Transforms and applications handbook 3ed. Edition Alexander D. Poularikas

Visit https://ebookultra.com to download the full version and
explore more ebooks
Transforms and applications handbook 3ed.
Edition Alexander D. Poularikas
_____ Click the link below to download _____
https://ebookultra.com/download/transforms-and-
applications-handbook-3ed-edition-alexander-d-
poularikas/
Explore and download more ebooks at ebookultra.com

Here are some suggested products you might be interested in.
Click the link to download
Adaptive Filtering Primer with MATLAB 1st Edition
Alexander D. Poularikas
https://ebookultra.com/download/adaptive-filtering-primer-with-
matlab-1st-edition-alexander-d-poularikas/
Python cookbook 3ed. Edition Beazley D.
https://ebookultra.com/download/python-cookbook-3ed-edition-beazley-d/
Distribution Integral Transforms and Applications 1st
Edition W. Kierat (Author)
https://ebookultra.com/download/distribution-integral-transforms-and-
applications-1st-edition-w-kierat-author/
Textbook of pediatric dermatology 3ed. Edition Alan D.
Irvine
https://ebookultra.com/download/textbook-of-pediatric-dermatology-3ed-
edition-alan-d-irvine/

Handbook of respiratory care 3ed Edition Chatburn R.
https://ebookultra.com/download/handbook-of-respiratory-care-3ed-
edition-chatburn-r/
Advances in Network Embedded Management and Applications
Alexander Clemm
https://ebookultra.com/download/advances-in-network-embedded-
management-and-applications-alexander-clemm/
Applied Laplace Transforms and z Transforms for Scientists
and Engineers A Computational Approach using a Mathematica
Package 1st Edition Urs Graf (Auth.)
https://ebookultra.com/download/applied-laplace-transforms-and-z-
transforms-for-scientists-and-engineers-a-computational-approach-
using-a-mathematica-package-1st-edition-urs-graf-auth/
Fractional Integrals Potentials and Radon Transforms 2nd
Edition Boris Rubin
https://ebookultra.com/download/fractional-integrals-potentials-and-
radon-transforms-2nd-edition-boris-rubin/
DNA and Biotechnology 3ed. Edition Fitzgerald-Hayes M.
https://ebookultra.com/download/dna-and-biotechnology-3ed-edition-
fitzgerald-hayes-m/

Transforms and applications handbook 3ed. Edition
Alexander D. Poularikas Digital Instant Download
Author(s): Alexander D. Poularikas
ISBN(s): 9781420066524, 1420066528
Edition: 3ed.
File Details: PDF, 15.58 MB
Year: 2010
Language: english

TRANSFORMS
APPLICATIONS
HANDBOOK
THIRD EDITION
AND

The Electrical Engineering Handbook Series
Series Editor
Richard C. Dorf
University of California, Davis
Titles Included in the Series
The Avionics Handbook, Second Edition, Cary R. Spitzer
The Biomedical Engineering Handbook, Third Edition, Joseph D. Bronzino
The Circuits and Filters Handbook, Third Edition, Wai-Kai Chen
The Communications Handbook, Second Edition, Jerry Gibson
The Computer Engineering Handbook, Vojin G. Oklobdzija
The Control Handbook, William S. Levine
CRC Handbook of Engineering Tables, Richard C. Dorf
Digital Avionics Handbook, Second Edition, Cary R. Spitzer
The Digital Signal Processing Handbook, Vijay K. Madisetti and Douglas Williams
The Electrical Engineering Handbook, Third Edition, Richard C. Dorf
The Electric Power Engineering Handbook, Second Edition, Leonard L. Grigsby
The Electronics Handbook, Second Edition, Jerry C. Whitaker
The Engineering Handbook, Third Edition, Richard C. Dorf
The Handbook of Ad Hoc Wireless Networks, Mohammad Ilyas
The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing, Alexander D. Poularikas
Handbook of Nanoscience, Engineering, and Technology, Second Edition,
William A. Goddard, III, Donald W. Brenner, Sergey E. Lyshevski, and Gerald J. Iafrate
The Handbook of Optical Communication Networks, Mohammad Ilyas and
Hussein T. Mouftah
The Industrial Electronics Handbook, J. David Irwin
The Measurement, Instrumentation, and Sensors Handbook, John G. Webster
The Mechanical Systems Design Handbook, Osita D.I. Nwokah and Yidirim Hurmuzlu
The Mechatronics Handbook, Second Edition, Robert H. Bishop
The Mobile Communications Handbook, Second Edition, Jerry D. Gibson
The Ocean Engineering Handbook, Ferial El-Hawary
The RF and Microwave Handbook, Second Edition, Mike Golio
The Technology Management Handbook, Richard C. Dorf
Transforms and Applications Handbook, Third Edition, Alexander D. Poularikas
The VLSI Handbook, Second Edition, Wai-Kai Chen

TRANSFORMS
APPLICATIONS
CRC Press is an imprint of the
Taylor & Francis Group, an informa business
Boca Raton London New York
Editor-in-Chief
ALEXANDER D. POULARIKAS
HANDBOOK
THIRD EDITION
AND

MATLAB® is a trademark of The MathWorks, Inc. and is used with permission. The MathWorks does not warrant the accuracy of the text or exercises in
this book. This book’s use or discussion of MATLAB® software or related products does not constitute endorsement or sponsorship by The MathWorks
of a particular pedagogical approach or particular use of the MATLAB® software.
CRC Press
Taylor & Francis Group
6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300
Boca Raton, FL 33487-2742
© 2010 by Taylor and Francis Group, LLC
CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business
No claim to original U.S. Government works
Printed in the United States of America on acid-free paper
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
International Standard Book Number: 978-1-4200-6652-4 (Hardback)
This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable efforts have been made to publish reliable data and
information, but the author and publisher cannot assume responsibility for the validity of all materials or the consequences of their use. The authors and
publishers have attempted to trace the copyright holders of all material reproduced in this publication and apologize to copyright holders if permission
to publish in this form has not been obtained. If any copyright material has not been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any
future reprint.
Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced, transmitted, or utilized in any form by any electronic,
mechanical, or other means, now known or hereafter invented, including photocopying, microfilming, and recording, or in any information storage or
retrieval system, without written permission from the publishers.
For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copyright.com (http://www.copyright.com/) or contact
the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that provides
licenses and registration for a variety of users. For organizations that have been granted a photocopy license by the CCC, a separate system of payment
has been arranged.
Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only for identification and explanation
without intent to infringe.
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Transforms and applications handbook / editor, Alexander D. Poularikas. -- 3rd ed.
p. cm. -- (Electrical engineering handbook ; 43)
Includes bibliographical references and index. ISBN-13: 978-1-4200-6652-4 ISBN-10: 1-4200-6652-8 1. Transformations (Mathematics)--Handbooks, manuals, etc. I. Poularikas, Alexander D., 1933- II. Title. III. Series.
QA601.T73 2011 515’.723--dc22 2009018410
Visit the Taylor & Francis Web site at http://www.taylorandfrancis.com
and the CRC Press Web site at
http://www.crcpress.com

Contents
Preface to the Third Edition ........................................................................................................................................................vii
Editor..................................................................................................................................................................................................ix
Contributors .....................................................................................................................................................................................xi
1Signals and Systems ...........................................................................................................................................................1-1
Alexander D. Poularikas
2Fourier Transforms ............................................................................................................................................................2-1
Kenneth B. Howell
3Sine and Cosine Transforms............................................................................................................................................3-1
Pat Yip
4Hartley Transform .............................................................................................................................................................4-1
Kraig J. Olejniczak
5Laplace Transforms............................................................................................................................................................5-1
Alexander D. Poularikas and Samuel Seely
6Z-Transform ........................................................................................................................................................................6-1
Alexander D. Poularikas
7Hilbert Transforms ............................................................................................................................................................7-1
Stefan L. Hahn
8Radon and Abel Transforms ...........................................................................................................................................8-1
Stanley R. Deans
9Hankel Transform ..............................................................................................................................................................9-1
Robert Piessens
10Wavelet Transform ..........................................................................................................................................................10-1
Yulong Sheng
11Finite Hankel Transforms, Legendre Transforms, Jacobi and Gegenbauer Transforms,
and Laguerre and Hermite Transforms ......................................................................................................................
11-1
Lokenath Debnath
12Mellin Transform .............................................................................................................................................................12-1
Jacqueline Bertrand, Pierre Bertrand, and Jean-Philippe Ovarlez
13Mixed Time–Frequency Signal Transformations......................................................................................................13-1
G. Fay Boudreaux-Bartels
14Fractional Fourier Transform ........................................................................................................................................14-1
Haldun M. Ozaktas, M. Alper Kutay, and Çagatay Candan
v

