Transformations Transmutations And Kernel Functions Vol 2 Heinrich Begehr

Transformations Transmutations And Kernel Functions Vol 2 Heinrich Begehr
Transformations Transmutations And Kernel Functions Vol 2 Heinrich Begehr
Transformations Transmutations And Kernel Functions Vol 2 Heinrich Begehr

1. Transformations Transmutations And Kernel
Functions Vol 2 Heinrich Begehr download
https://ebookbell.com/product/transformations-transmutations-and-
kernel-functions-vol-2-heinrich-begehr-50740848
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

2. Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Transformations Of Knowledge In Dutch Expansion Susanne Friedrich
https://ebookbell.com/product/transformations-of-knowledge-in-dutch-
expansion-susanne-friedrich-46609078
Transformations In Africana Studies History Theory And Epistemology
Adebayo Oyebade
https://ebookbell.com/product/transformations-in-africana-studies-
history-theory-and-epistemology-adebayo-oyebade-48669594
Transformations Of Warfare In The Contemporary World David Jacobson
https://ebookbell.com/product/transformations-of-warfare-in-the-
contemporary-world-david-jacobson-49439304
Transformations Of Populism In Europe And The Americas History And
Recent Tendencies John Abromeit
https://ebookbell.com/product/transformations-of-populism-in-europe-
and-the-americas-history-and-recent-tendencies-john-abromeit-50223326

3. Transformations Of Rural Spaces In Mozambique Cecilia Navarra Cristina
Udelsmann Rodrigues Editors
https://ebookbell.com/product/transformations-of-rural-spaces-in-
mozambique-cecilia-navarra-cristina-udelsmann-rodrigues-
editors-50229914
Transformations Of Pelops Myths Monuments And Cult Reconsidered Andrs
Patayhorvth
https://ebookbell.com/product/transformations-of-pelops-myths-
monuments-and-cult-reconsidered-andrs-patayhorvth-50423096
Transformations In Egyptian Journalism Naomi Sakr
https://ebookbell.com/product/transformations-in-egyptian-journalism-
naomi-sakr-50671214
Transformations Of Global Food Systems For Climate Change Resilience
Addressing Food Security Nutrition And Health 1st Preety Gadhoke
https://ebookbell.com/product/transformations-of-global-food-systems-
for-climate-change-resilience-addressing-food-security-nutrition-and-
health-1st-preety-gadhoke-50732188
Transformations In Biblical Literary Traditions Incarnation Narrative
And Ethicsessays In Honor Of David Lyle Jeffrey 1st Edition D H
Williams Phillip J Donnelly
https://ebookbell.com/product/transformations-in-biblical-literary-
traditions-incarnation-narrative-and-ethicsessays-in-honor-of-david-
lyle-jeffrey-1st-edition-d-h-williams-phillip-j-donnelly-51420302

7. Transformations, transmutations, and kernel Junctions
Volume 2

8. Main Editors
H. Brezis, Universite de Paris
R.G. Douglas, State University of New York at Stony Brook
A. Jeffrey, University of Newcastle upon Tyne (Founding Editor)
Editorial Board
R. Aris, University of Minnesota
G.I. Barenblatt, University of Cambridge
A. Bensoussan, INRIA, France
S. Bloch, University of Chicago
B. Bollobds, University of Cambridge
S. Donaldson, University of Oxford
J. Douglas Jr, Purdue University
R.J. Elliott, University of Alberta
R.P. Gilbert, University of Delaware
R. Glowinski, Universite de Paris
K.P. Hadeler, Universitat Tubingen
D. Jerison, Massachusetts Institute of Technology
K. Kirchgassner, Universitat Stuttgart
B. Lawson, State University of New York at Stony Brook
W.F. Lucas, Claremont Graduate School
S. Mori, Kyoto University
L.E. Payne, Cornell University
G.F. Roach, University of Strathclyde
B. Simon, California Institute of Technology
S.J. Taylor, University of Virginia

9. Pitman Monographs and
Surveys in Pure and Applied Mathematics 59
Transformations,
transmutations, and
kernel functions
Volume 2
Heinrich Begehr
Freie Universitttt Berlin
and
Robert P Gilbert
University of Delaware
@
CRC Press
Taylor & Francis Group
Boca Raton London New York
CRC Press is an imprint of the
Taylor & Francis Group, an informa business
A CHAPMA N & HALL BOO K

10. AMS Subject Classification: (Main)35-02, 35J25, 35J40
(Subsidiary)30G30, 31B30, 33A45, 35A20, 35J55,
35K22, 35M05, 45E05
First published 1993 by Longman Scientific & Technical
Published 2021 Chapman & Hall/CRC Press
Taylor & Francis Group
6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300
Boca Raton, FL 33487-2742
© 1993 by Taylor & Francis Group, LLC
Chapman & Hall/CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business
No claim to original U.S. Government works
ISBN 13: 978-0-582-09109-2 (hbk)
ISSN 0269-3666
This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources.
Reasonable efforts have been made to publish reliable data and information, but the author and
publisher cannot assume responsibility for the validity of all materials or the consequences of
their use. The authors and publishers have attempted to trace the copyright holders of all material
reproduced in this publication and apologize to copyright holders if permission to publish in this
form has not been obtained. If any copyright material has not been acknowledged please write
and let us know so we may rectify in any future reprint.
Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted,
reproduced, transmitted, or utilized in any form by any electronic, mechanical, or other means,
now known or hereafter invented, including photocopying, microfilming, and recording, or in
any information storage or retrieval system, without written permission from the publishers.
For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.
copyright.com(http://www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc.
(CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit
organization that provides licenses and registration for a variety of users. For organizations that
have been granted a photocopy license by the CCC, a separate system of payment has been
arranged.
Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and
are used only for identification and explanation without intent to infringe.
Visit the Taylor & Francis Web site at
http ://www.taylorandfrancis.com
and the CRC Press Web site at
http ://www.crcpress.com
British Library Cataloguing in Publication Data
A catalogue record for this hook is
available from the British Library
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
A catalog record for this hook is available

11. Dedicated to our children
Birgit, Astrid, Fabian
and
Jennifer

13. Preface
Volume one of this book gives some applications of complex analytic methods in plane
elasticity and for boundary value problems of elliptic equations, presents some recent
results on Hele Shaw flows and the transmutation theory and finally reports on the
Bergman-Vekua treatments of elliptic equations with analytic coefficients. In this
second volume the last four chapters are included.
Chapter VI continues the development of the theory of the kernel function begun
in Chapter II, considering in the first section kernel functions for higher-order sys-
tems. In section 2 the theory of bianalytic functions due to Hua Loo Keng and his
students Lin Wei and Wu Ci-Quian is capsuled. The theory of first-order systems of
composite type, founded by A. Dzhuraev, and apparently independently in a thesis by
a Ph. D. student [Vidi69] of W. Haack, is an important subject in its own right. This
material provides an interesting application of the Vekua theory of generalized ana-
lytic functions. Section 4 reports on some of the work by Kiihnau and his students on
generalized Bel tram i equations, including applications to quasi conformal mappings.
Section 5 includes further results on the theory of kernel functions and recent results
due to Gilbert a.ncl Lin Wei concerning first-order systems with analytic coefficients.
As one of the main tools of complex analytic methods in partial differential equations
in the plane is the method of singular integral equations, it is natural that a section
is devoted to this material. The numerical treatment of the integral equations with
Cauchy kernels has become an active field due to the efforts of Profidorf, Wendland,
their students, and others. In the final section of this chapter the classification prob-
lem of first-order elliptic systems in the sense of B. Bojarski [Boja66] are presented.
Chapter VII contains a detailed discussion of the envelope method for the locating
of singularities of elliptic equations plus some applications of the method to physical
mathematics. The work is then divided into two subareas; one is devoted to a study
of the singularities of certain special classes of differential equations, and the other to
the singularities of infinite series of special functions. Many of the results in one of
these categories may be transformed into results in the other category, and vice versa.
The Nehari theorem concerning the singularities of Legendre series and many of its
generalizations by Gilbert, Howard, McCoy, Walter, and Zayed are given. Indeed, a
table indicating the type of series, the generalizations with respect to Nehari's result
and one of the authors may be found in this chapter.
In a sense the material of Chapter VIII should be quite different from the pre-
ceding material; however, it is surprisingly similar. Again our approach is function
theoretic, thai is analytic. It is shown how many representations of solutions for the
meta- and pseudoparabolic equations may be obtained using analytic techniques that
were primarily elliptic in nature.

14. The last chapter reviews of some new results in Clifford analysis, a topic of im-
portance in mathematical physics [HesoS4], [Chco86] and quickly developing in recent
years. For a basic book see [Brds82].
As for volume one the chapters for this volume had to be completely retyped
because the wordprocessors in Newark and Berlin turned out to use not compatible
languages. This was done by Annette Elch Miihlenfeld, nee Link, who also retyped
volume one. She, together with Ute Fuchs, prepared the figures on computers and
made the index. We would like to thank both of them for their excellent work as well
as the staff at Longman Group UK Ltd. for their comprehension and patience.
Berlin and Newark, Delaware
May, 1993
Heinrich Begehr
Freie Universitat Berlin
Robert P. Gilbert
University of Delaware

15. Table of Contents
VI Systems of Elliptic Equations 1
1. Kernel functions for higher-order systems 1
2. Bianalytic functions 11
3. Systems of first-order equations of composite type 28
4. Kernel functions for a complex first-order equation 56
5. Systems of first-order equations with analytic coefficients 71
6. Numerical treatment of singular integral equations 81
7. Remarks and further references 92
VII Singularities of Solutions to Elliptic Equations 95
1. Introduction 95
2. The envelope and pinching methods 104
3. The Bergman-Whittaker operator: singularities of harmonic functions 107
4. Singularities of elliptic equations in the plane 116
5. Singular partial differential equations 128
6. Solutions having distributinal boundary values 138
7. Remarks and further references 142
VIII Evolutionary Equations 151
1. One space dimension 152
2. Two space dimensions 158
3. Systems 173
4. Boundary value problems for pseudoparabolic systems 184
5. More than three space variables 192
6. A hyperbolic differential equation 206
7. Remarks and further references 209
IX Clifford Analysis 215
1. A concise introduction to Clifford Analysis 215
2. Remarks and further references 237

16. Heinrich Begehr and Robert Gilbert
• References and Further Reading 241
• Index of Names 259
• Index of Subjects 263

17. VI Systems of Elliptic Equations
1. Kernel functions for higher-order systems
In Chapter II we investigated various properties of the kernel function for second-order
equations of the form
&u-F(x)u = Q, xeDcIRn (1.1)
and actually considered, for x £ JR2, the case of systems where F was an (n x n) matrix
and u a vector, u := (1/1, • • • , wn)T- In this section, which is based on the Technical
Report by [Cogi79], we consider L to be a linear matrix differential operator of the
form
L[U] = Apu + (-l)"Qu, x£DclRn, p>l, (1.2)
and L* to be the formal adjoint, i.e.
L*[v] = Apv + (-l)pQ*v (1.2*)
where Q* is the conjugate transpose of Q, i.e. Q* = QT. For n = 2, the fundamental
singularity for (1.2) or (1.2*) is of the form
S = ap2r2p-2 log -I + s,
r
where a£
2
= -
1
TFT -
2
r
J
rrnri I is the identit
v
y matrix and s is a C2p(D] matrix
- -- I)!] '
except at r = 0, where it is C2p~l(D).
For n > 2, the fundamental singularity is of two different types depending on
whether n is even or odd, and whether n > 2p :
{
n — odd.
n = even, and n > 2p,
(ii) S = a£r2<p-*)logi/ + a, forn = 2fc, fc<p.
Here the coefficients apn are defined to be respectively
(i)' ofn = (-ir - 4) (n - 6) • • - (n - 2p) (p - 1)!,
(ii)' cfn = (-=^- 22»-5(P - 1)! (k - 2)! (p - k) I.

