Transformaciones lineales

Transformaciones Lineales diapositivas.

1. Republica Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Sede Barcelona, Edo Anzoátegui Sección YV Ingeniería Eléctrica Transformaciones Lineales Alumno: Marco Antonio López Gil C.I: 18.299.139 Barcelona, 23 de Marzo de 2017

2. Transformaciones Lineales Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en la Algebra Lineal Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura es decir, con la operación y la acción de estos espacios, Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares. Sean (V, +V, ·V) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales. Una función f : V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple: i) f(v +Vv0) = f(v) +W f(v0) ∀ v, v0 ∈ V. ii) f( λ · Vv) = λ · W f(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.

3. Observación: f : V → W es una transformación lineal, entonces f(0V ) = 0W . En efecto, puesto que f(0V ) = f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ), entonces 0W = f(0V ) + (−f(0V )) = ³f(0V ) + f(0V )´+ (−f(0V )) = = f(0V ) + ³f(0V ) + (−f(0V ))´= f(0V ) + 0W = f(0V ).

4. Método Gauss Jordán. El Método de Gauss – Jordán o también llamado eliminación de Gauss – Jordán, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial. Para resolver ecuaciones lineales de cualquier tamaño se puede utilizar el Método de Gauss-Jordán . ¿En que consiste este método? Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otra equivalente utilizando las siguientes operaciones. 1. Intercambiar dos ecuaciones cualesquiera 2. Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero. 3. Multiplicar una ecuación por un número y sumarla a otra ecuación.

5. Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones el objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones, las llamadas operaciones elementales: Multiplicar la ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones Suma a una ecuación un múltiplo de la otra. Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

6. Núcleo Sea L: W una transformación lineal, entonces el núcleo de L notado por N(L), es el subconjunto de V, que contiene todos los elementos veV , tales como que sus imágenes iguales a cero. Así N(L)={ve V/L (v)= 0eW} En matemática, el núcleo de un operador A, denotado como Ker A o Nucl A, es el conjunto de todos los vectores cuya imagen sea el vector nulo. Si A es una matriz su núcleo es un subespacio vectorial del espacio vectorial total. La dimensión de este subespacio se llama nulidad de A y es el número de columnas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz A. El teorema del rango establece que el rango de cualquier matriz más su nulidad es igual al número de columnas de la matriz. Considérese la función f(x, y)= x−y, definida para x e y números reales, que es lineal ya que se cumple que f(x + z , y + w )=( x + z )−( y + w )=f(x, y)+f(z, w). Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden, en concreto el conjunto:

7. Si A es una matriz su núcleo es un subespacio vectorial del espacio vectorial total. La dimensión de este subespacio se llama nulidad de A y es el número de columnas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz A. El teorema del rango establece que el rango de cualquier matriz más su nulidad es igual al número de columnas de la matriz. Imagen: Sea T:E F transformación línea. La imagen de T, escrito Im T, es el conjunto de las imágenes de los puntos de E en F. Lm t=

8. Rango y Nulidad. Los subespacios pueden ser utilizados para describir las características de una matriz A de m x n. Existen dos subespacios importantes que se pueden asociar con la matriz A: el espacio nulo (kernel o núcleo) y el rango (o imagen). Sea la matriz: Que define una transformación lineal y así . El espacio nulo constará de todos los vectores que cumplan con la condición Esto quiere decir que:

9. Relación entre Matrices con las transformaciones linéales. Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal. Sean T:V→W una transformación lineal, B={v1, ..., vn} una base de V, C={w1, ..., wm} base de W. Para calcular la matriz asociada a T en las bases B y C debemos calcular T(vi) para cada i=1,...,n y escribirlo como combinación lineal de la base C: T(v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., T(v n )=a1nw1+ ...+amn wm. La matriz asociada se nota C[T]B y es la siguiente: Como un vector de  W  se escribe de forma única como combinación lineal de elementos de  C , la matriz es única. Gracias al teorema mencionado en la sección  Teoremas básicos de las transformaciones lineales en espacios con dimensión finita , sabemos que dada cualquier elección de  u 1 , ...,  u n  existe y es única la transformación lineal que envía  v i  en  u i . Por lo tanto, dada  A  cualquier matriz  m  ×  n , existe y es única la transformación lineal  T : V → W  tal que  C  [ T ]  B = A .

10. Como un vector de W se escribe de forma única como combinación lineal de elementos de C, la matriz es única. Gracias al teorema mencionado en la sección Teoremas básicos de las transformaciones lineales en espacios con dimensión finita, sabemos que dada cualquier elección de u1, ..., un existe y es única la transformación lineal que envía Además, las matrices asociadas cumplen que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para cualquier a,b∈ℝ, T,S∈ L(V,W). Por esto es que la aplicación que hace corresponder cada transformación lineal con su matriz asociada es un isomorfismo entre L(V,W) y Mn×mC (K). Si nos restringimos al caso V=W, C=B, tenemos además que esta aplicación es un isomorfismo entre álgebras.

11. Conclusión He determinado que en dicha investigación sobre las transformaciones lineales son operaciones que se realizan sobre un elemento del sub espacio, funciones que siempre estarán en la algebra lineal, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro, hay que recordar que las transformaciones lineales son funciones y como tales pueden ser suryectivas, inyectivas y biyectivas, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar y se denomina transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacio vectoriales que sean V y W sobre el mismo cuerpo K , en el método Gauss Jordán es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas o en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente, la relación que hay en toda matriz representa una transformación lineal, son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica  Clasificación de las transformaciones lineales Monomorfismo y que estas herramientas del algebras las utilizare como herramientas en mi formación profesional.