15Lapped Transforms ..........................................................................................................................................................15-1
Ricardo L. de Queiroz
16Zak Transform ..................................................................................................................................................................16-1
Mark E. Oxley and Bruce W. Suter
17Discrete Time and Discrete Fourier Transforms ......................................................................................................17-1
Alexander D. Poularikas
18Discrete Chirp-Fourier Transform ...............................................................................................................................18-1
Xiang-Gen Xia
19Multidimensional Discrete Unitary Transforms .......................................................................................................19-1
Artyom M. Grigoryan
20Empirical Mode Decomposition and the Hilbert–Huang Transform .................................................................20-1
Albert Ayenu-Prah, Nii Attoh-Okine, and Norden E. Huang
Appendix A: Functions of a Complex Variable................................................................................................................A-1
Appendix B: Series and Summations....................................................................................................................................B-1
Appendix C: Deﬁnite Integrals...............................................................................................................................................C-1
Appendix D: Matrices and Determinants..........................................................................................................................D-1
Appendix E: Vector Analysis...................................................................................................................................................E-1
Appendix F: Algebra Formulas and Coordinate Systems...............................................................................................F-1
Index.............................................................................................................................................................................................IN-1
vi Contents

Preface to theThird Edition
The third edition ofTransforms and Applications Handbookfollows a similar approach to that of the second edition. The new edition
builds upon the previous one by presenting additional important transforms valuable to engineers and scientists. Numerous examples
and different types of applications are included in each chapter so that readers from different backgrounds will have the opportunity
to become familiar with a wide spectrum of applications of these transforms. In this edition, we have added the following important
transforms:
1. Finite Hankel transforms, Legendre transforms, Jacobi and Gengenbauer transforms, and Laguerre and Hermite transforms
2. Fraction Fourier transforms
3. Zak transforms
4. Continuous and discrete Chirp–Fourier transforms
5. Multidimensional discrete unitary transforms
6. Hilbert–Huang transforms
I would like to thank Richard Dorf, the series editor, for his help. Special thanks also go to Nora Konopka, the acquisitions editor for
engineering books, for her relentless drive toﬁnish the project.
Alexander D. Poularikas
MATLAB
1
is a registered trademark of The MathWorks, Inc. For product information, please contact:
The MathWorks, Inc.
3 Apple Hill Drive
Natick, MA 01760-2098 USA
Tel: 508 647 7000
Fax: 508-647-7001
E-mail: [email protected]
Web: www.mathworks.com
vii

Editor
Alexander D. Poularikasreceived his PhD from the University of Arkansas, Fayetteville, Arkansas, and became a professor at
the University of Rhode Island, Kingston, Rhode Island. He became the chairman of the engineering department at the University of
Denver, Denver, Colorado, and then became the chairman of the electrical and computer engineering department at the University
of Alabama in Huntsville, Huntsville, Alabama.
Dr. Poularikas has published seven books and has edited two. He has served as the editor in chief of theSignal Processingseries
(1993–1997) with Artech House and is now the editor in chief of theElectrical Engineering and Applied Signal Processingseries as well
as theEngineering and Science Primerseries (1998 to present) with Taylor & Francis. He is a Fulbright scholar, a lifelong senior
member of the IEEE, and a member of Tau Beta Pi, Sigma Nu, and Sigma Pi. In 1990 and in 1996, he received the Outstanding
Educators Award of the IEEE, Huntsville Section. He is now a professor emeritus at the University of Alabama in Huntsville.
Dr. Poularikas has authored, coauthored, and edited the following books:
Electromagnetics, Marcel Dekker, New York, 1979.
Electrical Engineering:Introduction and Concepts, Matrix Publishers, Beaverton, OR, 1982.
Workbook, Matrix Publishers, Beaverton, OR, 1982.
Signals and Systems, Brooks=Cole, Boston, MA, 1985.
Elements of Signals and Systems, PWS-Kent, Boston, MA, 1988.
Signals and Systems, 2nd edn., PWS-Kent, Boston, MA, 1992.
The Transforms and Applications Handbook, CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.
The Handbook for Formulas and Tables for Signal Processing, CRC Press, Boca Raton, FL, 1998, 2nd edn. (2000
Adaptive Filtering Primer with MATLAB, Taylor & Francis, Boca Raton, FL, 2006.
Signals and Systems Primer with MATLAB, Taylor & Francis, Boca Raton, FL, 2007.
Discrete Random Signal Processing and Filtering Primer with MATLAB, Taylor & Francis, Boca Raton, FL, 2009.
ix

Contributors
Nii Attoh-Okine
Civil Engineering Department
University of Delaware
Newark, Delaware
Albert Ayenu-Prah
Civil Engineering Department
University of Delaware
Newark, Delaware
Jacqueline Bertrand
National Center for Scientiﬁc Research
University of Paris
Paris, France
Pierre Bertrand
Department of Electromagnetism and
Radar
French National Aerospace Research
Establishment (ONERA
Palaiseau, France
G. Fay Boudreaux-Bartels
University of Rhode Island
Kingston, Rhode Island
Çaﬁgatay Candan
Department of Electrical and Electronics
Engineering
Middle East Technical University
Ankara, Turkey
Stanley R. Deans
University of South Florida
Tampa, Florida
Lokenath Debnath
Department of Mathematics
University of Texas-Pan American
Edinburg, Texas
Artyom M. Grigoryan
Department of Electrical and Computer
Engineering
The University of Texas
San Antonio, Texas
Stefan L. Hahn
Warsaw University of Technology
Warsaw, Poland
Kenneth B. Howell
University of Alabama in Huntsville
Huntsville, Alabama
Norden E. Huang
Research Center for Adaptive Data
Analysis
National Central University
Chungli, Taiwan
M. Alper Kutay
The Scientiﬁc and Technological Research
Council of Turkey
National Research Institute of Electronics
and Cryptology
Ankara, Turkey
Kraig J. Olejniczak
University of Arkansas
Fayetteville, Arkansas
Jean-Philippe Ovarlez
Department of Electromagnetism and
Radar
French National Aerospace Research
Establishment (ONERA
Palaiseau, France
Mark E. Oxley
Department of Mathematics and Statistics
Graduate School of Engineering and
Management
Air Force Institute of Technology
Wright-Patterson Air Force Base, Ohio
Haldun M. Ozaktas
Department of Electrical Engineering
Bilkent University
Ankara, Turkey
Robert Piessens
Catholic University of Leuven
Leuven, Belgium
Alexander D. Poularikas
University of Alabama in Huntsville
Huntsville, Alabama
Ricardo L. de Queiroz
Xerox Corporation
Webster, New York
Samuel Seely (deceased
Westbrook, Connecticut
Yulong Sheng
Department of Physics, Physical
Engineering and Optics
Laval University
Quebec, Canada
Bruce W. Suter
Air Force Research Laboratory
Information Directorate
Rome, New York
xi

Xiang-Gen Xia
Department of Electrical and Computer
Engineering
University of Delaware
Newark, Delware
Pat Yip
McMaster University
Hamilton, Ontario, Canada
xii Contributors

1
Signals andSystems
Alexander D. Poularikas
University of Alabama in Huntsville
1.1 Introduction to Signals ...............................................................................................................1-1
Functions (Signals
.Limits and Continuous Functions
.Energy
and Power Signals
1.2 Distributions, Delta Function....................................................................................................1-4
Introduction
.Testing Functions
.Deﬁnition of Distributions
.The Delta Function
.
The Gamma and Beta Functions
1.3 Convolution and Correlation ..................................................................................................1-13
Convolution
.Convolution Properties
1.4 Correlation...................................................................................................................................1-19
1.5 Orthogonality of Signals ...........................................................................................................1-19
Introduction
.Legendre Polynomials
.Hermite Polynomials
.Laguerre Polynomials
.
Chebyshev Polynomials
.Bessel Functions
.Zernike Polynomials
1.6 Sampling of Signals....................................................................................................................1-47
The Sampling Theorem
.Extensions of the Sampling Theorem
1.7 Asymptotic Series.......................................................................................................................1-52
Asymptotic Sequence
.Poincaré Sense Asymptotic Sequence
.Asymptotic Approximation
.
Asymptotic Power Series
.Operation of Asymptotic Power Series
References ................................................................................................................................................1-55
1.1 Introduction to Signals
A knowledge of a broad range of signals is of practical import-
ance in describing human experience. In engineering systems,
signals may carry information or energy. The signals with which
we are concerned may be the cause of an event or the conse-
quence of an action.
The characteristics of a signal may be of a broad range of shapes,
amplitudes, time duration, and perhaps other physical properties.
In many cases, the signal will be expressed in analytic form; in
other cases, the signal may be given only in graphical form.
It is the purpose of this chapter to introduce the mathematical
representation of signals, their properties, and some of their
applications. These representations are in different formats
depending on whether the signals are periodic or truncated, or
whether they are deduced from graphical representations.
Signals may be classiﬁ ed as follows:
1. Phenomenological classiﬁ cation is based on the evolution
type of signal, that is, a perfectly predictable evolution
deﬁnes a deterministic signal and a signal with unpredict-
able behavior is called arandom signal.
2. Energy classiﬁcation separates signals intoenergy signals,
those havingﬁnite energy, andpower signals, those with a
ﬁnite average power and inﬁnite energy.
3. Morphological classiﬁ cation is based on whether signals
are continuous, quantitized, sampled, or digital signals.
4. Dimensional classiﬁ cation is based on the number of inde-
pendent variables.
5. Spectral classiﬁcation is based on the shape of the fre-
quency distribution of the signal spectrum.
1.1.1 Functions (Signals
and Point Sets
Therule of correspondencefrom a setS
xof real or complex
numberxto a real or complex number
y¼f(x)( 1:1)
is called a function of the argumentx. Equation 1.1 speciﬁes a
value (or values)yof the variabley(set of values inY) corre-
sponding to each suitable value ofxinX. In Equation 1.1xis the
independentvariable andyis thedependentvariable.
A function ofnvariablesx
1,x
2,...,x
nassociates values
y¼f(x
1,x2,...,x n)( 1:2)
of a dependent variableywith ordered sets of values of the
independent variablesx
1,x
2,...,x
n.
The setS
xof the values ofx(or sets of values ofx
1,x
2,...,x
n)
for which the relationships (1.1 ﬁned constitutes
thedomainof the function. The corresponding set ofS
yof values
ofyis theS
xrangeof the function.
1-1