18. Heinrich Begehr and Robert Gilbert
Depending on whether p is even or odd one introduces the Dirichlet inner products:
I (Afcw*Afcu + u*Qv)dx, p = 2k,
JD
(1.3)
I(VAV • VAfcu + u*Qv)dx, p = 2k + l,
JD
For the special case where Q > 0 is scalar, the inner products (1.3) are positive
definite, scalar valued, and one has a Schwarz inequality, namely
{w,v}2 < {u,u}{v,v}. (1.4)
The matrix analogue of the Gutzmer formula ([Nico36], p. 26) is
, -
/ (u*Apw - [Apu*] v) dx = - AV •A'w da, (1.5)
JD dD
which holds for p even or odd. However, the even and odd dimensional cases are more
effectively treated separately. For p = 2k, one has
I u*tfkvdx = / A*u*
JD JD
k-i (1.6)
da.
(In the above two equations da is the induced surface measure.)
From (1.6) one obtains (p = 2k)
{u,v} = f (A VAS; + u'Qv) dx (1.7)
JD
= /
/
(
/
(L*
/rT
[u
n
})*vdx
. j
-
2i-l i
" l ' • u'&'v \ da.
JD
Putting in a fundamental singularity of L*, 5»(P, Q) into (1.5) for u, and performing
the usual residue computation, one obtains Boggio-type representations ([Nico36],
p. 27) for v namely
v(Q) =
dD
(1.8)
•S:(P,Q}tiv(P}\ dap,
2

19. Systems of elliptic equations
(L8)
where p = 2k or p = 2k + 1. Doing this same computation for (1.7) one obtains for
p = 2k
v(Q) = {S.(P,Q),v(P)}
(1.9)
In what follows let use assume Q > 0, i.e. we exclude the case of (vector) polyharmonic
functions, which will be treated later. For Q > 0 (strictly positive definite) Conlan
and Gilbert [Cogi79] define the Green and Neumann matrices G (P, Q), N (P, Q) to be
those fundamental singularities of L [u] = 0 which satisfy respectively the boundary
conditions:
G(P,Q) =
(L10)
and
= ^—A2A:~1Ar(P,Q) = 0, (PedD).
In an analogous manner we may define Gf*(P,Q) and N*(P,Q). This definition of
the Green matrix is similar to the Green functions; see, for example, Vekua [Veku67],
p. 183 and [Agmo65], p. 90.
Let ft be the class of C2p(D(JdD), and ft0 C ft the subspace of functions satisfying
on aD
Finally, let E C ft be the class of strong solutions of L [u] = 0 in D. Putting S* = N*
into the representation (1.9) yields
v (Q) = {N+, v} for all v G ft , (1.13)
and replacing 5* by G* yields
v (Q) = {G,, v} for all v G 0° . (1.14)
3

20. 4 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
On the other hand, (1.9) leads to
EE. (1.15)
The Boggio representation yields the following two surface integral representations
for solutions to the Neumann and Green problems respectively:
**•-*• f
'w (P)
= V / A'-'-'«;(p,<j
"'"' - , d.ie)
and
The formulae (1.13)/ (1.15) suggest that the kernel function for (1.2*) be defined
as
K.(Pt Q) := N.(P, Q) - G,(P, g), (K (P, Q] = N (P, Q) - G(P, Q)), (1.18)
which permits (1.13), (1.15) toxbe combined as
u(Q) = {K.(P,Q),u(P)} = {N.(P,Q)tu(P)}, w€S. (1.19)
We proceed slightly differently for the case where p = 2k + 1; instead of (1.7) we
use
/ u**k+lvdx = - f VA*«*-VA*vdx- / AV^-A'Wa
JD JD JdD vv
( ft n 1 (L20)
J ^L A'u*A2*-'t; - A'u*^- A2i-^ I da,
which leads to
{«,«} =
s
*-i .
i
(1.21)
'u'^-Aiv- — ^k-iu^'v\da
dv dv [

21. Systems of elliptic equations
Using the residue calculation
Km/ -/-&** S*(P,Q)d*p = l, forQeD,
«->°,/|P-Q|=e OVP
we compute
r
v(Q) = {S*,v} +
Jd '
k-1
I I
The representation (1.22) suggests the following boundary conditions for the Green
matrix G*(P, <3), and the Neumann matrix JV»(P, Q) for L*[u] = 0 :
where P G 9.D. We define G and TV for L [u] = 0 in a similar manner.
For p = 2&+1, f)0 is that subclass of fi whose functions satisfy boundary conditions
v = • • • - &kv = 0 , for PedD. (1.23)
Putting S* = TV* into (1.22) yields the usual reproducing property for the Neumann
kernel, namely
= {Nf(P,Q),v(P)}, veSl; (1.13')
on the other hand, putting 5* = G* yields, as before
v(Q) = {G.(P,Q),v(P)}, «eO°; (1.14')
and
if
K.(P,Q) = N.(P,Q)-G.(P,Q), (1.18')
then /^ has the reproducing property
u(Q) - {K.(P,Q),u(P)}
(1.19')
5

22. 6 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
If S* is defined as the class of strong solutions for L*[u] = 0, then one obtains the
analogous formulae for (1.15) and (1.15') [Cogi79]
, K(P,Q)}, u.€E*, (1.15*)
where K is the kernel function for S, i.e. K := N — G.
Rather than introduce G (P, Q) and N (P, Q) as above, one might have sougth reg-
ular solutions g (P, Q) and n (P, Q) of L [u] = 0, which satisfy the respective boundary
conditions (p = 2k) [Cogi79]
(1.24)
and
A*n (P, Q) = -A*S (P, Q), • • • , ^- A2*-'n (P, Q) = --J- A2*'^ (P, Q)
P € dD , Q € D .
The Green and Neumann matrices are then denned as
) = S(P,Q)+g(P,Q), N (P,Q) = S(P,Q) + n(P,Q). (1.26)
Here g and n are referred to as the regular parts of G and N respectively. For
p = 2k + 1, Conlan and Gilbert use instead the following boundary data for g (x,y)
and nz,t/,
g(P,Q) = -
(1,27)
and
5 . t , _ _, d
dvP ^^' dv vP '^" '
(L28)
We consider first the case p = 2fc. Ifv€S*,t(;6E, then (1.7) reduces to

23. Systems of elliptic equations
hence,
k-l
{g.(T,P),g(T,Q)} = -
5A2*-1-' • 1
- a A'(T, P) A-(r, g) [ <faT .
J
However, on &D we have condition (1.24) holding, so
{<7,(r,P),<7(T,Q)} = -]£ / JA2fc-1^:(r,P)^-Ai5(T,g) (1.30)
t=0 v
a^
Using this with (1.8) yields, after conjugation,
g(P,Q) = -{g(T,P),g(T,Q)}
k-i
E
^ J
/
a
d
or
{gf(T,P),g(T,Q}}
k-
(1.31)
where / (P, Q) is termed a "geometric quantity" which depends only on D, once 5 is
known.
7

24. Heinrich Begehr and Robert Gilbert
Next, we consider
{g.(T,P),n(T,Q)} = {n.(T,g), g(T,P)}*
k-1
^-A2i-1-i5*(T,g)A'5(T,(
(1.32)
Similarly,
{n.(T,P),n(T,Q)}
k-l
= - E / ( tf^-'SXT, P) - A'n (T,
^ 79D (
-iS;(T,P)&in(T,Q)}dcrT.
Combining this with (1.8) yields
k-l
n(P,Q) = -
k-l
or
K(T, P), n.(T,.Q)} = n (P, Q) - I (P, Q). (1.34)
8

25. Systems of elliptic equations 9
The above computations lead to an integro-differential equation for K (P, Q). To this
end we note that with / (P, Q) := n (P, Q) + g (P, Q) one has
= {n.(T, P), n (T, Q)} + {n.(T, P), g (T, Q)}
+{g.(T, Q), n (T, Q)} + {g.(T, P), g (T, Q)} (1.35)
= -n(PtQ)-I*(Q,P)-r(Q,-P)-I(P,Q)-g(P,Q)-I(P,Q)
= K(P,Q)-2I*(Q,P)-2I(P,Q).
It is easy to show from (1.8) that
S(Q,P)-S'(P,Q)
fe5 J9D I OUT (136)
r\ "\
A«_1_, n*,m ^ X ^ /^ , ^ X ^ ^
If the fundamental singularity S(P,Q) is symmetric, i.e. if S(Q,P) = 5*(P, Q),
then /(Q,P) = /%P,Q). If ^ CC A and 5(P,Q) := Ni(P,Q), i.e. the Neumann
function for A, then from (1.36), for D = DI, Ni(Q,P) - Nf(P,Q) = 0, by virtue
of the boundary conditions for NI on dD\. Consequently, (1.35) reduces to the forms
of well known scalar identity [Besc53], (see also section 2 in Chapter II):
K(P,Q)-4I(P,Q). (1.37)
Using the reproducing property of the kernel function we have
47 (Q, P) = K (Q, P) - {K,(T, Q), K (T, P) - 41 (T, P)} ,
which may be written as
47(Q,P) = K(Q,P) (1.38)
A3*-'- l(K (T, P) - 47 (T, P)) daT .

26. 10 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
Remark In the second-order case the term K—kl may be viewed as the kernel of an
integral equation, and the equation formally iterated. Up until now only the required
regularity of the /-kernel has been established for the second-order case [Besc53].
For odd index p = 2k + 1 we argue differently. If u G £*, v £ S, then (1.21)
becomes
{u,v} = - I -^-AV
JdD uv
hence
{g.(T,P),g(T,Q)}
:(T, P) Akg (T, Q)
dD
dD
i=0 JdD I
d
k—«' */T
(^ (7
»
,
D
r)
\
l\
A *
o
G/
(1
T
)
/^l
y j
\ v
>
x7^
aer
-
y .
However, if u G E*, one has, by using (1.8'), conjugating and combining with (1.18)
above,
where
I(P,Q) = I AfcS*(r,P)-^A*S(T,Q)d<jT (1.42)
JdD VIST
-A;5*(r, P) - A2i-'5 (T, Q) } daT.

