM
MA
BM
––
Se M é ponto médio de AB, M =
x+x y+y
ABAB
22
,






b. Ponto do eixo x: A = (a, 0)
Ponto do eixo y: B = (0, b)
Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k)
Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares:D=(k,–k)
Baricentro doABC: G =
xxx
3
yyy
3
ABCABC




,
Área doABC
S=
|D|
2
onde D =
xy1
xy1
xy1
AA
BB
CC
Observação: Se A,BeCsãocolineares,D=0.
Equação de circunferência
(x – x
C
)
2
+(y–y
C
)
2
=r
2
Centro C e raio r, equação reduzida.
Equação de reta
Geral: ax + by+c=0 (r)
Conhecendo 2 pontosAeBder:
xy1
xy1
xy1
AA
BB
=0
Reduzida: y = mx + k
21
m... coeficiente angular de r
k.... coeficiente linear de r
m=tg(não existe, se m é vertical)
Conhecendo 2 pontosAeBdareta,
m
y–y
x–x
BA
BA

22. Paralelas / perpendiculares
r//sm
r
=m
s
Exemplos:
Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k
Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y+k=0
r,sm
r
.m
s
=–1
Exemplos:
Perpendicular a y =
2
3
x–3 é y=–
3
2
x+k
Perpendicular a 2x + 5y–6=0 é 5x–2y+k=0
Observação:
Se P pertence a ax + by+c=0,então ax
P
+by
P
+c=0.
22