Asingle-valuedfunction produces a single value of the
dependent variable for each value of the argument. A
multiple-valuedfunction attains two or more values for each
value of the argument.
The functiony(x) has aninversefunctionx(y)ify¼y(x)
impliesx¼x(y).
A functiony¼f(x)isalgebraicofxif and only ifxandy
satisfy a relation of the formF(x,y)¼0, whereF(x,y)isa
polynomial inxandy. The functiony¼f(x)isrationaliff(x)
is a polynomial or is a quotient of two polynomials.
A real or complex functiony¼f(x)isboundedonasetS
xif and
only if the corresponding setS
yof valuesyis bounded. Furthermore,
a real functiony¼f(x)hasanupper bound ,least upper bound
(l.u.b.),lower bound,greatest lower bound(g.l.b.),maximum,or
minimumonS
xif this is also true for the corresponding setS
y.
1.1.1.1 Neighborhood
Given anyﬁnite real numbera, an open neighborhood of the
pointais the set of all points {x} such thatjxaj<dfor any
positive real numberd.
An open neighborhood of the point (a
1,a
2,...,a
n), where all
a
iareﬁnite, is the set of all points (x
1,x
2,...,x
n) such that
jx
1a
1j<d,jx
2a
2j<d,...,andjx
na
nj<dfor some positive
real numberd.
1.1.1.2 Open and Closed Sets
A pointPis alimitpoint (accumulation point) of the point setS
if and only if every neighborhood ofPhas a neighborhood
contained entirely inS, other thanPitself.
A limit pointPis an interior point ofSif and only ifPhas a
neighborhood contained entirely inS. OtherwisePis aboundary
point.
A pointPis an isolated point ofSif an only ifPhas a
neighborhood in whichPis the only point belonging toS.
A point set isopenif and only if it contains only interior points.
A point set isclosedif and only if it contains all its limit points;
aﬁnite set is closed.
1.1.2 Limits and Continuous Functions
1. A single-value functionf(x) has alimit
lim
x!a
f(x)¼L,L¼finite
asx!a{f(x)!Lasx!a} if and only if for each positive
real numberethere exists a real numberdsuch that 0<
jxaj<dimplies thatf(x)isdeﬁned andjf(x)Lj<e.
2. A single-valued functionf(x) has a limit
lim
x!1
f(x)¼L,L¼finite
asx!1if and only if for each positive real numbere
there exists a real numberNsuch thatx>Nimplies that
f(x)isdeﬁned andjf(x)Lj<e.
1.1.2.1 Operations with Limits
If limits exist, Table 1.1 gives the limit operations.
1.1.2.2 Asymptotic Relations between Two Functions
Given two real or complex functionsf(x),g(x) of a real or
complex variablex, we write
1.f(x)¼O[g(x)];f(x)isof the order g(x)asx!aif and only
if there is a neighborhood ofx¼asuch thatjf(x)=g(x)jis
bounded.
2.f(x)g(x);f(x)isasy
mptotically proportionaltog(x)as
x!aif and only if lim
x!a[f(x)=g(x)] exists and it is not zero.
3.f(x)ﬃg(x);f(x)isasymptotically equaltog(x)asx!a
if and only if
lim
x!a
[f(x)=g(x)]¼1:
4.f(x)¼o[g(x)];f(x) becomes negligible compared withg(x)
if and only if
lim
x!a
[f(x)=g(x)]¼0:
5.f(x)¼w(x)þO[g(x)] iff(x)w(x)¼O[g(x)]
f(x)¼w(x)þo[g(x)] iff(x)w(x)¼o[g(x)]
1.1.2.3 Uniform Convergence
1. A single-valued functionf(x
1,x
2)converges uniformly
on a setSof values ofx
2, limx1!af(x1,x2)¼L(x 2) if and
only if for each positive real numberethere exists a real
numberdsuch that 0<jx
1aj<dimplies thatf(x
1,x
2)is
deﬁned andjf(x
1,x
2)L(x
2)j<efor allx
2inS(dis
independent ofx
2).
2. A single-valued functionf(x
1,x
2)converges uniformly
on a setSof values ofx
2limx1!1f(x1,x2)¼L(x 2) if and
only if for each positive real numberethere exists a real
numberNsuch that forx
1>Nimplies thatf(x
1,x
2)is
deﬁned andjf(x
1,x
2)L(x
2)j<efor allx
2inS.
3. Asequenceof functionsf
1(x),f
2(x), . . .converges uni-
formlyon a setSof values ofxto aﬁnite and unique
function
lim
x!1
fn(x)¼f(x)
TABLE 1.1Operations with Limits
limx!a[f(x)þg(x)]¼lim x!af(x)þlim x!ag(x)
lim
x!a[bf(x)]¼blim x!af(x)
lim
x!a[f(x)g(x)]¼lim x!af(x) limx!ag(x)
lim
x!a
f(x)
g(x)
¼
limx!af(x)
lim
x!ag(x)
(lim
x!ag(x)6¼0)
amay beﬁnite or inﬁnite.
1-2 Transforms and Applications Handbook

if and only if for each positive real numberethere exists a real
integerNsuch that forn>Nimplies thatjf
n(x)f(x)j<efor all
ninS.
1.1.2.4 Continuous Functions
1. A single-valued functionf(x)deﬁned in the neighborhood
ofx¼aiscontinuousatx¼aif and only if for every
positive real numberethere exists a real numberdsuch
thatjxaj<dimpliesjf(x)f(a)j<e.
2. A function iscontinuous on a series of points(interval or
region) if and only if it is continuous at each point of the set.
3. A real function continuous on a bounded closed interval
[a,b] is bounded on [a,b] and assumes every value between
and including its g.l.b. and its l.u.b. at least once on [a,b].
4. A functionf(x)isuniformly continuouson a setSand only
if for each positive real numberethere exists a real numberd
such thatjxXj<dimpliesjf(x)f(X)j<efora
llXinS.
If a function is continuous in a bounded closed interval [a,b], it
is uniformly continuous on [a,b]. Iff(x) andg(x) are continuous
at a point, so are the functionsf(x)þg(x) andf(x)f(x).
1.1.2.5 Limits
1. A functionf(x) of a real variablexhas theright-hand
limit lim
x!aþ f(x)¼f(aþ)¼L
þatx¼aif and only if
for each positive real numberethere exists a real number
dsuch that 0<xa<dimplies thatf(x)isdeﬁned and
jf(x)L
þj<e.
2. A functionf(x) of a real variablexhas theleft-handlimit
lim
x!a f(x)¼f(a)¼L
atx¼aif and only if for each
positive real numberethere exists a real numberdsuch that
0<a<dimplies thatf(x)isdeﬁned andjf(x)L
j<e.
3. If lim
x!af(x) exists, then lim
x!aþ f(x)¼lim
x!a f(x)¼
lim
x!af(x). Consequently, lim
x!a f(x)¼lim
x!aþ f(x)
implies the existence of lim
x!af(x).
4. The functionf(x)isright continuousatx¼aiff(aþ)¼f(a).
5. The functionf(x)isleft continuousatx¼aiff(a)¼f(a).
6. A real functionf(x) has adiscontinuity of theﬁrst kind
at pointx¼aiff(aþ) andf(a) exist. The greatest differ-
ence between two of these numberf(a),f(aþ),f(a) is the
saltusoff(x) at the discontinuity. The discontinuities of the
ﬁrst kind off(x) constitute a discrete and countable set.
7. A real functionf(x)ispiecewise continuousinan intervalI
ifand
only iff(x) is continuous throughoutIexcept for a
ﬁnite number of discontinuities of theﬁrst kind.
1.1.2.6 Monotonicity
1. A real functionf(x) of a real variablexis astrongly mono-
tonicin the open interval (a,b)iff(x) increases asxincreases
in (a,b)oriff(x) decreases asxdecreases in (a,b).
2. A functionf(x)isweakly monotonicin (a,b)iff(x) does
not decrease, or iff(x) does not increase in (a,b). Analo-
gous deﬁnitions apply to monotonic sequences.
3. A real function of a real variablexis ofbounded variation
in the interval (a,b) if and only if there exists a real
number ofMsuch that
X
m
i¼1
jf(xi)f(x i1)j<Mfor all partitions
a¼x
0<x1<x2<<x m¼b
of the interval (a,b). Iff(x) andg(x) are of bounded
variation in (a,b), thenf(x)þg(x) andf(x)g(x) are of
bounded variation also. The functionf(x) is of bounded
variation in everyﬁnite open interval wheref(x)is
bounded and has aﬁnite number of relative maxima and
minima and discontinuities (Dirichlet conditions).
A function of bounded variation in (a,b) is bounded in (a,b)
and its discontinuities are only of theﬁrst kind.
Table 1.2 presents some useful mathematical functions.
TABLE 1.2Some Useful Mathematical Functions
1. Signum function
sgn(t)¼
1t>0
0t¼0
1t<1
(
2. Step function
u(t)¼
1
2
þ
1 2
sgn(t)¼
1t>0
0t<0
n
3. Ramp function
r(t)¼
Ð
t
1
u(t)dt¼tu(t)
4. Pulse function
p
a(t)¼u(tþa)u(ta)¼
1jtj<a
0jtj>a