27. Systems of elliptic equations 11
As in the even case we obtain the Dirichlet identities
{g,(T,P),n(T,Q)} = -I(P,Q), (1.43)
and that
{n.(T, P), n (T, Q)} = n(P,Q)-I (P, Q) . (1.44)
Again, letting / (T, P) := n (T, P) + g (T, P), one obtains
{/,(T, P), / (T, Q)} = K(T, P), n (T, Q}} + {n.(T, P), g (T, Q)}
(1.45)
+{<7,(T, P), n(T, g)} + {^(T, P), g (T, Q)} = K (P, g) - 47 (P, g)
since {g.(T,P), n(T,Q)}* = -I(Q,P).
Again, as in the even case, an integro-differential equation for K (P, g), namely
K (P, g) - 41 (P, g) = {K (T, P), K (T, Q) - 47 (T, Q)}
= I
Jd3D
k-i , r o (1.46)
i'/nr, ^) A2*-'[A- (r, Q) - 4/ (T, g)]
\
-A'7r (r, P) ^- A2*-^ (r, g) - 47 (r, g)] I daT,
)
is obtained.
2. Bianalytic functions
In this section we will present some basic results on systems of the form
dx2 dxdy dy
where A, 5, C are given real constant (2 x 2) matrices and V = (u, v)T is an unknown
vector with the components u and u, T denotes the transposition of matrices. By
multiplication with nonsingular matrices from the left, linear transformation of the
unknown as well as the independent variables lead to different kinds of normal forms
which are characterized by the determinant
Cv2\ (2.2)
which is called the biquadratic characteristic form of system (2.1).

28. 12 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
A system (2.1) is called reducible if it can be transformed by the mentioned
operations into a system of form (2.1) with say lower triangular matrices
3 c4
-0V
cl^T
dy
d2v 32v 92v I" d2u
c4— r = —
ax ay a?/2 [ ox2 oxoy oy2
which can be handled by solving it successively. The canonical form of (2.1) with the
biquadratic form
where e=l, 0<fc<lore = 0, A: = 0in the case where (2.1) is not reducible is
r i o i s2 r « i „ r o 1 1 a2 r v i r A o i a2 r « i r o i , N
[ 2o i + = (2'4)
where
A-h//-46 = fc24-e, i = k26, b^O.
In the case of a biquadratic form of the type
n^) = 6?(^2 + 2a^W) (2-5)
with
^,£€{0,1}, 0<a
where (2.1) again is not reducible the canonical form is
fi 01 a2 fu i v r« i ro 01 a» r« r9fi
[o oJ^[ , =0 (2'6)
,
where
System (2.1) is called elliptic if
An elliptic system is called strongly elliptic if
|A + 25 /? + C^O for ^8,7 € ffi2, )82 < 7-.
Otherwise it is called quasi-elliptic. One can show that (2.4) is elliptic if in (2.3)
£ = 1? 0 < k < 1; it is strongly elliptic for 0 < A, 0 < // and quasi-elliptic for A < 0,
/* < 0.

29. Sys t ems of ellip tic eq nations 1 3
System (2.4) is called an elliptic system of first (second) kind if F (£, 77) = 0 in
(2.3) has a pair of double (two pairs of) complex roots; it is called a composite system
of first kind if F (£, 77) has a pair of complex roots and a double real root.
System (2.6) with F(£,T/) = 0 in (2.5) having a pair of complex roots and two
distinct real roots is called a composite system of second kind. It is called a hyperbolic
system of first, second, third, and fourth kind if e = £ = 1 < a, e = 6 = a = I,
0 = e = £<a=l,0 = a = e<5=l, respectively. The general system (2.1) is
called of composite type, hyperbolic, and parabolic, respectively, if F (£,?/) = 0 from
(2.2) has a pair of complex and two real, only real but not quadruple roots, and a
quadruple root, respectively.
The preceding canonical forms and the classification of the system (2.1) with
constant coefficients is given in [Huwl64,65], see [Hulw85]. Here also the connection
with elliptic systems in the Petrovski sense is discussed.
In the following, we will be interested especially in the elliptic cases.
The elliptic system of the first kind (2.4) where
with the characteristic biquadratic form
may be written as
rrioi_^_ o A-I
\[o AJ ^-I o
By setting / (z) = u (x, y) + iv (x, j/), z = x + iy the system (2.7) may be written in
the complex form
Thus

30. 14 Begehr and Robert Gilbert
with an arbitrary analytic function <j> in z. Together with
this leads to
dz 4A rv ' ' 4A
Hence the general solution to (2.4) is given by
(2.9)
with two arbitrary analytic functions (j> and ^. Later on functions of this kind will be
referred to as (A, l)-bianalytic.
Let us now turn to elliptic systems of the second kind (2.4) where
A + p - 46 = k2 + I , Xfi = k2, 6^0,
for 0 < k < 1. Here the characteristic biquadratic form
has two different pairs of complex roots. From the conditions on A, //, 6, and k (2.4)
may be seen to be equivalent to
"l0
d2 0 d2 \
A
dx2 +
o i d2
T-*l = 0 (2.10)
.l-A
dxdy
0
with 0 < k < 1, A £ {0, fc2,1} or to
k 0
o -;
(2.11)
This system written out for components leads to the first-order system
1 du dv du 1 dv
(2.12)
dO du _ dO du _
K -= \- A -= — U , K -7- A — = U .
ox oy dy dx
Again using complex notations one finds for / = u + iv, <j> = k() — i z = x + iy
k + l df k-l df \-k . X + k-r
(2.13)
2 dz 2 dz 4A 4A

31. Systems of elliptic equations 15
Here obviously (f> is an analytic function. A particular solution analytic function to
(2.13) is
The general solution of the homogeneous equation (2.13) with (f> = 0 is given by an
arbitrary analytic function 0 as
Hence the general solution to (2.13) is / (z) = fi(z) + /2(z), given by two arbitrary
analytic functions <f> and if>. These functions / are called (A, fc)-bianalytic , where
0 < k < 1 and A ^ {0, &2, 1}. As we have seen before we may take k = 1, too, and
thus have (A, l)-bianalytic functions . In the following we will denote any function /
satisfying
_
k +
—
l r
*-
k-
—
I p
/.--ir^-ir*
X- k , X + k-
. (2-16)
as a bianalytic function. Here <j) is an arbitrary analytic function and 0 < k < 1,
A 0 {0, fc2, 1}. Equation (2.16) is just a Beltrami equation which for k = 1 reduces to
the well known inhomogeneous Cauchy-Riemann equation.
A bianalytic function for 0 < k < 1 has isolated zeros or vanishes identically. To
show this consider for 0 < k < I and A ^ {0, fc2, 1}
«•> -
A-l
If now fi(z) = 0 then Re $ (z) = Im $ (z) = 0, i.e. $ (z) = 0 and vice versa.
Because $ is analytic the zeros of /i are isolated or /i(^) = 0. Obviously, ZQ is an
arbitrary zero of fa.
Next we consider f2(z) = i/> ^ z + hw and write C:=ir* + ^jr^ = 3 + £y>
= £ + ikrj, fz(z) = ^(0- Because -0 is analytic and £ is a homeomorphism,
k — 1
= - - (3, /2 has isolated zeros or /2 = 0. At last if ^i is a zero of /i + /2,
A? ~T 1
+ h(zi) = 0, then /a(zi) = a, /2(*i) = -a for some a € (P .
Consider

32. 16
so that
and
Ima
Re a = Afcj^ Re ai , Im a = ^a*) Im ai .
Heinrich Begehr and Robert Gilbert
Because of the analyticity of $ there exists an n £ IN such that
$ (2) - ai = (z - ZI)U<()Q(Z) , <£o analytic,
Thus
A — P (A —
l
A-fc
•(*-.
2A(l
Similarly, with ("i = #1 + | y\ where z\ = x\ + zyi there exists an m £ Z?V such that
/2(<*) + « = </> (C) + a = (C - Ci)m^o(C) 5 ^o analytic, ^o(Ci) 7^ ° •
From
fc-1
C ~ Ci = x - xl + - (y - y1) =
and
we see
2A (1 +1)
t-
Case 1 n> m
2k 2k
Because
Kfc + 1 <2, -Kfc-1 <0

33. Systems of elliptic equations 17
so that
fc + 1 i+1 2
-oo < = — = 1 — < -1
i-1 l-k l-k
the expression ~p + ^- l^f1 is bounded and ^ 0 in z = z\ but discontinuous there.
Case 2 n < m
fi(z) + Mz) = (z-zl)nF(z,z1),
F(z1,zl)
[2A(l-fc)ruv ' ' 2A(1
\-k 1 + k
But ±1 because A ^, A ^ fc2, k ^ 0 so that
1 + k l-k
A - fc
7^
<t>Q(z) [z-
for any z. Therefore F(Z,ZI) is bounded and ^ 0 in z = z\ but discontinuous there.
Case 3 n — m
2A(1+*) L^-
k + l Jb + 1
We want to show (z — zi) n(fi(z) + fi(z)} ^ 0 for z = z\. Obviously, this function is
bounded near z\ .
Assume lim (z - zl)~n(fl(z] + /2(z)) = 0. Then
*-i
2A(l
HI-
A- k
is continuousontin in z — Zi and takes there the value — —TT, rr <Ao(^i), i-e. for any
<f> G [0,2?r] we have
b + 1 jb-l k-l
2A(l ~2k~+ Ik
(2.17)
\-k
~ 2A (a - k) '

34. 18 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
Differentiating (2.17) with respect to <j> gives after dividing by —
2A(l + fc) ruv iy
in-l 7 1 r, . , i,i (2'18)
If n is even we consider (2.17) for (f> = 0 and <^ = f which gives
2A(i-l)
= 2A (*-!)'
Subtracting both gives
But V>o(Ci) 7^ 0 and 0 < fc < 1 so that this is a contradiction.
If n is odd we consider (2.18) for (f> = 0 and </> = | which gives
\_i_ n1
A -\~ K
L
—
r^-l-
—-. r- _ A, -f 1
1
_
1c
A, 1
1 1
A
~ i» 1
T — 1
[1?
, \ K
-L
~\~
1
1
I
_ K
n
2A;
=0-
Again by subtracting these give
, 1 x k-l
If here n -^ 1 this is a contradiction because ^o(Ci) ¥" 0 an<^ 0 < fc < 1. For n = 1
consider (2.17) for <j> = 0 and </> = | and get
A(Jfc-l)
A — fc
tA(L + /CJ ' ' '
Subtraction gives
W1 , , x ^0(^1) + (1 - T) ^o(Ci) = 0 » i-e. ^o(Ci) = W1 , 7x 7: 7T
A(1+K) K A (I + K) (I — K)

35. Systems of elliptic equations 19
while adding gives
1
From here
i.e. \k - A| = \k + A| or kX = 0. This contradicts 0 < k < 1, A ^ 0.
Thus we have shown that the zeros of a bianalytic (0 < k < 1) function fi + /2
are isolated or f\ + /2 = 0. Near a zero z\ we have
where /o is bounded in the neighbourhood of z\, continuous in the punctured neigh-
bourhood of z\, but not continuously extendable by 0 in z = z\. Here n £ IN is a,
proper number.
Moreover, if / is bianalytic (0 < k < 1) then F = f -
2k * ^ 2k
(i/ G 2?) is
bianalytic for z ^ 0 in the case v < 0. This is true because
fc+1
fc- 1 Jb- 1 fc fc-1.
A-i A+fc, fc+1 k-l_
Remark In the case k = 1 a bianalytic function may have accumulation points of
zeros. As an example consider for 0 < A, A ^ 1 the function (2.9) with <f> (z) = SXz
and $ (z) = (A + 1) z. Thus
/(z) -
which is vanishing on the lines
{z = x + iy : y2 = Ax2} .

