Transformaes Geomtricas Movimentos no Plano.pptx

SLIDE SOBRE TRNASFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS PARA ALUNOS DE ENSINO FUNDAMENTAL 9º ANO8º

1. TransformaçõesGeométricas: Movimentos no Plano Exploramos reflexão, translação e rotação de figuras.

2. Sumário • Introdução às Transformações Geométricas • Reflexão (em reta e ponto) • Translação de Figuras • Rotação de Figuras • Aplicações e Composição de Transformações

3. Transformações Geométricas: Introdução As transformações geométricas nos permitem mover ou alterar a posição de figuras no plano. Elas mantêm a forma e o tamanho originais, resultando em figuras congruentes. Hoje, vamos relembrar conceitos essenciais como reflexão, translação e rotação. Reflexão de triângulos em um plano cartesiano.

4. Arte e Design Criativo Arquitetura e Engenharia Inovadora As transformações geométricas são essenciais para criar padrões, simetrias e movimentos em obras de arte e design. Observe os mosaicos em pisos ou os padrões repetitivos em papéis de parede, que usam reflexões e translações. Elas permitem a criação de efeitos visuais dinâmicos e harmoniosos, presentes em logos de marcas famosas e estampas de roupas. Na arquitetura, as transformações são usadas para projetar edifícios com fachadas simétricas ou elementos repetidos, como as janelas de um arranha-céu, aplicando translações. Engenheiros as aplicam no design de carros para testar aerodinâmica, na robótica para programar movimentos precisos e em jogos digitais para animações de personagens. Elas garantem precisão e funcionalidade em projetos complexos do nosso dia a dia.

5. Reflexão: O Espelho Geométrico A reflexão é uma transformação que 'espelha' uma figura em relação a uma linha, chamada eixo de reflexão. Por exemplo, um triângulo ABC refletido sobre um eixo vertical cria uma imagem A'B'C' que é invertida, mas mantém exatamente o mesmo tamanho e forma, sendo congruente à figura original. Reflexão geométrica: figuras espelhadas em relação a uma reta.

6. Reflexão geométrica: figura original e sua imagem espelhada. Características da Reflexão (Reta) • Figuras original e refletida são congruentes (mesmo tamanho/forma). • Pontos correspondentes equidistam da reta de reflexão. • A orientação da figura é invertida (como no espelho). • Segmento entre pontos correspondentes é perpendicular à reta.

7. Construindo uma Reflexão (Reta) Para refletir uma figura em uma reta, trace linhas perpendiculares de cada vértice até a reta. Estenda essas linhas com a mesma distância para o outro lado, marcando os novos vértices. A figura resultante, que é congruente à original, pode ser construída com régua e compasso ou softwares como o GeoGebra.

8. Exemplo de Reflexão (Reta) A reflexão sobre uma reta é como se a reta fosse um espelho, criando uma imagem "espelhada" da figura original. A figura refletida, chamada de imagem, mantém o mesmo tamanho e forma, sendo congruente à figura original. Observe como o triângulo é refletido e como a paisagem se duplica na água.

9. Reflexões Duplas em Retas Paralelas O Resultado: Uma Translação! Quando refletimos uma figura em relação a uma reta e, em seguida, refletimos a imagem obtida em relação a outra reta paralela à primeira, observamos um padrão. A composição dessas duas reflexões consecutivas não resulta em uma nova reflexão. Em vez disso, a figura original é movida como se tivesse sido deslizada. A sequência de duas reflexões em retas paralelas é equivalente a uma única translação. A direção dessa translação é perpendicular às retas paralelas, e a distância percorrida é o dobro da distância entre as duas retas. Por exemplo, se as retas estão a 3 cm de distância, a figura final estará a 6 cm da original.

10. Reflexões Sucessivas: Retas Concorrentes O Resultado: Uma Rotação Ao aplicar duas reflexões consecutivas em uma figura, usando duas retas que se cruzam, o resultado final é uma transformação única. Esta transformação é, na verdade, uma rotação da figura original. O ponto onde as duas retas se encontram torna-se o centro dessa rotação. A rotação obtida tem seu centro no ponto de intersecção das duas retas concorrentes. O ângulo de giro dessa rotação é sempre o dobro do ângulo formado entre as duas retas. Por exemplo, se as retas r e s se cruzam formando um ângulo de 45 graus, a figura final estará rotacionada em 90 graus em relação à sua posição inicial.

11. Reflexão em Relação a um Ponto A reflexão em relação a um ponto, ou reflexão pontual, é uma transformação que "vira" a figura 180 graus em torno de um ponto central. Cada ponto da figura original tem seu correspondente na imagem, alinhado com o centro de reflexão e à mesma distância. A figura resultante é congruente à original, mas sua orientação é invertida, como ao virar uma luva do avesso.

12. Características da Reflexão (Ponto) • Figura e imagem são congruentes (mesma forma e tamanho). • Centro é o ponto médio do segmento ponto-imagem. • A orientação da figura é invertida.