5. Triangular pulse
L
a(t)¼
1
jtj
a
jtj<a
0 jtj>a
(
6. Sine function
sinc
a(t)¼
sinat
t
,1<t<1
7. Gaussian function
g
a(t)¼e
at
2
,1<t<1
8. Error function
erf (t)¼
2
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
Ðt
0
e
t
2
dt¼
2
ﬃﬃﬃﬃ p
p
P
1
n¼0
(1)
n
t
2nþ1
n!(2nþ1)
Properties:
erf (1)¼1, erf (0¼0, erf (t)?erf (t)
erfc(t)¼complementary error function
¼1erf (t)¼
2
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
Ð1
t
e
t
2
dt
9. Exponential function
f(t)¼e
at
u(t),t0
10. Double exponential
f(t)¼e
ajtj
,1<t<1
11. Lognormal function
f(t)¼
1
t
e
‘n
2
t=2
,0<t<1
12. Rayleigh function
f(t)¼te
t
2
=2
,0<t<1
Signals and Systems 1-3

1.1.3 Energy and Power Signals
1.1.3.1 Energy Signals
If we consider any signalf(t) as denoting a voltage that exists
across a 1Vresistor, then
f
2
(t)
1
¼f(t)
f(t)
1
¼f(t)i(t)¼power VA
Therefore, the integral
E¼
ð
b
a
f
2
(t)dtjoule (1:3)
representing the energy dissipated in the resistor during the time
interval (a,b). A signal is calledenergy signalif
ð
1
1
f
2
(t)dt<1 (1:4)
1.1.3.2 Power Signals
Power signals are deﬁned by the relation
0lim
T!1
1
2T
ð
T
T
f
2
(t)dt<1 (1:5)
For complex-valued signals, we must introducejf(t)j
2
instead
off
2
(t).
We may represent the energy in aﬁnite interval in terms of the
coefﬁcients of the basis functionw
i; that is, we write the energy
integral in the form
E¼
ð
b
a
f
2
(t)dt¼
ð
b
a
f(t)
X
1
n¼0
cnw
n(t)dt
¼
X
1
n¼0
cn
ð
b
a
f(t)w
n(t)dt¼
X
1
n¼0
c
2
n
kw
n(t)k
2
(1:6)
where
ð
b
a
f(t)w
n(t)dt¼c n
ð
b
a
w
2
n
(t)dt¼c nkw
n(t)k
2
Because the square of the normkw
n(t)k
2
is the energy associated
with thenth orthogonal function, Equation 1.6 shows that the
energy of the signal is the sum of the energies of its individual
orthogonal components weighted byc
n. Note that this is the
Parseval theorem. This equation shows that the set {w
n(t)}
forms an orthogonal (complete
be calculated from this representation.
Example
(a)
Ð
1
0
u
2
(t)dt¼
Ð
1
0
dt¼1; lim T!1
1
2T
Ð
T
T
u
2
(t)dt¼
lim
T!1
1
2T
Ð
T
0
dt¼lim T!1
1
2T
tj
T
0

¼
1
2
<1.
This implies thatu(t) is a power signal.
(b e
at
u(t),a>0 is an energy signal.
1.2 Distributions, Delta Function
1.2.1 Introduction
Thedeltafunctiond(t) often called theimpulseorDirac
deltafunction, occupies a central place in signal analysis.
Many physical phenomena such as point sources, point charges,
concentrated loads on structures, and voltage or current sources,
acting for very short times, can be modeled as delta functions.
Strictly speaking, delta functions are not functions in the
accepted mathematical sense, and they cannot be treated with
rigor within the framework of classical analysis. However, if dis-
tributions are introduced, then the concept of a delta function and
operations on delta functions can be given a precise meaning.
1.2.2 Testing Functions
Adistributionis a generalization of a function. Within the
framework of distributions, any function encountered in appli-
cations, such as unit-step functions and pulses, may be differen-
tiated as many times as we desire, and any convergent series of
functions may be differentiated term by term.
Atesting functionw(t) is a real-valued function of the real
variable that can be differentiated an arbitrary number of times,
and which is identical to zero outside aﬁnite interval.
Example
Testing function
w(t,a)¼
e

a
2
a
2
t
2
jtj<a
0 jtja
(
(1:7)
1.2.2.1 Properties
1. Iff(t) can be differentiated arbitrarily often
c(t)¼f(t)w(t)¼testing function
2. Iff(t) is zero outside aﬁnite interval
c(t)¼
ð
1
1
f(t)w(tt)dt,1<t<1
¼testing function
1-4 Transforms and Applications Handbook

3. A sequence of testing functions, {w n}1n<1, converges
to zero if allw
nare identically zero outside some interval
independent ofnand eachw
n, as well as all of its deriva-
tives, tends uniformly to zero.
Example
w
n(t)¼wtþ
1
n

w(t)
4. Testing functions belong to a setD, whereDis a linear
vector space, and ifw
12Dandw
22D, thenw
1þw
22D
andaw
12Dfor any numbera.
1.2.3 Deﬁnition of Distributions
Adistribution(orgeneralizedfunction)g(t) is a process of
assigning to an arbitrary test functionw(t) a numberN
g[w(t)].
A distribution is also a functional.
Example
An ordinary functionf(t) is a distribution if
ð
1
1
f(t)w(t)dt¼N f[w(t)] (1:8)
exists for every test functionw(t) in the set. For example, if
f(t)¼u(t) then
ð
1
1
u(t)w(t)dt¼
ð
1
0
w(t)dt (1:9)
The functionu(t) is s distribution that assigns tow(t) a number
equal to its area from zero to inﬁnity.
1.2.3.1 Properties of Distributions
1. Linearity–homogeneity
ð
1
1
g(t)[a 1w
1(t)þa 2w
2(t)]dt¼a 1
ð
1
1
g(t)w
1(t)dt
þa
2
ð
1
1
g(t)w
2(t)dt(1:10)
for all test functions and all numbersa
i.
2. Summation
ð
1
1
[g1(t)þg 2(t)]w(t)dt¼
ð
1
1
g1(t)w(t)dtþ
ð
1
1
g2(t)w(t)dt
(1:11)
3. Shifting
ð
1
1
g(tt 0)w(t)dt¼
ð
1
1
g(t)w(tþt 0)dt (1:12)
4. Scaling
ð
1
1
g(at)w(t)dt¼
1
jaj
ð
1
1
g(t)w
t
a

dt (1:13)
5. Even distribution
ð
1
1
g(t)w(t)dt¼0,w(t)¼odd (1 :14)
6. Odd distribution
ð
1
1
g(t)w(t)dt¼0,w(t)¼even (1 :15)
7. Derivative
ð
1
1
dg(t)
dt
w(t)dt¼g(t)w(t)j
1
1