36. 20 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
In [Hulw85] it is shown that bianalytic functions are C°°-functions. Introducing the
derivative
sJ.:=?L + di
8z ' dz dz
it is shown that this derivative plays the same role for bianalytic functions as complex
differentiation does for analytic functions. Defining a related integration a Cauchy
type as well as a Morera type theorem, Cauchy integral formula and power series
expansion for bianalytic functions are given. The basic boundary value problems
(Hilbert, Riemann-Hilbert, Dirichlet, Neumann) are studied, too.
Generalized bianalytic functions
Instead of (2.1), following [Xu87b] here we consider the inhomogeneous equation
Q2 Q2 Q2
dx2
(2.19)
dx dy dy
where the vector H, H^~ = (/ii,/^) may depend on x,y and even nonlinearly on
the components of V and their first derivatives, but A,B,C are still constant 2x2
matrices satisfying
Cri* O for «,i,) € JR2\{(0,0)}.
As before this equation may be rewritten as
°
1
-
0 o £-*"
I
d2
1-A 0 dxdy
A o
(2.20)
92
0 -*
with 0 < k < 1, A ^ {0, fc2,1}. Again here the reducible cases are not considered. In
the linear case
di dy
with function matrices Z), JB, and F one can find two matrices A and B satisfying
k 0 0 A 1 ~ ~ [ 0 -1
A + B0 -J 'U o \ i o
provided that for fc = 1 the components of E and D satisfy
e21 — e!2 — "11 "4" "22 5 Cll 4" ^22 ~ "12 —
Setting then similarly to (2.12)
01 ffr o i d ro0 - -1i i d ~i i «
(2.21)
0 £ I far ' I 1 0 u

37. Systems of elliptic equations 21
system (2.20
{[
) may be reduced to
o -A
0
with
The complex forms - where again as in (2.13)
<j) := kO — i\u>, z — x + iy, / = u + iv
- of the equations (2.21), (2.22) are
<h + a<j> + blj> + cf + df = 0, (2.23)
-fc - \-k A +
2 /2 2 4A 4A Y'
For nonlinear H (2.20) is transformed into
l + k r l-k r \-k , X + k-
(2.24)
Rewriting (2.23) in vector form using
l + k l-k _ d l + k d l-k d
z\ .
ik ~ 2k "' dzi 2 dz*
J]-B!-
' d
a c b d]
dz
A:= ,B:=
_A±* a \'W:= 0-4
4X r J °
- i
'
i j
we find the equation
(2.25)
In the following A, .B are supposed to belong to LP(G) for some bounded domain
G C (C and 2 < p. The derivatives are understood in the Sobolev sense.
A complex function / is called a generalized bianalytic function with an associated
function <^ if WT = (^, /) is a solution of (2.25). For a = b = c = d = a = /3 = 0 they
coincide with bianalytic functions. In order to solve (2.25) the Pompeiu operator
(2.26)
c^ °
0 T-r^-

38. 22 Begehr and Robert Gilbert
is used, the components of which are
1
where (7i is the image of G under the map z\ and
~, A + k , 1 - Jb _ \
/(*0 = / ^-y- *i + -y *i J •
Moreover, from the properties of the classical Pompeiu operator w £ W*(G) may be
represented as
w(*) = ^
i
/ [* (0 - < W]-1
7r
* (C) w (C) + T (Dw) G
^
G (z) (z € ) (2.27)
7aG
where
Thus any solution to (2.25) satisfies
= (* (C) - * W)-1* (C) ^ (C) - TG(Aw + Bw) . (2.29)
LT™ JdG
P
Ta(Aw + Bw) turns out to be a compact operator on Lp '(C), so
that the homogeneous equation
Mw :=w + TG(Aw + Bw) = 0 (2.30)
has only a finite number of solutions. It can easily be shown (see [Xu87b]) that for
c = d = 0 (2.30) only has the trivial solution.
The adjoint M* to the operator M under the inner product in Li(G)
(w,u) :=Re [
JG
is
'-z
(C~;
0
(2.31)
C-*
dtdri.
*(Ci~.

39. Systems of elliptic equations 23
M* as well as M is compact on L<i(G). Consequently there are two sets {wv : 1 <
v < N} and {&„ :!<«/< N} of linearly independent solutions over JK to Mw = 0
and M*u> = 0, respectively satisfying
Then the integral equation
is solvable if and only if
(A, a;,) =0 (l<v<N).
The solution can then be expressed as
f _ N
\Ti(z,Qh(Q + ri(z,Qh(Q]dtdri + ^w (2-32)
JG ^
where FI, TZ are resolvent kernels determined by A and B. Using (2.27) where the
boundary integral is an analytic vector in G, i.e. a solution to Z)$ = 0, $ £ C'(^)?
one gets from (2.32) a Cauchy type formula
i f _ N
*> W = ^ / {"i(^ 0 * (C) w (0 - n2(*, 0 ^ (0 u; (C)} + E ^-(^ (2-33)
2™ ^ ^
for regular domains G and w; G C (G) satisfying (2.7).
Riemann— Hilbert boundary value problem for nonlinear systems
Let G be a bounded simply connected smooth domain in (C which may be assumed
to be the unit disc ID. We are looking for a solution of
4A 4A '
in D, (2.34)
_
where z\ = z -- — — z satistymg
Re{MO/(C)} = 71 (0,
CedD. (2.35)

40. 24 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
The system (2.34) is just (2.23) in another form. Defining
A #2 . k
obviously
As usual AI and A2 are assumed not to vanish on dJD. By simple transformations we
can get a problem with
(2.36)
A2(C) = C"2,
where ni, n2 G 2£ are the partial indices of (2.35). One has to distinguish four different
cases corresponding to rai,n2 G 1AT0 or not.
Omitting the discussion of the case for k = I (see [Xu87b]) in the following we will
only discuss the problem (2.34)-(2.36) in the case 0 < k < 1. If nM < 0 (p = 1,2) then
the problem may not be solvable. Therefore the problem is modified. Moreover, for
nM > 0 in general the solution is not unique, so that in this case some side conditions
may be imposed. The modified problem is
(2.37)
- 72( +MO
where
, if 0<
MO ••
-n-l
, if nlt<
Here AOM, A±/ are real constants to be determined appropriately.
Let for simplicity n\ = 0 and
l + k l-k.
D:={ZI : <1
be the image of D under the mapping z\{z) and let G1, Gn be the Green and the Neu-
mann functions of D (see [Hawe72]), respectively. Then the operators Ji, J2 defined

41. Systems of elliptic equations 25
by
D
(2.38)
:= 2J (zs C O
satisfy the following properties. J\ is a compact mapping from LP(D), 2 < p, into
Ca(D)j a = 2^2, mapping C^fD) into C^fD), 0< /? < 1. J2 is a bounded operator
in Ca(D) mapping this space into itself. Moreover
If m 7^ 0 instead of Jl5 J^ one has to use modified integral operators (see e.g. [Behs83]
and [Webe90]). The integral operators (see [Veku62])
d£dri , if 0 < n,
-Z
(2.39)
I
, if 0 < n ,
^2n+l/
d£dri
T Jm
2n
have the same properties and relations with respect to ID as J1? J2. Thus the operators
(2.40)
are compact operators on LP(D). P maps LP(JD) into Cl+a(]D), and Q maps j
into Ca(lD). Any solution / to the modified Riemann-Hilbert problem (2.37) with

42. 26 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
= 0 can be represented as
(2.41)
8D
72(0 7 ' C2»*-™ = ~^> if 0 < "2 ,
C-2 C
', if n2 < 0.
(2.42)
From
Re {z-n2(fn2(9) (z)} = 0 on dJD , if 0 < n2 ,
Re = Re 2> cikZ on dJD , if n2 < 0,
A:=0
where
it follows that
Re {z~ - Re , if 0 <
-712-1
Re {z~ Re 02 (2.43)
m=0
+Re 2^ (Xm2 + iA_m2) *m , if n2 < 0.
m=l
In the case ra2 < 0 one has to choose the constants A±m2 properly so that the modified
Riemann-Hilbert problem (2.43) for $2 is solvable. The solution then is given by

43. Systems of elliptic equations 27
(2.42). Thus for n2 < 0 we get the conditions
<*'/}==o,
}
(2-44)
In order to ensure the existence of a solution to (2.34), (2.35) the following assumptions
are sufficient.
(i) h(;Ptqtr)€Lp(l>)t \h(;p,q,r)\gj<K.
(ii) For any e > 0 there exists a 6 > 0 such that
e for \PI - Pi\ < 6 ,
e for \qi - q2\ < 6,
e for |ri-r2|<£.
A solution to the modified Riemann-Hilbert problem can be expressed by (2.41) where
0 satisfies the nonlinear integral equation
6 = h (z, P9 + $3 , Tn20 + $2, Q9 + $4) (2.45)
with
\ _
"*
4A
Using the Leray-Schauder fixed point theorem (2.45) can be shown to be solvable.
Obviously, a solution to (2.45) leads to a solution of the modified Riemann-Hilbert
problem. Thus problem (2.34), (2.35) with (2.36) and m = 0 is always solvable if
n2 > 0. For ni = 0 and n2 < 0 it is solvable if and only if the — 2n2 — 1 real conditions
(2.44) are satisfied. The solution is given in the form (2.41) where 9 is a solution to
(2.45). In the case n\ — 0 < n2 the arbitrary constants in the general solution can be
fixed by demanding the conditions
/ Im {/ (Ci ) - *i (Ci ) } \dnG" - idG1} (zi , Ci ) = 0 ,
JdD
I ~X = 0, 0<m<2n2.
JddD

44. 28 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
3. Systems of first-order equations of composite type
While the Laplace equation is equivalent to the Cauchy-Riemann system not every
elliptic second-order equation is reducible to an elliptic first-order system. Consider
e.g. an equation of second order whose principal part is in canonical form
4>xx + <l>yy + f(x,y,<t>,<l>x,<l>v) = 0. (3.1)
The transformation
u := (j)y , v:= <f)x
gives (3.1) the form of the nonelliptic system
ux - vy = 0 ,
uy + vx + f(x,y,(/),v,u) = 0, (3.2)
</>x - v = 0 .
However, if / does not depend on <j> then the first two equations in (3.2) form an
elliptic system for u and v.
A system of partial differential equations of first order
+ b>y} = r(x,y,u\...,un) (l</z<n) (3.3)
l
is called elliptic if
det [</e + 6£] (det < ? 0) (3.4)
does not vanish for any real /c.
It is called hyperbolic if (3.3) has n real zeros different from each other and it is
called of composite type if (3.3) has real as well as nonreal zeros. We will consider
systems for which each zero K = K(x,y) remains real or nonreal respectively in the
whole domain and we will first discuss the two simplest cases n = 3 and n — 4. In
the case n = 3 the linear system (3.3) can be written in the form
Ux -A(x,y] Uy-B(x,y)U = 0 (3.5)
where A and B are real square 3x3 matrices, which are defined in some domain G such
that A, B G C"(G) and U = (C/i, t/2, Us) is the unknown real vector. Locally (3.3) can
be transformed by a differentiate transformation of the independent variable, having
nonvanishing Jacobian into the normal form
(3-6)