13. Construindo uma Reflexão (Ponto) Para refletir uma figura em relação a um ponto, como o ponto P, trace segmentos de cada vértice da figura até P. Em seguida, estenda cada segmento além de P, mantendo a mesma distância. Softwares de geometria dinâmica, como o GeoGebra, facilitam essa construção, mostrando as linhas auxiliares.

14. Exemplo de Reflexão (Ponto) A reflexão em relação a um ponto, também conhecida como simetria central, ocorre quando cada ponto de uma figura é refletido através de um ponto fixo, chamado centro de simetria. A figura original e sua imagem são congruentes, mas com orientação invertida, como se a figura tivesse sido girada 180 graus em torno desse ponto. Podemos observar essa simetria em diversos padrões artísticos e designs.

15. Entenda a translação de figuras geométricas com este exemplo visual. Reflexões Sucessivas (Pontos Diferentes) • Reflexão de uma figura A no ponto P1. • Reflexão da figura resultante A' no ponto P2. • A figura final é uma translação da original. • O deslocamento é o dobro da distância P1P2.

16. Translação: Deslizando a Figura A translação é um movimento em que uma figura 'desliza' em linha reta, mantendo sua forma, tamanho e orientação. Pense em mover um carro em uma estrada reta: ele muda de lugar, mas não gira nem muda de tamanho. A figura transladada é sempre congruente à original, ou seja, idêntica em todos os aspectos. Translação de triângulos: deslizando a figura sem alterar forma ou tamanho.

17. Triângulo transladado: geometria, simetria e transformação. Características da Translação • A figura transladada é congruente à original. • Preserva a orientação da figura (não gira). • Definida por um vetor (direção e distância). • Duas translações em sequência resultam em uma.

18. Construindo uma Translação Para transladar uma figura, você precisa de uma figura original e um vetor de translação que indica a direção e o comprimento do movimento. Aplique esse vetor a cada vértice da figura, desenhando segmentos paralelos e de mesmo comprimento. Conecte os novos vértices para formar a figura transladada, que será congruente à original, apenas em outra posição.

19. Exemplo de Translação A translação move uma figura em uma direção e distância específicas, sem girá-la ou espelhá-la. Por exemplo, um triângulo pode ser transladado 5 unidades para a direita e 2 unidades para cima. A figura original e a figura transladada são congruentes, ou seja, têm o mesmo tamanho e forma, apenas em posições diferentes, como pessoas em uma esteira rolante.

20. Composição de Translações • Aplicar uma translação e, em seguida, outra. • O resultado é uma única translação equivalente. • O vetor final é a soma dos vetores individuais. • Exemplo: mover um carro 5km Leste, depois 3km Leste.

21. Rotação: Girando ao Redor A rotação é uma transformação que gira uma figura em torno de um ponto fixo, chamado centro de rotação. Ela é definida por um ângulo e um sentido (horário ou anti-horário), mantendo a forma e o tamanho da figura original. Pense, por exemplo, nos ponteiros de um relógio girando em torno do seu centro. Rotação e simetria em figuras geométricas no plano.

22. Elementos da Rotação • Centro de Rotação: O ponto fixo do giro. Ex: pino do compasso. • Ângulo de Rotação: Medida do giro. Ex: 90°, 180°. • Sentido da Rotação: Horário (como o relógio) ou anti-horário.

23. Características da Rotação • A figura rotacionada é congruente à original. • Distância de cada ponto ao centro é mantida. • A orientação da figura é sempre preservada. • Todos os pontos giram o mesmo ângulo.

24. Construindo uma Rotação Imagine que você precisa rotacionar um triângulo. Quais informações são indispensáveis e quais instrumentos de desenho você usaria para realizar essa construção passo a passo?

25. Exemplo de Rotação A rotação move uma figura em torno de um ponto fixo, chamado centro de rotação, por um determinado ângulo e sentido. Veja a letra 'L' girando 90 graus no sentido anti-horário em torno de um de seus vértices. A figura rotacionada mantém o mesmo tamanho e forma da original, sendo, portanto, congruente.

26. Composição de Rotações (Mesmo Centro) • As rotações ocorrem em torno do mesmo ponto central. • O ângulo total é a soma dos ângulos individuais. • Exemplo: 30° + 60° resulta em uma rotação de 90°. • Equivale a uma única rotação maior ou menor.

27. Transformações no Nosso Mundo Onde você observa reflexão, translação e rotação no seu dia a dia? Pense em exemplos na natureza, em objetos, na arte ou na arquitetura!

28. Recursos https://www.todamateria.com.br/transformacoes-geometricas/ https://www.youtube.com/watch?v=ZonGcq0ybxk https://pt.scribd.com/document/852868702/Transformacoes-geometricas https://www.geogebra.org/m/wcqpbebk

29. Conclusão • As transformações geométricas movem figuras mantendo forma e tamanho. • A reflexão 'espelha' figuras em relação a uma reta ou ponto. • A translação 'desliza' figuras sem alterar sua orientação. • A rotação 'gira' figuras em torno de um ponto fixo. • Essas transformações são fundamentais em arte, design e engenharia.