ð
1
1
g(t)
dw(t)
dt
dt
?
ð
1
1
g(t)
dw(t)
dt
dt (1:16)
where the integrated term is equal to zero in view of the
properties of testing functions.
8. Thenth derivative
ð
1
1
d
n
g(t)
dt
n
w(t)dt¼(1)
n
ð
1
1
g(t)
d
n
w(t)
dt
n
dt (1:17)
9. Product with ordinary function
ð
1
1
[g(t)f(t)]w(t)dt¼
ð
1
1
g(t)[f(t)w(t)]dt (1:18)
provided thatf(t)w(t) belongs to the set of test functions.
10. Convolution
ð
1
1ð
1
1
g1(t)g2(tt)dt
2
4
3
5w(t)dt
¼
ð
1
1
g1(t)
ð
1
1
g2(tt)w(t)dt
2
4
3
5dt (1:19)
by formal change of the order of integration.
Signals and Systems 1-5

1.2.3.2 Deﬁnition
A sequence of distributions {g
n(t)}
1
1
is said to converge to the
distributiong(t)if
lim
n!1
ð
1
1
gn(t)w(t)dt¼
ð
1
1
g(t)w(t)dt (1:20)
for allwbelonging to the set of test functions.
11. Every distribution is the limit, in the sense of distributions,
of sequence of inﬁnitely differentiable functions.
12. Ifg
n(t)!g(t) andr
n(t)!r(t)(ris a distribution), and the
numbersa
n!a, then
d
dt
g
n(t)!
dg(t)
dt
,g
n(t)þr n(t)!g(t)þr(t),
a
ngn(t)!ag(t)
(1:21)
13. Any distributiong(t) may be differentiated as many times
as desired. That is, the derivative of any distribution always
exists and it is a distribution.
1.2.4 The Delta Function
1.2.4.1 Properties
Based on the distribution properties, the properties of the delta
function are given below.
1. The delta function is a distribution assigning to the func-
tionw(t) the numberw(0
ð
1
1
d(t)w(t)dt¼w(0 :22)
2. Shifted
ð
1
1
d(tt 0)w(t)dt¼w(t 0)( 1:23)
3. Scaled
ð
1
1
d(at)w(t)dt¼
1
jaj
ð
1
1
d(t)w
t
a

dt¼
1
jaj
w(0)
From Equation 1.22 we have the identity
d(at)¼
1
jaj
d(t)
and hence (a?1)
d(t)¼d(t)¼even (1:24)
4. Multiplication by continuous function
ð
1
1
[d(t)f(t)]w(t)dt¼
ð
1
1
d(t)[f(t)w(t)]dt¼f(0)w(0)
Iff(t) is continuous at 0, then
f(t)d(t)¼f(0)d(t)( 1:25)
and
td(t)¼0( 1:26)
5. Derivatives
ð
1
1
dd(t)
dt
w(t)dt?
dw(0)
dt
ð
1
1
dd(tt 0)
dt
w(t)?
dw(t0)
dt
(1:27)
ð
1
1
d
n
d(t)
dt
n
w(t)dt¼(1)
n
d
n
w(0)
dt
n
(1:28)
ð
1
1
dd(t)
dt
f(t)w(t)dt?
ð
1
1
d(t)
d[f(t)w(t)]
dt
dt
?f(0)
dw(0)
dt

df(0)
dt
w(0 :29)
f(t)
dd(t)
dt
?
df(0)
dt
d(t)þf(0)
dd(t)
dt
(1:30)
t
dd(t)
dt
?d(t)( 1:31)
Setf(t)¼w(t)¼1 in Equation 1.29 toﬁnd the relation
ð
1
1
dd(t)
dt
dt¼0
dd(t)
dt
is an odd function

(1:32)
f(t)
d
n
d(t)
dt
n
¼
X
n
k¼0
(1)
k
n!
k!(nk)!
d
k
f(0)
dt
k
d
nk
d(t)
dt
nk
(1:33)
From
ð
1
1
du(t)
dt
w(t)dt¼u(t)w(t)j
1
1

ð
1
1
u(t)
dw(t)
dt
dt
?
ð
1
0
dw(t)
dt
dt?w(t)j
1
0
¼w(0)
1-6 Transforms and Applications Handbook

and comparing with Equation 1.22 weﬁnd that
d(t)¼
du(t)
dt
(1:34)
Therefore, the generalized derivatives of discontinuous
function contain impulses.A
nis the jump at the discon-
tinuity pointt¼t
nof the expressionA
nw(tt
n). Also
dd(t)
dt
¼
d
2
u(t)
dt
2
oru(t)þu(t)¼1
Hence
du(t)
dt
?d(t)( 1:35)
d(tt
0)¼
du(tt 0)
dt
(1:36)
Ifr(t) has aﬁnite or countably inﬁnite number of zeros at
t
non the entiretaxis and these pointsr(t) have a continu-
ous derivativedr(t
n)=dt6¼0, then
d[r(t)]¼
X
n
d(tt n)
dr(tn)
dt

(1:37)
Hence, we obtain
d(t
2
1)¼
1
2
d(t1)þ
1 2
d(tþ1) (1 :38)
d(sint)¼
X
1
n?1
d(tnp)( 1:39)
In addition, the following relation in also true:
dd[r(t)]
dt
¼
X
n
dd(tt n)
dt
dr(t)
dt
dr(tn)
dt

(1:40)
6. Integrals
ð
1
1
Ad(tt 0)dt¼A (1:41)
for allt
0
d(tt 1)*d(tt 2)¼convolution
¼
ð
1
1
d(tt 1)d(ttt 2)dt¼d[t(t 1þt2)] (1:42)
f(t)*d(t)¼
ð
1
1
f(tt)d(t)dt¼f(t0)¼f(t)(1:43)
1.2.4.2 Distributions as Generalized Limits
We can deﬁne a distribution as a generalized limit of a sequence
f
n(t) of ordinary function. If there exists a sequencef n(t) such that
the limit
lim
n!1
ð
1
1
fn(t)w(t)dt (1:44)
exists for every test function in the set, then the result is a
number depending onw(t). Hence, we may deﬁne a distribution
g(t)as
g(t)¼limf
n(t)( 1:45)
and, therefore, equivalently
d(t)¼limf
n(t)( 1:46)
Consider the two sequences shown in Figure 1.1a and b. The
rectangular pulse sequence is given by
p
e(t)¼
u(t)u(te)
e
and has area unity whatever the value ofe. Becausew(t)is
continuous, it follows that
lim
e!0
ð
1
1
pe(t)w(t)dt¼lim
e!0
1
e
ð
e
0
w(t)dt¼lim
e!0
w(0)
1
e
ð
e
0
dt¼w(0)
and therefore
d(t)¼lim
e!0
pe(t)( 1:47)
Similarly, from
lim
e!0
1
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ep
p
ð
1
1
e
t
2
=e
w(t)dtﬃ
w(0)
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ep
p
ð
1
1
e
t
2
=e
dt¼w(0)
it follows that
d(t)¼lim
e!0
e
t
2
=e
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ep
p (1:48)
If we use the sequence
d(t)¼lim
v!1
sinvt
pt
Signals and Systems 1-7

weﬁnd that
d(t)¼lim
a!1
1
2p
ð
a
ℓa
e
þjvt
dv¼lim
a!1
sinat
pt
¼
1
2p
ð
1
ℓ1
e
þjvt
dv
(1:49)
Also
d(tℓt
0)¼
1
2p
ð
1
ℓ1
e
ℓjv(tℓt 0)
dv (1:50)
Further
ð
1
ℓ1
cosvtdv¼lim
V!1
ð
V
ℓV
cosvtdv¼lim
V!1
2 sinVt
t
¼lim
V!1
2p
sinVt
pt
¼2pd(t)( 1:51)
Figure 1.1c shows the derivatives of the sequence Equation 1.48.
The following examples will elucidate some of the delta proper-
ties and the use of the delta function in Table 1.3.
Example
Equivalence of expressions involving the delta functions:
(a tþsint)d(t)¼d(t)
(b tþsintd(t)¼cos 2t
(cþ2e
ℓt
d(tℓ1)¼1þ2e
ℓ1
d(tℓ1)
Example
The values of the following integrals are
ð
1
ℓ1
(t
2
þ4tþ5)d(t)dt¼0
2
þ4Г0þ5¼5,
ð
1
ℓ1
(1þcost)d(t)
1þ2e
t
dt¼
2
1þ2
ð
1
ℓ1
t
2
X
n
k¼1
d(tℓk)dt¼
X
n
k¼1
k
2
¼
1
6
[n(nþ1)(2nþ1)]
t
4
2
1
42
f (t)=p (t)
(a)
0.8
f
ε(t)=
exp(–t
2
/ε)
ε
3
=0.5
ε
2
=2
ε
1=6
0.6
0.4
0.2
–3 –2 –1 1 2 3
t
√πε
(b)
3
t
1
ε
2
=2
ε
3
=0.5
ε
1
=6
–0.5
–1
–3 –2 –1 1 2
df
ε
(t)
dt
(c)
0.5
FIGURE 1.1
1-8 Transforms and Applications Handbook