45. Systems of elliptic equations 29
see [Dzhu72]. Here q G C1'" satisfies the inequality
\q(z)\ < const. < 1,
AO, J3o, Co, BI are complex-valued, A\ is a real function of class Cv , v0 is a complex-
valued, and vi a real unknown function in some plane domain G.
Let A and B in (3.5) represent real 4x4 matrices and U = (£/i, . . . , C/4) be an
unknown vector function with four components. Suppose the corresponding charac-
teristic equation
det |A-AJ5| = 0,
where E is the 4x4 unit matrix, has two different real roots AI(Z), \2(z) and a pair
of complex roots XQ(Z), XQ(Z) in G. Without loss of generality assume that
AI(Z) < A2(2), Im A0(*) < const. < 0
in G. Then as is shown in [Dzhu72] (3.5), similar to the case n = 3 , can be transformed
into the normal form
r\ r\
-jp--q(z)-^- = C0(z)v0 + D0(z)vf;+Ao(z)vi+Bo(z)v2,
(3.6')
Again q G Cl^(G) satisfies
\q (z)\ < const. < 1 ,
AQ,BQ,CQ,DQ,C\,C<2 are complex- valued, Ai^Bi^A^B^ are real-valued CV(G)-
unctions and VQ, ^0,^1,^2 are the unknown functions.
This system has two families of real characteristics x = const., y = const.
f
A representation for generalized Beltrami equations
These problems are discussed [Dzhu72] by using a representation formula for the so-
lutions to the generalized Beltrami equation
B (w) :— w-z — q (z) wz = a (z) w + b (z) w . (3.7)
It is assumed that a, 6 G Cfl/(G), q G Cv((C)n LP(W), q G Cn~^(G), 0 < z/ < 1,
l<p<2, l<m, \q(z)\<qQ<l.
Let W be a complete homeomorphism of the Beltrami equation ivj — q (z) wz = 0
mapping the z-plane onto the w-plane such that w G C1'l/((T), w G Cn^(G), Then
any continuous solution of the Beltrami equation may be represented by a function <f>
analytic in W [G] and Holder continuous on W [G] in the form w = </) (W). Following
Muskhelishvili [Musk53a], p. 189, w is representable as
w(z) = <j)(W(z)} = ^ ""»»dW(Q + i$> (3.8)

46. 30 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
with some real function /J given on <9W^[G?] and a real constant
then </>[W] € Cn>"(W[G}) and
+ I jl(W')ds + iC
Jr1
with I" = dW s C IR.
with
where z1 = — - on F.
as
The function
'°>-W(z)-W(z0)
satisfies for fixed z the Beltrami equation
B(Z):=Zw-q(z0)ZZo=Q (3.9)
but for ZQ fixed the adjoint equation
B*(Z):=Zj-[q(z)Z], = Q (3.10)
[Or], where denotes the arc length parameter and € Hence
with respect to z when z ^ ZQ. From the Green's formula (see [Dzhu72]) the repre-
sentation formula
w (Zo) = -L / Z (z, ZQ) w (z) (dz + q (z) dz) - - t Z (z, z0) B (w) dx dy (3.11)
27TZ Jr 7T JQ
then follows for any w G Cl(G).
Later on the notation dz + q (z) dz — 0 (z) ds on F will be used.
Because
const.
the operator
(Tf)(z):=~J Z(ztz0)f(z)dxdy (3.12)
is a linear completely continuous operator in LP(G), 2 < p mapping LP(G) into (7i/(Gf),
v = £^; similarly T maps C"(G) into Cl'"(G). Moreover,
B(Tf) = f.

47. Systems of elliptic equations 31
Using this fact the similarity principle for generalized analytic functions can be gen-
eralized to the following lemma:
Lemma Any solution to (3.7) can be represented in the form
where WQ is a solution to the Beltrami equation, B (WQ) = 0, anduj is a bounded Holder
continuous function in the plane. In fact} u> can be chosen as u> = Tg, with
9W; • . ,£0.
a(z) + b(z) , if w(z)=Q
Another representation formula follows from (3.11).
Lemma Any solution to (3.7) can be considered as a solution to the Fredholm
integral equation
w - T [aw + bw] = WQ (3.13)
with
«*>(0 :=-Z (C. Co) w (C) [dC + q (0 d(] .
Conversely, let WQ be an arbitrary solution of BwQ = 0 and w solve (3.13); then w
is a solution to (3.7). The solution of (3.13) may be represented by its resolvents.
Applying the integral representation (3.8) then
where M depends on the resolvents I\ and F2 of equation (3.13) and the homeomor-
phism W and w is given by the resolvents alone.
Normal form and representation formulae for n — 3 and n — 4
By a simple transformation (3.6) can be reduced to the case A\ = 0. Using (3.13) VQ
is a solution to
F (VQ) :=v0-T [A0v0 + J30W] = ^o + #o (3.15)
where WQ is the generalized solution to Bw = 0 and
go(z):=-- I Z((,z)C0(()vl(()^d11.
J G
The general solution to the Fredholm equation (3.15) takes the form
«o(z) = w (z) + I K (C, *) MO df, dr,, (3.16)
Ja

48. 32 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
where w is a solution to the equation F (w) = w0, and
Here FI and F2 are the resolvents of the Fredhom operator in equation (3.15). Hence,
by inserting the solution (3.16) into the second equation of (3.6) it follows (Ai = 0!)
that
*!(*) = / Re B1(x + it) I K (C, x + it) v
'»„ J° (3.17)
+ / Re {£i(z + it) iy (a: + it)} dt
•'
Here o;0 is an arbitrary real differentiate function.
This equation again is of Fredholm type which may be written, after exchanging
the order of integrations, as
--gi(z), (3.18)
JG
where
fy
Ko((jz) := -Re / BI(X+ it)K ((,x+ it)dt,
Jyo
y
B(x + it) w(x + it) dt.
/0Q
This equation is only solvable if gi satisfies the conditions
k<N), (3.19)
where wj, • • • , u^ is a complete system of linear-independent solutions to the corre-
sponding adjoint homogeneous equation of (3.18)
G
Let R denote the generalized resolvent of (3.18), and define
M0(C,2) := B. £ [5

49. Systems of elliptic equations 33
Suppose VII,...,VITV is a complete system of linearly independent solutions to the
corresponding homogeneous equation of (3.18), then the solution of (3.18) has the
form
f
I /•? //
JG
N (3.20a)
+[M0({,z)t[W(C)]d* + Y,Ckvlk(z)
JP i k=o
n
where the Ck are arbitrary real constants. According to (3.16) and (3.14)
„ (3.20b)
+Q (u>0)
with
:) := K((,z)+ //Z(C,
JG
vQk(z) := [ vlk(QK({,z)dtdri (1 < k < N),
JG
^oo(^) := iw(z)+ I VIQ(()K
JG
vw(z) := Pz(iw),
and
Pz(w) := Re / Bi(a: + rt)ti;(a: + i
Jyo
r \ T (
JG 'Z Jyo
Conditions (3.19) may be rewritten as
ds + U;(C) c,0(0 ^ di? + atCo = 0
(3.21)
where
g; := " I £ [s w M-
:= Ik i

50. 34 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
The system (3.6') can easily be transformed to a system of the same type with
AI = B<i = 0. The first equation turns out to be equivalent to the Fredholm integral
equation of second kind
F VQ := v0 - T [CQvQ + DQv5] =
with an arbitrary regular solution WQ to Bw = 0 and
9i(z) := -- /
*" JG
92(2) := — [
* JG
The general solution to (3. 15') is
Vo(z) = w(z) + l [K^((, z) n(C) + # (2)(C, z) vj(C)] df dr, , (3.16')
where w is a solution to the integral equation F (w) = WQ, and
if
_
+ fio(C
r
) / z(c,C)r2(C,
JG
Inserting this solution into the last two equations of (3.6') (Ai = B2 = 0!), and then
integrating gives
vi(z) = ui(x) + I [BI(X + it) v2(x + it) + Re [d(x + it) w(x + it)]\ dt
Jyo
Re C^s + tt
yo
v2(z) = u2(y) + / i A2(t + iy) vi(t + iy) + Re [C2(t + iy) w(t + iy)] > dt
+ I Re {C (1)2(t + iy) f[K ((, t + iy) Vl(Q + tf (2)(C, * + iy) v3(Q] d£ d^} dt,
JXQ JG ^

51. Systems of elliptic equations 35
where u?i(x), uz(y) are arbitrary difFerentiable functions. These equations may be
written as
y
BI(X + it) v2(x + it) dt
/-3
/i (z) ,
(3.17'
v y
)
n, z
o
where
Klk({,z) = Re r
* (*=1,2),
= Re
ry
/ Ci(o: + ^)t(;(x
«/yo
2(f + iy)w(t
or
»X*) = / fei(C, ^) t>i(C) + *J2(C, 2r) v2(C)] ^ ^ + ^'(0 (1 < j < 2) (3.18')
JG
with proper kernel functions k^ and given functions FM.
The solution to this system can be represented in the following form, see
[Dzhu72]:
N (3.20')
+ M<®(t,z)t[W(Q]ds + '
Jr
r N
Wj(«) = Qxl(^<"s) + / ^(J)(C, 2) ?[W (C)] da +
The definitions of Q(°\ Qx,v, M^°\ M^\ UQ*, Uj-j. are more involved than in the former
case.
The conditions for system (3.18') to be solvable may be expressed in terms of
u>i,u>2 and fi[W] as
, "^2 ^ ** ^ (3-21')
7r

52. 36 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
where (w^, u^) (1 — ^ — N) is a complete system of linearly independent solutions
to the homogeneous system adjoint to system (3.18').
Boundary value problems
For both equations (3.6) and (3.6') in [Dzhu72] boundary value problems of Riemann-
Hilbert type are discussed on the basis of the representation formulae (3.20), (3.20'),
respectively.
The case n = 3
To formulate these problems some assumption on the boundary F of the domain G
must be made. We first consider the system (3.6), and assume the following conditions
hold. G is a simply connected (^'"-domain (0 < v < 1) in the complex plane (E the
boundary F of which has two tangent lines x = a and x = b (a < 6), limiting the
domain on the left and right and touching F at the points M2 = a + it/i, MI = 6 + iy^
respectively. Moreover, any vertical line x = c, a < c < b intersects F at exactly two
points while the lines x = c for c < a and a < c have no common points with G. Let
71 be the arc on F from MI to M^ in the positive direction of F and 72 the arc from
M2 to MI. Let y = cr^(x) be the equation of 7^ (k == 1,2), where a\^ G Cl^([a, b])
and <Ji(a) = <J2(a), &i(b) = ^(b). Moreover, near x = a and x = b
Iim4^ lim^^O
^ ^ .
Assume t = t (s) = x (s) + iy (s) is the parameter equation of F, 0 < s < /, / the
length of F. Then t'(s] € C", t(0) = *(/), ^(0) = ^(/). Moreover, sM2 € / = [O,/],
72 := ^ = t5:5G/2, /2 := ^Af,, -
Let a (5) be defined on / = /i U /2 in the following way. The vertical lines x = const.
form a bijective mapping from 71 onto 72. This mapping creates a correspondence of
the parameters varying over the segments I\ and /2, respectively, which is denoted
by a (s). It is a one-to-one mapping from Jt- onto /^,i ^ fc, and from / onto itself
satisfying
a(0) = /, a (/) = 0, a(sM2) = SM2,
a (a (5)) = 5, x(a(s)) = x(s) (s G /) .
Differentiating the last relation and observing x'(s) 7^ 0, x;(a (5)) ^ 0 for s ^ $M2 °ne
gets
Observing the local behaviour of ai(x) near x = a, x = 6 one can also show that this
inequality holds for the excluded three points.

53. Systems of elliptic equations 37
Problem AI Find the regular solution VQ,VI £ Cl/(G) to system (3.6) satisfying
flo(0 t>i(0 + Re {a°(0 v0(t)} = h0(t) , * € T ,
Re {a1^) v0(0} = *i(0 > * € 7i ,
where GO? a°> ^o are Holder-continuous functions on F, and #1, a1, /ii are Holder-
continuous functions on 71; a°, a1 are complex-valued whereas GO, ai, AO? ^i are
real. The homogeneous problem ho = hi = 0 is denoted by A®. This boundary value
problem is considered under the following conditions.
0 , t G 71 ,
2.
Moreover, the boundary condition (3.22) may be reduced to
= Re {d (t) v0(t)} + hW(t) , l (3-23)
M*)> * € 74 ,
where A°(Mfc) = a°(Mfc), /»(0)(Mfc) = Ao(Mfc) (A = 1,2). Problem yl, can be
rewritten in vector form. Let
0 A°(t) 1 . t 0
' ()'=
then W is a regular solution to
D (W) :=Wj + Q (z) WZ-A (z)W - B (z) W = 0 , (3.24)
satisfying
Re{G1(x}W(t)} =
(3.25)
with
The adjoint problem to (3.24), (3.25) leads to the adjoint problem AQr* to problem Aj
which is
(3-26)

54. 38 Heinrich Begehr and Robert Gilbert
71 '
(3-27)
Re «;(<) = 0 , * € 72 •
A necessary condition for problem A/ to be solvable is also shown to be sufficient
[Dzhu72], namely
(3.28)
fo (t\ v ^ v*(t) ds = 0
/7l «/72 \ /
The basic results for problem A/ are (see [Dzhu72]) as follows.
Theorem 1 The homogeneous problems A/ and Aj* can /lave on/y a finite number
of linearly independent solutions.
For any solution VQ,V± to problem A°*, condition (3.28) is necessary and sufficient
for AI to be solvable.
The index of problem AI which is the difference between the numbers of linearly
independent solutions to problem Aj and Aj* is given as
Ind (A/) = 2/c + 1,
where K = —- I d arg o*(7), a* G C"(T) and
2?r Jr
a*(t) =\ G 7l Q ' (3.29)
The proofs of these results are based on a reduction of problems A/, Aj* to singular
integro-functional equations. For simplicity only the main part of (3.6) is considered,
i.e. AQ = BQ = Co = AI = BI = 0. In that case, the solution to (3.6) is of the form
— ( \ ( \ — ( \ ^Q QO\
where w; is a solution to Bw — 0, and v is a real differentiate function (see (3.16),
(3.17)). In the following way, problem A/ is reduced to a Riemann-Hilbert problem
with shift for a Beltrami equation. The unknown function v(x] can be eliminated
from the conditions (3.23). If w is known then v can be determined by
v(x] = Re {d(x + i&i(x))w(x + iai(x))} + hl(x + i<Ji(x)), a < x < 6,
while w has to satisfy
0), 8 el, (3.31)

55. Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

59. The Project Gutenberg eBook of Lapsuus,
Poika-ikä, Nuoruus 1: Lapsuus

60. This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States
and most other parts of the world at no cost and with almost no
restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it
under the terms of the Project Gutenberg License included with this
ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the
United States, you will have to check the laws of the country where
you are located before using this eBook.
Title: Lapsuus, Poika-ikä, Nuoruus 1: Lapsuus
Author: graf Leo Tolstoy
Translator: Arvid Järnefelt
Release date: September 4, 2016 [eBook #52981]
Language: Finnish
Credits: E-text prepared by Jari Koivisto
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK LAPSUUS, POIKA-
IKÄ, NUORUUS 1: LAPSUUS ***

61. E-text prepared by Jari Koivisto
Note: Project Gutenberg has the other volume of this work.
Volume II: see https://www.gutenberg.org/ebooks/52982
LAPSUUS, POIKA-IKÄ,
NUORUUS I
Kolme novellia
Kirj.
LEO TOLSTOI
Suom. Arvid Järnefelt

62. Helsingissä,
Kustannusosakeyhtiö Otava,
Päivälehden kirjapainossa 1904.

63. SISÄLLYS:
Lukijalle.
Lapsuus:
      I. Kotiopettaja Karl Ivanovitsh.
     II. Äiti.
    III. Isä.
     IV. Oppitunnit.
      V. Mielipuoli.
     VI. Metsästysretken valmistukset.
    VII. Metsästys.
   VIII. Leikit.
     IX. Vähä niinkuin ensimäisen rakkauden tapaista.
      X. Mikä ihminen oli isäni?
     XI. Työhuoneen ja vierashuoneen toimia.
    XII. Grisha.
   XIII. Natalia Savishna.
    XIV. Ero kodista.
     XV. Lapsuus.
    XVI. Runoelma.
   XVII. Ruhtinatar Kornakova.

64.   XVIII. Ruhtinas Ivan Ivanovitsh.
    XIX. Iivinit.
     XX. Tulee vieraita.
    XXI. Ennen masurkkaa.
   XXII. Masurkka.
  XXIII. Masurkan jälkeen.
   XXIV. Vuoteella.
    XXV. Kirje.
   XXVI. Mikä meitä maalla odotti.
  XXVII. Suru.
 XXVIII. Viimeiset surulliset muistot.

65. LUKIJALLE.
Tästä Leo Tolstoin teoksesta ilmestyi Venäjällä ensimäinen osa.
"Lapsuus", jo vuonna 1852, ja oli kirjailijan ensimäisiä julkaisuja.
Sittemmin ilmestyi teoksen toinen osa, "Poika-ikä", v. 1854, ja
vihdoin kolmas osa, "Nuoruus" yhdessä edellisten osien kanssa eli
siis koko teos yhtenäisenä kolmiosaisena kertomuksena v. 1857. Leo
Tolstoin nimi tuli sen johdosta heti tunnetuksi yli koko Venäjän,
vieläpä laajalti sen ulkopuolellakin.
Vaikka tällä elämänkuvauksella, katsoen sen tavattomaan
vilkkauteen ja syvällisiin sielullisiin analyyseihin, helposti saattaisi
otaksua olevan autobiograafisen luonteen, ei asianlaita ole
kuitenkaan sellainen, — kuten myöskin tekijän läheinen ystävä N.
Strahow asiantuntijana vakuuttaa. Tämä koskenee erittäinkin
kertomuksen muutamia etualalla olevia sivuhenkilöitä. Niinpä
esimerkiksi tekijän äiti on kuollut paljoa aikasemmin kuin
kertomuksessa kuvataan. Kertomuksen "isän" mallina lienee myös
ollut juku toinen henkilö kuin kirjailijan isä.
Mutta mitä päähenkilöön tulee, joka ensimäisessä personassa
kertoo tässä elämäkertaansa, niin voinee erehtymättä sanoa, että
tekijän omat syvimmät ja voimakkaimmat lapsuuden vaikutukset

66. ovat ainoastaan siirretyt objektiivisesti kuviteltuun ja piirreltyyn
romaanihenkilöön.
Kertoja vie lukijan valoisaan, tunteista rikkaaseen, lämpimään
lapsuuteensa; sitten yhtä elävästi kuvaa poika-ikänsä
levottomampaa, ristiriitaisuuksia sisältävää ja jo vähän kylmyyttä
huokuvaa kehityskautta, sekä tekee vihdoin tiliä nuoruutensa ajoista,
joihin lapsuuden valoisat vaikutukset ovat peräti sammuksissa ja hän
seisoo — vaikka kotolaisten, ystäväin ja seurapiirin ympäröimänä —
sittenkin ypö yksin täydellisen turmeltumisen ja oman siveellisen
tunnon tienhaarassa. Tässä kaikessa on niin paljon elettyä ja
koettua, niin paljon yleisinhimillistä, että, huolimatta kertomuksessa
esitetyn aitovenäläisen ylimyselämän oudoista ulkonaisista puitteista,
jokainen lukija, joka tämän kertomuksen lukee, on uudestaan elävä
oman muinaisen lapsuutensa muistoja, onpa hänessä ehkä heräävä
semmoisiakin muistoja, jotka muuten olisivat ikuisiksi painuneet
unhotukseen.
Ainoastaan elettyä ja koettua voi niin kuvata. Ja siitäpä riippuukin
tämän teoksen suuri ansio kirjallisena tuotteena yleensä, sekä sen
erikoinen merkitys juuri Leo Tolstoin kynästä lähteneenä
kuvauksena.
Virkby 22 p. lokak. 1904.
Arvid Järnefelt.

67. LAPSUUS
Novelli

68. I
KOTIOPETTAJA KARL IVANOVITSH.
Elokuun 12 päivänä vuonna 18— eli juuri kolme päivää
syntymäpäivästäni, jolloin täytin kymmenen vuotta ja sain niin
mainioita lahjoja, kello 7 aamulla, heräsin siihen että Karl Ivanovitsh
sokeripaperista tehdyllä ja kepin päähän kiinnitetyllä letkaimella
napautti kärpäsen juuri pääni yläpuolelta. Hän teki sen niin
taitamattomasti, että keppi kävi suojelus-enkelini kuvaan, joka riippui
vuoteen tammiselustassa, ja että kärpänen putosi suoraan päähäni.
Unisena minä kurottauduin lämpimän peitteen alta asettamaan
heiluvaa enkelinkuvaa, karistin tapetun kärpäsen lattialle ja aukasin
silmäni juuri sen verran, että sain isketyksi vihasen katseen
maisteriin. Tämä ei ollut ollakseenkaan. Kirjavassa,
pumpulivuorisessa yönutussaan, samanverkaiseen vyöhön
vyötettynä, päässä punanen, kudottu tupsumyssy, ja lämpimät
pukinnahkasaappaat jalassa hän vaan jatkoi pyydystystään, väijyen
kärpäsiä seinävierillä ja letkautellen niitä kuoliaaksi.
"Vaikka olenkin vielä pieni, mutta miksi hän kiusaa minua?" —
ajattelin. — "Eipäs se tapa niitä Volodjan vuoteen luona; siellähän
niitä on paljon! Ei, Volodja on minua vanhempi, minä olen nuorin