Example
Theﬁrst derivative of the functions is
d
dt
(2u(tþ1)þu(1t))¼
d
dt
(2u(tþ1)þu[(t1)])
¼2d(tþ1)d(t1)
d
dt
([2u(t)] cost)¼
d
dt
(2 costu(t) cost)
?2 sintd(t) costþu(t) sint
¼(u(t)2) sintd(t)
d
dt
ut
p
2

u(tp)
hi
sint

¼dt
p
2

d(tp)
hi
sintþut
p
2

u(tp)
hi
cost
¼dt
p
2

þ
h
ut
p
2

u(tp)
i
cost
TABLE 1.3Delta Functional Properties
1.d(at)¼
1
jaj
d(t)
2.d
tt0
a

¼jajd(tt
0)
3.d(att
0)¼
1
jaj
dt
t0
a

4.d(tþt
0)¼d(tt 0)
5.d(t)¼d(t);d(t)¼even function
6.
Ð
1
1
d(t)f(t)dt¼f(0)
7.
Ð
1
1
d(tt 0)f(t)¼f(t 0)
8.f(t)d(t)¼f(0)d(t)
9.f(t)d(tt
0)¼f(t 0)d(tt 0)
10.td(t)¼0
11.
Ð
1
1
Ad(t)dt¼
Ð
1
1
Ad(tt 0)dt¼A
12.f(t)*d(t)¼convolution¼
Ð
1
1
f(tt)d(t)dt¼f(t)
13.d(tt
1)*d(tt 2)¼
Ð
1
1
d(tt 1)d(ttt 2)dt¼d[t(t 1þt2)]
14.
P
N
n?N
d(tnT)*
P
N
n?N
d(tnT)¼
P
2N
n?2N
(2Nþ1jnj)d(tnT)
15.
Ð
1
1
dd(t)
dt
f(t)dt?
df(0)
dt
16.
Ð
1
1
dd(tt 0)
dt
f(t)dt?
df(t0)
dt
17.
Ð
1
1
d
n
d(t)
dt
n
f(t)dt¼(1)
n
d
n
f(0)
dt
n
18.f(t)
dd(t)
dt
?
df(0)
dt
d(t)þf(0)
dd(t)
dt
19.t
dd(t)
dt
?d(t)
20.t
n
d
m
d(t)
dt
m
¼
(1)
n
n!d(t) m¼n
(1)
n
m!
mn!
d
mn
d(t)
dt
mn
,m>n
0, m<n
8
>
<
>
:
21.
Ð
1
1
dd(t)
dt
¼0,
dd(t)
dt
¼odd function
22.f(t)*
dd(t)
dt
¼
df(t)
dt
23.f(t)
d
n
d(t)
dt
n
¼
X
n
k¼0
(1)
k
n!
k!(nk)!
dk f(0)
dt
k
d
nk
d(t)
dt
nk
24.
qd(yt)
qy
?
1
y
2
d(t)
25.d(t)¼
du(t)
dt
26.
d
n
d(t)
dt
n
¼(1)
n
d
n
d(t)
dt
n
,
d
n
d(t)
dt
n
is even ifnis even, and odd ifnis odd:

27. ( sinat)
dd(t)
dt
?ad(t)
28.
dd(t)
dt
¼
d
2
u(t)
dt
2
TABLE 1.3 (continued)Delta Functional Properties
29.d(t)¼
du(t)
dt
30.d(tt
0)¼
du(tt 0)
dt
31.
dsgn(t)
dt
¼2d(t)
32.d[r(t)]¼
P
n
d(tt n)
dr(tn)
dt

,t
n¼zeros ofr(t),
dr(tn)
dt
6¼0
33.
dd[r(t)]
dt
¼
X
n
dd(tt n)
dt
dr(t)
dt

dr(tn)
dt
,tn¼zeros ofr(t),
dr(tn)
dt
6¼0,
dr(t)
dt
6¼0
34.d( sint)¼
P
1
n?1
d(tnp)
35.d(t
2
1)¼
1
2
d(t1)þ
1 2
d(tþ1)
36.d(r
2
a
2
)¼
1
2a
[d(tþa)þd(ta)]
37.d(t)¼lim
e!0
e
t
2
=e
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ep
p
38.d(t)¼lim
v!1
sinvt
pt
39.d(t)¼lim
e!0
1
p
e
t
2
þe
2
40.d(t)¼
1
2p
Ð1
1
cosvtdv
41.
df(t)
dt
¼
d
dt
[tu(t)(t1)u(t1)u(t1)]
¼td(t)þu(t)(t1)d(t1)u(t1)d(t1)
42. comb
T(t)¼
P
1
n?1
d(tnT),f(t) comb T(t)¼
P
1
n?1
f(nT)d(tnT)
comb
v0
(v)¼^{comb T(t)}¼v 0
X
1
n?1
d(vnv 0),v0¼
2p
T
Signals and Systems 1-9

Example
The values of the following integrals are
ð
1
ℓ1
e
2t
sin 4t
d
2
d(t)
dt
2
dt¼(ℓ1)
2
d
2
dt
2
[e
2t
sin 4t]j
t¼0
¼2ω2ω4¼16
ð
1
ℓ1
(t
3
þ2tþ3)
dd(tℓ1)
dt
þ2
d
2
d(tℓ2)
dt
2
Δτ
dt
¼
ð
1
ℓ1
(t
3
þ2tþ3)
dd(tℓ1)
dt
dtþ2
ð
1
ℓ1
(t
3
þ2tþ3)
d
2
d(tℓ2)
dt
2
dt
¼(ℓ1)(3t
2
þ2)j
t¼1
þ(ℓ1)
2
2(6t)j
t¼2
?5þ24¼19
Example
The values of the following integrals are
ð
4
0
e
4t
d(2tℓ3)dt¼
ð
4
0
e
4t
d2tℓ
3
2
Δτω
dt¼
1 2
ð
4
0
e
4t
dtℓ
3 2
Δτ
dt
¼
1 2
e
4
3
2
¼
1
2
e
6
ð
4
0
e
4t
d(3ℓ2t)dt¼
ð
4
0
e
4t
d[ℓ(2tℓ3)]dt¼
ð
4
0
e
4t
d(2tℓ3)dt¼
1 2
e
6
ð
1
ℓ1
e
at
d(sint)dt¼
ð
1
ℓ1
e
at
X
1
n?1
d(tℓnp)
(ℓ1)
n
dt
¼
X
1
n?1
1
(ℓ1)
n
ð
1
ℓ1
e
at
d(tℓnp)dt
¼
X
1
n?1
1
(ℓ1)
n
e
anp
Example
The values of the following integrals are
ð
2p
ℓ2p
e
at
d(t
2
ℓp
2
)dt¼
ð
2p
ℓ2p
e
at
1
2p
[d(tℓp)þd(tþp)]dt
¼
1
2p
[e
ap
þe
ℓap
]
¼
coshap
p
ð
p
ℓp
coshud( cosu)du¼
ð
p
ℓp
coshu
duþ
p
2

sinℓ
p
2

þ duℓ
p
2

sin
p
2

"#
du
¼coshℓ p
2
πГ
þcosh
p
2
¼2cosh
p
2
1.2.5 The Gamma and Beta Functions
The gamma function is deﬁned by the formula
G(z)¼
ð
1
0
e
ℓt
t
zℓ1
dt, Re{z}>0(1 :52)
We shall mainly concentrate on the positive values ofzand we
shall take the following relationship as the basic deﬁ nition of the
gamma function:
G(x)¼
ð
1
0
e
ℓt
t
xℓ1
dt,x>0(1 :53)
The gamma function converges for all positive values ofxare
shown in Figure 1.2.
Theincomplete gamma functionis given by
g(x,t)¼
ð
t
0
t
xℓ1
e
ℓt
dt,x>0,t>0(1 :54)
Thebeta functionis a function of two arguments and is given by
B(x,y)¼
ð
1
0
t
xℓ1
(1ℓt)
yℓt
dt,x>0,y>0(1 :55)
Г(x)
6
4
4
x
2
2
–2
–2
–4
–4
–6
FIGURE 1.2
1-10 Transforms and Applications Handbook