69. kaikista, siinä se on koko asia. Ei se muuta mietikään, kuin vaan
miten saisi minua kiusata. Se näkee ihan hyvin, että olen hereillä,
mutta ei vaan ole mitään huomaavinaan, inhottava ihminen!
Yönuttu, ja päähine, ja tupsu, — kaikki ne ovat yhtä inhottavia."
Sillaikaa kuin ajatuksissani näin harmittelin Karl Ivanovitshille hän
oli jo mennyt oman vuoteensa ääreen, katsahtanut kelloonsa, joka
lasihelmillä kirjaillussa kenkäsessä riippui hänen vuoteensa
yläpuolella, pannut kärpäsletkaimen naulaan, ja nyt kääntyi meihin
päin, ollen nähtävästi mitä paraimmalla tuulellaan.
— Auf Kinder, auf!… s'ist Zeit. Die Mutter ist schon im Saal! hän
huusi tuolla hyvänsuovalla saksallaan, lähestyi minua, istahti
jalkojeni puolelle ja veti taskustaan esille nuuskarasian. Minä olin
nukkuvinani. Karl Ivanovitsh ensin nuuskasi, pyyhki nenänsä,
näpähytti tupakin sormistaan ja vasta sitten kävi käsiksi minuun.
Naurahdellen hän alkoi kutkutella varpaitani. — Nun, nun, Faulenzer!
hän puheli.
Vaikka olin hyvin kutkun-arka, en kiusallakaan hypähtänyt
vuoteeltani enkä ruvennut vastaamaan hänelle, vaan piilotin pääni
yhäkin syvemmäksi tyynyjen alle, sätkäyttelin kiivaasti jalkojani ja
ponnistin kaikki voimani ollakseni nauramatta.
— Kuinka hyvä hän sentään on ja kuinka hän meitä rakastaa, ja
minä kun niin pahaa hänestä ajattelin!
Hermostutti sekä omat ajatukseni että Karl Ivanovitsh, — yhtaikaa
sekä nauratti että itketti.
— Ach, lassen Sie, Karl Ivanovitsh! huusin kyyneleet silmissä,
pistäen pääni esille tyynyjen alta.

70. Karl Ivanovitsh hämmästyi, jätti kutkutuksen sikseen ja
levottomana rupesi kyselemään, mikä minun on? olenko pahaa unta
nähnyt?… Hänen miellyttävät saksalaiset kasvonsa, se osanotto, jolla
häh koetti arvata kyynelteni syytä, saivat ne virtanaan vuotamaan:
minua hävetti, enkä voinut ymmärtää miten hetki sitten saatoin olla
rakastamatta Karl Ivanovitshiä ja inhota hänen yönuttuaan,
päähinettään ja sen tupsua; nyt tuo kaikki päinvastoin tuntui sangen
suloiselta, ja tupsu se juuri selvästi todistikin hänen hyvyyttänsä.
Sanoin itkeväni siksi että olin muka nähnyt pahaa unta — mamma oli
muka kuollut ja viety haudattavaksi. Sen kaiken minä keksin, sillä en
lainkaan muistanut mitä unia olin yöllä nähnyt; mutta kun Karl
Ivanovitsh kertomuksestani liikutettuna alkoi rauhotella minua, minä
aloin kuvailla todellakin nähneeni tuon hirveän unen, ja kyyneleet
vuotivat jo muusta syystä.
Kun Karl Ivanovitsh jätti minut rauhaan ja minä nousin istumaan
vetääkseni sukat pieniin jalkoihini, lakkasivat kyyneleet hetkeksi
vuotamasta, mutta keksityn unen synkistä ajatuksista en päässyt.
Huoneeseen tuli palvelijamme Nikolai — pieni, puhtonen mies, aina
totinen, tarkka töissään, Karl Ivanovitshin nöyrä ja uskollinen ystävä.
Hän toi meidän vaatteemme ja kenkämme: Volodjalle oikeat
saappaat, mutta minulle toistaiseksi nuo iänikuiset puolikengät,
joissa oli pienet rusetit. Hänen nähtensä en olisi ilennyt itkeä;
sitäpaitsi aurinkokin niin ilosesti säteili ikkunassa, ja Volodja seisten
kumartuneena pesuvadin ylitse matki Maria Ivanovnaa (sisaren
kotiopettajaa) nauraen niin makean raikkaasti, että sai totisen
Nikolainkin hymyilemään. Sillä oli pyyhinliina olalla, toisessa kädessä
suipot ja toisessa vesikannu, ja hilliten vallatonta Volodjaa se puheli:
— Kas niin, Vladimir Petrovitsh, jo riittää, peskäähän nyt itsenne.

71. Minä reipastuin kokonaan.
— Sind sie bald fertig? kuului luokkahuoneesta Karl Ivanovitshin
ääni.
Se ääni oli nyt ankara eikä siinä enää ollut sitä hyvyyden sävyä,
joka oli minut saanut liikutuksesta itkemään. Siellä luokkahuoneessa
hän jo oli kokonaan toinen mies, siellä hän oli päällikkö. Minä puin ja
peseydyin kiireimmän kautta ja harja kädessä märkää tukkaani
silittäen ilmestyin hänen eteensä.
Karl Ivanovitsh istui lasit nokalla kirjaa lukien tuolla ainaisella
paikallaan ikkunan ja oven välillä. Oven vasemmalla puolella oli
kahdet hyllyt, toinen meidän, lasten, toinen Karl Ivanovitshin, oma.
Meidän hyllyllämme oli kaiken lajisia kirjoja, sekä oppikirjoja että
muita, toiset niistä olivat pystyssä toiset kumollaan. Ainoastaan kaksi
suurta punakantista nidosta Histoire des voyages nojasi vankasti
seinään; sitten seurasi pitkiä ja paksuja ja suuria ja pieniä kirjoja,
kansia ilman kirjoja ja kirjoja ilman kansia: jotka kaikki aina sikin
sokin koottiin, painettiin läjään ja työnnettiin hyllylle, kun ennen
väliajan alkamista tuli käsky järjestää kirjasto, kuten Karl Ivanovitsh
kuuluvalla äänellä tätä hyllyä nimitti. Kirjakokoelma hänen omalla
hyllyllään oli ehkä vähän pienempi, mutta ainakin yhtä monipuolinen.
Muistan niistä kolme: saksalainen kirja puutarhan lannoittamisesta
kaaliviljelykseen, — sitomaton, nidos seitsenvuotisen sodan historiaa
— nahkakansissa, joiden yksi kulma oli kärventynyt, ja täydellinen
hydrostatikin oppikurssi. Karl Ivanovitsh pani suuren osan aikaansa
lukemiseen, jopa tärveli siihen silmänsäkin; mutta paitsi näitä kirjoja
ja Pohjan Mehiläistä ei hän mitään lukenut.
Karl Ivanovitshin hyllyllä olevien esineiden joukosta eräs minua
enin kaikista muistuttaa hänestä. Se oli kartongista leikattu ja

72. puujalkuseen pistetty pyöreä paperi, johon oli liimattu pilakuva
jostakin rouvasta ja tukanlaittajasta. Karl Ivanovitsh liimaili suurella
taidolla: tämä laitos oli hänen oma keksimänsä ja sen tarkotus oli
suojella hänen heikkoja silmiänsä liian kirkkaalta valolta.
Niinkuin olisi tänäpäivänä näen edessäni tuon pitkän olennon,
pumpulisessa yönutussa ja punasessa myssyssä, jonka alta
pistäytyvät hänen harvat harmaat hapsensa. Hän istuu pikku pöydän
ääressä, jolla on tuo paperipyörä tukanlaittajineen. Se heittää varjon
hänen kasvuilleen. Toisessa kädessään hän pitää kirjaa, toinen lepää
nojatuolin kädensijalla; hänen vieressään on paitsi taskukelloa, jonka
taululla näkyy pieni jääkärin kuva, myös ruudukas nenäliina, musta,
pyöreä nuuskarasia, viheliäinen silmälasikotelo. Kaikki tämä niin
arvokkaasti ja tarkasti asetettuna lepää määräpaikallaan, että yksin
tästä järjestyksestäkin jo voisi päättää Karl Ivanovitshin omantunnon
olevan puhtaan ja hänen sielunsa rauhallisen.
Joskus kun olin kyllikseni juoksennellut alhaalla salissa ja sitten
varpaisillani hiipinyt ylös luokkahuoneeseen, näin Karl Ivanovitshin
yhä istuvan yksinäisyydessä nojatuolissaan, ja rauhallisen ylevä ilme
kasvoilla lukevan jotakin lempikirjoistaan. Toisinaan yllätin hänet
semmoisinakin hetkinä, jolloin hän ei lukenut: lasit olivat silloin
valuneet alemmas pitkin hänen suurta kotkan nenäänsä; merkillisen
sammuvasti tuijottivat hänen siniset, puoleksi ummistuneet silmänsä,
ja surullisesti hymyilivät huulet. Huoneessa on hiljaa; kuuluu vaan
tasainen hengitys ja jääkärikuvalla varustetun kellon naksutus.
Hän ei huomaa minua, mutta minä seison ovella ja ajattelen:
ukko, ukko raukka! Meitä on paljon, me leikimme, meidän on
hauska, mutta hän on ypö yksin eikä kukaan häntä hyväile. Hän on
todella orpo, niinkuin hän on itsestään sanonut. Ja hirveä on hänen

73. elämänsä historia! Muistanhan minä hänen kertoneen itsestänsä
Nikolaille, hirveätä olisi olla hänenä! — Ja tuli niin sääli häntä, että
täytyi lähestyä, ottaa kädestä ja sanoa: "lieber Karl Ivanovitsh!" Hän
piti hyvin siitä, että minä näin sanoin; hän hyväili minua ja näytti
liikutetulta.
Toisella seinällä riippuivat maanosien kartat, melkein kaikki
reveltyinä, mutta jälleen kokoon liimattuina Karl Ivanovitshin
taitavalla kädellä. Kolmannella seinällä, jonka keskeltä meni ovi
alakertaan, riippui toisella puolella kaksi viivotinta: toinen leikelty,
meidän, ja toinen uuden uutukainen, hänen omansa, jota hän käytti
enemmän huomautuksien jakelemiseen, kuin viivottamiseen; toisella
puolella taas musta taulu, johon ympyröillä merkittiin meidän suuret
rikoksemme ja risteillä pienet. Taulun vasemmalla puolella oli se
nurkka, johon meitä käskettiin rangaistukseksi polvistumaan.
Kuinka elävästi muistan tämän nurkan! Muistan uuniovet, niiden
ilma-aukon ja sen äänen, joka syntyi tätä avattaissa. Joskus kun oli
saanut seista kauan nurkassa, että polvia kirveli ja selkää pakotti, tuli
ajatelleeksi, että nyt Karl Ivanovitsh on minut unohtanut; hyvä
hänen on pehmosessa nojatuolissa lukea hydrostatikiansa, mutta
toista on minun tässä! Ja että hän huomaisi, rupesin tavallisesti
hiljaa aukomaan ja taas sulkemaan ilmareikää tai karistelemaan
rappauksia seinästä; mutta jos sitten liian suuri pala putosi
permannolle, niin totisesti oli pelko yksin pahempi kaikkia
rangaistuksia. Katsahdin Karl Ivanovitshiin päin, mutta hän ei ole
ollakseenkaan, istuu vaan kirja kädessä eikä ole mitään
huomaavinaan.
Keskellä huonetta oli rikkinäisellä, mustalla vahavaatteella peitetty
pöytä, jonka reunat monin paikoin tulivat näkyviin ja olivat

74. pännäveitsillä leikellyt. Pöydän ympärillä oli muutamia seluksettomia,
maalaamattomia tuoleja, jotka pitkästä käyttämisestä olivat kuitenkin
itsestään lakeerautuneet. Viimeisellä seinällä oli kolme ikkunaa.
Näistä näkyi ulos ensin aivan ikkunan alla tie, jonka pienimmätkin
mutkat ja kivet ja uurteet ovat ammoisista ajoista minulle tutut ja
rakkaat; tien takaa näkyi lehmus-alea, jonka välistä siellä täällä
pistäysi esiin nivottu säleaita; alean yli näkyi vilja-peltoja ja niiden
takaa metsä; kaukana häämötti myös metsävahdin mökki.
Oikeanpuolisesta ikkunasta näkyi osa terassia, jossa aikuiset
tavallisesti istuivat ennen päivällistä. Usein, Karl Ivanovitshin
korjatessa sanelun mukaan tehtyä kirjotustani, tulin katsahtaneeksi
sinne päin. Sieltä näkyi äidin musta pää, jonkun muun selkä, ja
epäselvästi kuului puhe ja nauru: rupesi niin harmittamaan, ettei
saanut olla siellä mukana, ja ajatteli: milloinka minä siis tulenkaan
suureksi, lakkaan lukemasta ja pääsen näiden sanelujen äärestä
istumaan aina niiden seuraan, joita rakastan? Harmi muuttui kaihoksi
ja jumalaties mistä syystä ja minkä johdosta sitä vaipui niin
ajatuksiinsa, ettei kuullutkaan kuinka Karl Ivanovitsh kiukutteli
tehtyjen virheiden takia.
Karl Ivanovitsh riisui yltänsä yönutun, pukeutui siniseen frakkiin,
jonka olat olivat kohennetut ja poimutetut, korjasi peilin edessä
kaulahuivinsa ja vei meidät alakertaan äitiä tervehtimään.

75. II
ÄITI.
Äiti istui ruokasalissa teetä kaadellen: toisella kädellään hän piteli
teekannua, toisella teekyökin tappia, josta vettä valui teekannun
ylitse tarjottimelle. Mutta vaikka hän koetti katsoa tarkkaan, ei hän
sitä huomannut, ei huomannut myöskään, että olimme tulleet.
Kun koettaa mielikuvituksessa loihtia esille rakastetun henkilön
piirteet, syntyy niin paljon erilaisia menneisyyden muistoja, että
näiden läpi nuo piirteet hämärtyvät niinkuin kyyneleihin. Ne ovat
mielikuvituksen kyyneleitä. Koettaessani muistoon johdattaa äitiäni
semmoisena kuin hän tähän aikaan oli, näen ensin edessäni
ainoastaan hänen ruskeat silmänsä, jotka aina yhtälailla ilmaisivat
hyvyyttä ja rakkautta, näen myös syntymämerkin hänen kaulassaan,
vähän alempana sitä paikkaa missä hänellä oli pieniä hiuskiharoita,
virkatun valkosen kauluksen, hienon, kuivan käden, joka niin usein
minua hyväili ja jota niin usein suutelin; mutta hänen kasvojensa
yleistä ilmettä en voi kuvitella mieleeni.
Sohvan vasemmalla puolella oli vanha englantilainen flyygeli; sen
edessä istui mustahko sisareni Ljubotshka ja soitteli ruusunpunasilla

76. vastikään kylmällä vedellä pestyillä sormillaan ja huomattavasti
ponnistellen voimiaan Clementin harjotuksia. Hän oli yhdentoista
vuotias, kävi lyhyessä pumpulihameessa, valkosissa pitsireunaisissa
pikku housuissa, ja oktaaveja hän saattoi ottaa vaan "arpeggio".
Hänen vieressään puolikäänteessä istui Maria Ivanovna, päässä
punanauhainen myssy, sininen peleriini hartioilla, kasvot vihasesti
tulistuneina; ne saivat vielä ankaramman väreen heti kun Karl
Ivanovitsh oli astunut sisään. Hän katsahti tähän uhkaavasti ja
vastaamatta hänen tervehdykseensä polki jalallaan tahtia: un, deux,
trois, un, deux, trois, entistä kovemmin ja käskevämmin.
Karl Ivanovitsh, panematta tuohon yhtään mitään huomiota,
lähestyi tavallisella saksalaisella kohteliaisuudellaan suoraan
suutelemaan äidin kättä. Tämä heräsi ajatuksistaan, pudisti päätänsä
niinkuin olisi tahtonut karkottaa surulliset ajatukset, antoi kätensä
Karl Ivanovitshille ja suuteli häntä ryppyiseen ohimoon, sillaikaa kuin
Karl Ivanovitsh suuteli hänen kättään.
— Ich danke, lieber Karl Ivanovitsh, ja kysyi yhä saksaksi:
— Kuinka lapset ovat nukkuneet?
Karl Ivanovitsh oli toiselta korvaltaan vähän kuuro, mutta nyt
soittomelun vuoksi ei kuullut mitään. Hän kumartui lähemmäksi
sohvaa, nojautui toisella kädellään pöytään ja seisten vaan toisella
jalallaan, suu vähän hymyssä (mikä silloin näytti minusta hienouden
huipulta), kohautti myssyänsä ja sanoi:
— Anteeksi, Natalia Nikolajevna.
Varjellakseen kaljua päätään vilustumasta Karl Ivanovitsh ei
milloinkaan ottanut pois punasta päähinettään, mutta kuitenkin joka

77. kerta ruokasaliin tullessaan pyysi siihen läsnäolijain suostumusta.
— Pankaa vaan päähänne, Karl Ivanovitsh… Minä kysyin teiltä
kuinka lapset ovat nukkuneet? sanoi äiti lähempää ja jotenkin
kovasti.
Mutta ei se nytkään mitään kuullut, peitti kaljunsa punamyssyllä ja
hymyili entistä ehommin.
— Malttakaahan vähäsen, Mimmi, sanoi äiti naurahtaen Maria
Ivanovnalle: — ei tässä kuule mitään.
Kun äiti hymyili, niin hänen kauniit kasvonsa tulivat vieläkin paljoa
kauniimmiksi, ja ympärillä alkoi kaikki elää. Jospa elämän raskaina
hetkinä vilaukseltakaan voisin nähdä tuota hymyä, silloin en tietäisi
mitä suru onkaan. Semmoisessa hymyssä näyttää minusta olevan
kaikki mitä sanotaan kasvojen kauneudeksi: jos hymy lisää
kauneutta niin ovat kasvot kauniit; jos se ei niitä muuta, niin ovat ne
tavalliset; jos se niitä rumentaa, niin ne ovat rumat.
Tervehdittyään minua äiti molemmin käsin kävi päähäni ja työnsi
sen taaksepäin, sitten katsahti suoraan silmiini ja sanoi:
— Olethan itkenyt tänään?
En minä vastannut. Hän suuteli minua silmiin ja kysyi saksaksi:
— Mitä sinä itkit?
Kun hän kanssamme puhui ystävällisesti, hän aina puhui saksaa,
jota taisi täydellisesti.

78. — Minä vaan unissani itkin, äiti, sanoin minä, muistellen keksimäni
unen erikoiskohtia ja vieläkin kauhistuen niitä.
Karl Ivanovitsh vahvisti sanani, vaan ei maininnut itse unesta
mitään. Puhuttuaan vielä ilmasta, johon keskusteluun Mimmikin otti
osaa, äiti asetti tarjottimelle kuusi sokeripalaa muutamien uskottujen
palvelijain varalle, nousi ja meni ikkunalle koruompelukehyksen
ääreen.
— No nyt menkää isän luo lapset ja sanokaa hänelle, että hänen
on välttämättä tuleminen puheilleni ennenkuin menee elonkorjuulle.
Soitto, tahdin laskeminen ja ankarat katseet alkoivat uudelleen,
mutta me menimme isän luo. Kuljettuamme sen huoneen läpi, joka
vielä ukkivaarin ajoilta asti sanottiin officiantti-huoneeksi, me
tulimme isän työhuoneeseen.

79. III
ISÄ.
Hän seisoi kirjotuspöytänsä ääressä ja osottaen sormellaan siinä
olevia kirjekuoria, papereita ja rahaläjiä, kiivaanlaisesti selitteli jotain
voudille, Jaakko Mihailoville, joka seisoi tavallisella paikallaan oven ja
ilmapuntarin välissä ja kädet selän takana liikutteli sormiaan sangen
nopeasti joka suunnalle.
Mitä enempi isä kiivasteli, sitä nopeammin liikkuivat sormet ja taas
päinvastoin, kun isä vaikeni, niin sormetkin pysähtyivät; mutta annas
että Jaakko itse alkoi puhua, niin silloin sormet joutuivat mitä
levottomimpaan kiemurteluun ja tekivät epätoivoisia hypähdyksiä
joka suunnalle. Näiden sormien liikkeiden mukaan minusta saattoi
arvata Jaakon salaisimpiakin ajatuksia; mutta hänen kasvonsa olivat
aina tyynet — ne ilmaisivat oman arvon tuntoa ja samassa myös
alamaisuutta, se on: minä olen oikeassa, mutta tietysti teidän on
valta!
Meidät nähtyään isä sanoi vaan:
— Odottakaahan, — heti paikalla!

80. Ja päänsä liikkeellä osotti oveen, että joku meistä sen sulkisi.
— Hitto tietäköön, mikä sinuun on tullut, Jaakko, jatkoi hän
voudille olkapäitänsä kohautellen (kuten hänen oli tapa). — Tähän
kirjekuoreen suljetut 800 ruplaa…
Jaakko veti luoksensa nappulataulun, erotti 800 ja alkoi tuijottaa
epämääräiseen pisteeseen odotellen mitä seuraa.
— … ovat talouden tarpeiksi poissaoloni aikana. Ymmärrätkö?
Myllystä sinun on saaminen 1,000 ruplaa… eikö niin? Kiinnityksiä
sinun on kruunulta saaminen takasin 8,000; heinästä, jonka voi
myydä omien laskujesi mukaan 7,000 puutaa — panen 45 kopekkaa
puudalta — sinä olet saapa 3,000; siis kuinka paljon sinulla on
rahoja kaikkiaan? — 12,000… eikö niin?
— Aivan, aivan, sanoi Jaakko.
Mutta hänen sormiensa nopeasta liikkeestä huomasin hänen
aikovan panna vastaan; isä keskeytti hänet.
— Näistä rahoista sinun siis on lähettäminen 10,000 Petrovskin
maatilan edestä neuvoskunnalle. — Jotavastoin kassassa olevat
rahat, jatkoi isä (Jaakko sekotti entiset 12,000 ja erotti 21,000): —
sinun on tuominen minulle ja merkitseminen laskuihin menopuoleen
nykyiselle päivämäärälle (Jaakko sekotti nappulat ja käänsi taulun
ylös alasin, osottaen kai sillä että noiden 21.000 on käyvä samoin.)
— Tämän kirjekuoren sinä taas annat sille, jolle se on osotettu.
Minä kun seisoin lähellä pöytää, näin kirjekuorella osotteen: "Karl
Ivanovitsh Mauerille".

81. Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com