The beta function is related to the gamma function as follows:
B(x,y)¼
G(x)G(y)
G(xþy)
(1:56)
1.2.5.1 Integral Expressions ofG(x)
If we setu¼e
t
in Equation 1.54, then 1=u¼e
t
, log
e(1=u)¼t,
(1=u)du¼dt, and [log
e(1=u)]
x1
¼t
x1
, for the limitst¼0
u¼1, andt¼1u¼0. Hence
G(x)¼
ð
1
0
t
x1
e
t
dt?
ð
0
1
log
e
1
u

x1
u 1
u
du
¼
ð
1
0
log
e
1
u

x1
du (1:57)
Starting from the deﬁnitions and settingt¼m
2
(dt¼2mdm)we
obtain (limits are the same)
G(x)¼
ð
1
0
t
x1
e
t
dt¼
ð
1
0
m
2(x1)
e
m
2
2mdm
¼2
ð
1
0
m
2x1
e
m
2
dm (1:58)
1.2.5.2 Properties and Speciﬁ c Evaluations ofG(x)
Settingxþ1 in place ofxwe obtain
G(xþ1)¼
ð
1
0
t
xþ11
e
t
dt¼
ð
1
0
t
x
e
t
dt
?
ð
1
0
t
x
d(e
t
)?t
x
e
t
j
1
0
þ
ð
1
0
xt
x1
e
t
dt
¼xG(x)( 1:59)
From the above relation we also obtain
G(x)¼
G(xþ1)
x
(1:60)
G(x)¼(x1)G(x1) (1:61)
G(x)¼
G(x1)
x
,x6¼0, 1, 2,... (1:62)
From Equation 1.53 withx¼1, weﬁnd thatG(1)¼1. Using
Equation 1.59 we obtain
G(2)¼G(1þ1)¼1G(1)¼11¼1,
G(3)¼G(2þ1)¼2G(2)¼21,
G(4)¼G(3þ1)¼3G(3)¼321:
Hence we obtain
G(nþ1)¼nG(n)¼n(n1)!¼n!,n¼0, 1, 2,...(1:63)
G(n)¼(n1)!,n¼1, 2,... (1:64)
ToﬁndG
1
2

weﬁrst sett¼u
2
G
1 2

¼
ð
1
0
t
1=2
e
t
dt¼
ð
1
0
2e
u
2
du,(t¼u
2
)
Hence its square value is
G
2
1 2

¼
ð
1
0
2e
x
2
dx
2
4
3
5
ð
1
0
2e
y
2
dy
2
4
3
5
¼4
ð
1
0ð
1
0
e
y
2
dy
2
4
3
5e
x
2
dx¼4
ð
p=2
0
ð
1
0
e
r
2
rdr
2
4
3
5du
¼4
p
2

1
2
¼p
and thus
G
1 2

¼
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
(1:65)
Next let usﬁnd the expression forGnþ
1
2

for integer positive
value ofn. From Equation 1.61 we obtain
Gnþ
1 2

¼G
2nþ1
2

¼
2nþ1
2
1

G
2nþ1
2
1

¼
2n1
2
G
2n1
2

¼
2n1
2

2n3
2

G
2n3
2

If we proceed to apply Equation 1.61, weﬁnally obtain
Gnþ
1
2

¼
(2n1)(2n3)(2n5)...(3)(1)
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
2
n
(1:66)
Similarly we obtain
Gnþ
3
2

¼
(2nþ1)(2n1)(2n3)...(3)(1)
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
2
nþ1
(1:67)
Gn
1
2

¼
(2n3)(2n5)...(3)(1)
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
2
n1
(1:68)
Signals and Systems 1-11

Example
Toﬁnd the ratioG(xþn)=G(xn) wherenis a positive integer
andxn6¼0,1,2, . . . , we proceed as follows [see Equa-
tion 1.61]:
G(xþn)
G(xn)
¼
(xþn1)G(xþn1)
G(xn)
¼
(xþn1)(xþn2)G(xþn2)
G(xn)
?
¼
(xþn1)(xþn2)(xþn3)(xþn2n)G(xþn2n)
G(xn)
¼(xþn1)(xþn2)(xn)
(1:69)
Example
Applying Equation 1.61 weﬁnd
2
n
G(nþ1)¼2
n
nG(n)¼2
n
n(n1)G(n1)
??2
n
n(n1)(n2)21
¼2
n
n!¼(21)(22)(23)(2n)¼2462n
(1:70)
Ifn1 is substituted in place ofn, we obtain
246(2n2)¼2
n1
G(n)(1 :71)
Example
Based on the Legendre duplication formula
G(2n)
G(n)
¼
Gnþ
1
2

ﬃﬃﬃﬃ
p
p
2
12n
(1:72)
we canﬁnd the ratioGnþ
1
2

=
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
G(nþ1)ðÞ as follows:
Gnþ
1
2

ﬃﬃﬃﬃ
p
p
G(nþ1)
¼
G(2n)2
12n
G(n)G(nþ1)
¼
G(2n)2
12n
2
n
G(n)2
n
G(nþ1)
¼
G(2n)2
1n
G(n)2462n
(see previous example). But
135(2n1)¼
12345(2n2)(2n1)
24(2n2)
¼
G(2n)
2
n1
G(n)
(1:73)
and hence
Gnþ
1
2

ﬃﬃﬃﬃ
p
p
G(nþ1)
¼
135(2n1)
2462n
(1:74)
1.2.5.3 Remarks on Gamma Function
1. The gamma function is continuous at everyxexcept 0 and
the negative integers.
2. The second derivative is positive for everyx>0, and this
indicates that the curvey¼G(x) is concave upward for all
x>0.
3.G(x)!þ1 asx!0þthrough positive values and as
x!þ1.
4.G(x) becomes, alternatively, negatively inﬁnite and posi-
tively inﬁnite at negative integers.
5.G(x) attains a single minimum for 0<x<1and is
located betweenx¼1 andx¼2.
Thebeta functionis deﬁned by
B(x,y)¼
ð
1
0
t
x1
(1t)
y1
dt,x>0,y>0(1 :75)
From the above deﬁnition we write
B(y,x)¼
ð
1
0
t
y1
(1t)
x1
dt?
ð
0
1
(1s)
y1
s
x1
ds
¼
ð
1
0
s
x1
(1s)
y1
ds¼B(x,y)( 1:76)
where we set 1t¼s.
If we sett¼sin
2
u,dt¼2sinucosuduand the limits ofuare 0
andp=2, then
B(x,y)¼
ð
p=2
0
2 sin
2x1
ucos
2y1
udu (1:77)
The integral representation of the beta function is given by
B(x,y)¼
ð
1
0
u
x1
du
(uþ1)
xþy
,x>0,y>0(1 :78)
Sett¼ptin Equation 1.52 andﬁnd the relation
ð
1
0
e
pt
t
z1
dt¼
G(z)
p
z
, Re{p}>0(1 :79)
Next setp¼1þuandz¼xþyin the above equation toﬁnd
that
1
(1þu)
xþy
¼
1
G(xþy)
ð
1
0
e
(1þu) t
t
xþy1
dt (1:80)
1-12 Transforms and Applications Handbook

Substituting Equation 1.80 in Equation 1.78, we obtain
B(x,y)¼
1
G(xþy)
ð
1
0
e
t
t
xþy1
dt
ð
1
0
e
ut
u
x1
du
¼
G(x)
G(xþy)
ð
1
0
e
t
t
y1
dt¼
G(x)G(y)
G(xþy)
(1:81)
It can be shown that
B(p,1p)¼
p
sinpp
,0<p<1(1 :82)
From the identitiesG(xþ1)¼xG(x),G(x)¼G(1x)=(x),
B(x,y)¼G(x)G(y)=G(xþy) together with Equation 1.82, we
obtain
G(p)G(1p)¼
p
sinpp
,pis nonintegral (1:83)
Example
To show that
ð
1
0
t
n1
e
(aþ1)t
dt¼
G(n)
(aþ1)
n
,n>0,a>1
we sett¼(aþ1)
1
y. Hence
ð
1
0
t
n1
e
(aþ1)t
dt¼
ð
1
0
y
aþ1

n1
e
y
dy
aþ1
¼(aþ1)
n
ð
1
0
y
n1
xe
y
dy¼
G(n)
(aþ1)
n
Example
To evaluate the integral
Ð
1
0
e
x
2
dx, we write it in the form
ð
1
0
x
0
e
x
2
dx
which, if compared with the integral in Table 1.4, we have the
correspondencea¼0,b¼1,c¼2. Hence we obtain
ð
1
0
e
x
2
dx¼
G
aþ1
c

cb
(aþ1)=c
¼
G
0þ1
2

21
1=2
¼
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
2
1.3 Convolution and Correlation
1.3.1 Convolution
Convolution of functions, although a mathematical relation, is
extremely important to engineers. If the impulse response of a
system is known, that is, the response of the system to a delta
function input, the output of the system is the convolution of the
TABLE 1.4Gamma and Beta Function Relations
G(x)¼
Ð
1
0
e
t
t
x1
dt x>0
G(x)¼
Ð
1
0
2u
2x1
e
u
2
du x>0
G(x)¼
Ð
1
0
log
1
r

x1
dr x>0
G(x)¼ G(xþ1)
x
x6¼0,1,2,...
G(x)¼(x1)G(x1) x6¼0,1,2,...
G(x)¼
G(1x)
x
x6¼0, 1, 2, . . .
G(n)¼(n1)! n¼1, 2, 3,..., 0!¼1
G
1
2

¼
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
Gnþ
1
2

¼
135(2n1)
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
2
n
n¼1, 2, . . .
Gnþ
3
2

¼
(2nþ1)(2n1)(2n3)(3)(1)
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
2
nþ1
n¼1, 2, . . .
Gn
1
2

¼
(2n3)(2n5)(3)(1)
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
2
n1
n¼1, 2, . . .
G(nþ1)¼
2462n
2
n n¼1, 2, . . .
G(2n)¼135(2n1)G(n)2
1n
n¼1, 2, . . .
G(2n)
G(n)
¼
Gnþ
1
2

ﬃﬃﬃﬃ
p
p
2
12n
n¼1, 2, . . .
G(x)G(1x)¼
p
sinxp
x6¼0, 1, 2,...
n!¼
n
e

nﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2pn
p
þh n¼1, 2,...,0
<h
n!
<
1
12n
Ð
1
0
t
a
e
bt
c
dt¼
G
aþ1
c

cb
(aþ1)=c
a>1,b>0,c>0
B(x,y)¼
Ð
1
0
t
x1
(1t)
y1
dt x>0,y>0
B(x,y)¼
Ð
p=2
0
2 sin
2x1
ucos
2y1
udu x>0,y>0
B(x,y)¼
Ð
1
0
u
x1
(uþ1)
xþy
du x>0,y>0
B(x,y)¼
G(x)G(y)
G(xþy)
B(x,y)¼B(y,x)
B(x,1x)¼
p
sinxp
0<x<1
B(x,y)¼B(xþ1,y)þB(x,yþ1) x>0,y>0
B(x,nþ1)¼
12n
x(xþ1)(xþn)
x>0
Signals and Systems 1-13

input and its impulse response. The convolution of two functions
is given by
g(t)¼
:
f(t)*h(t)¼
ð
1
ε1
f(t)h(tεt)dt (1:84)
Proof
Letf(t) be written as a sum of elementaryf
i(t). The outputg(t)is
also given by the sum of the outputsg
i(t) due to each elementary
functionf
i(t). (Table 1.5) Hence
f(t)¼
X
i
fi(t),g(t)¼
X
i
gi(t)(1 :85)
IfDtis sufﬁciently small, the area off
i(t) equalsf(t
i)Dt
(see Figure 1.3). Hence, the output is approximatelyf(t
i)Dth
(tεt
i) becausef
i(t) is concentrated near the pointt
i.AsDt!0,
we thus conclude that
X
i
gi(t)ﬃ
X
i
f(ti)h(tεt i)Dt!
ð
1
ε1
f(t)h(tεt)dt
For casual systems, the impulse response is
h(t)¼0,t<0( 1:86)
and, therefore, the output of the system becomes
g(t)¼
ð
t
ε1
f(t)h(tεt)dt¼
ð
1
0
f(tεt)h(t)dt (1:87)
If, also,f(t)¼0 fort<0, theng(t)¼0 fort<0; fort>0we
obtain
g(t)¼
ð
t
0
f(t)h(tεt)dt¼
ð
t
0
f(tεt)h(t)dt (1:88)
The convolution does not exist for all functions. The sufﬁcient
conditions are
1. Bothf(t) andh(t) must be absolutely integrable in the
interval (ε1, 0].
2. Bothf(t) andh(t) must be absolutely integrable in the
interval [0,1).
3. Eitherf(t)orh(t) (or both) must be absolutely integrable
in the interval (ε1,1).
For example, the convolution cosv
0t* cosv
0tdoes not exist.
Example
If the functions to be convoluted are
f(t)¼1, 0<t<1,h(t)¼e
εt
u(t)
then the output is given by
g(t)¼
ð
1
ε1
f(t)h(tεt)dt
The ranges are
1.ε1<t<0. No overlap off(t) andh(t) takes place.
Hence,g(t)¼0.
2. 0<t<1. Overlap occurs from 0 tot. Hence
g(t)¼
ð
t
0
1Гe
ε(tεt)
dt¼e
εt
ð
t
0
e
t
dt¼1εe
εt
TABLE 1.5G(x), 1τxτ1.99
x 0 123456789
1.0 1.0000 .9943 .9888 .9835 .9784 .9735 .9687 .9642 .9597 .9555
.1 .9514 .9474 .9436 .9399 .9364 .9330 .9298 .9267 .9237 .9209
.2 .9182 .9156 .9131 .9108 .9085 .9064 .9044 .9025 .9007 .8990
.3 .8975 .8960 .8946 .8934 .8922 .8912 .8902 .8893 .8885 .8879
.4 .8873 .8868 .8864 .8860 .8858 .8857 .8856 .8856 .8857 .8859
.5 .8862 .8866 .8870 .8876 .8882 .8889 .8896 .8905 .8914 .8924
.6 .8935 .8947 .8959 .8972 .8986 .9001 .9017 .9033 .9050 .9068
.7 .9086 .9106 .9126 .9147 .9168 .9191 .9214 .9238 .9262 .9288
.8 .9314 .9341 .9368 .9397 .9426 .9456 .9487 .9518 .9551 .9584
.9 .9618 .9652 .9688 .9724 .9761 .9799 .9837 .9877 .9917 .9958
t
Δτ
f (t)
τ
i
Δτ
f (τ
i
)
f
i
(t)
tτ
iFIGURE 1.3
1-14 Transforms and Applications Handbook

3. 1<t<1, Overlap occurs from 0 to 1. Hence
g(t)¼
ð
1
0
e
(tt)
dt¼e
t
(e1)
1.3.1.1 Deﬁnition: Convolution Systems
The convolution of any continuous and discrete system is given
respectively by
y(t)¼
ð
1
1
h(t,t)x(t)dt (1:89)
y(n)¼
X
1
m?1
h(n,m)x(m)(1 :90)
If the systems are time invariant, the kernelsh() are functions of
the difference of their argument. Hence
h(n,m)¼h(nm),h(t,t)¼h(tt)
and therefore
y(t)¼
ð
1
1
x(t)h(tt)dt (1:91)
y(n)¼
X
1
m?1
x(m)h(nm)(1 :92)
1.3.1.2 Deﬁnition: Impulse Response
The impulse responseh(t) of a system is the result of a delta
function input to the system. Its value attis the response to a
delta function att¼0.
Example
The voltagey
c(t) across the capacitor of anRCcircuit in series
with an input voltage sourcey(t) is given by
dyc(t)
dt
þ
1
RC
y
c(t)¼
1
RC
y(t)
For a given initial conditiony
c(t0) at timet¼t 0the solution is
y
c(t)¼e
(tt 0)=RC
yc(t0)þ
1
RC
ð
t
t
0
e
(tt)=RC
y(t)dt,tt 0
For aﬁnite initial condition andt
0!1, the above equation
is written in the form
y
c(t)¼
1
RC
ð
1
1
e
(tt)=RC
u(tt)y(t)dt¼
1
RC
e
t=RC

*y(t)
Therefore, the impulse response of this system is
h(t)¼
1
RC
e
t=RC
u(t)
Example
A discrete system that smooths the input signalx(n)is
described by the difference equation
y(n)¼ay(n1)þ(1a)x(n),n¼0, 1, 2,...
By repeated substitution and assuming zero initial condition
y(1)¼0, the output of the system is given by
y(n)¼(1a)
X
n
m¼0
a
nm
x(m),n¼0, 1, 2,...(1:93)
If we deﬁne the impulse response of the system by
h(n)¼(1a)a
n
,n¼0, 1, 2,...
the system has an input–output relation
y(n)¼
X
1
m?1
h(nm)x(m)
which indicates that the system is a convolution one.
Example
Apure delaysystem in deﬁned by
y(t)¼
ð
1
1
d(tt 0t)x(t)dt¼x(tt 0)(1 :94)
which shows that its impulse response ish(t)¼d(tt
0).
1.3.1.3 Deﬁnition: Nonanticipative Convolution System
A system, discrete or continuous, is nonanticipative if and only if
its impulse response is
h(t)¼0,t<0
withtranging over the range in which the system is deﬁned.
If the delayt
0of a pure delay system is positive, then the
system in nonanticipative; and if it is negative, the system is
anticipative.
Signals and Systems 1-15

1.3.2 Convolution Properties
Commutative
y(t)¼
ð
1
1
f(t)h(tt)dt¼
ð
1
1
f(tt)h(t)dt
Settt¼t
0
in theﬁrst integral, and then rename the dummy
variablet
0
tot.
Distributive
g(t)¼f(t)*[h
1(t)þh 2(t)]¼f(t)*h 1(t)þf(t)*h 2(t)
This property follows directly as a result of the linear property of
integration.
Associative
[[f(t)*h
1(t)]*h 2(t)]¼f(t)*[h 1(t)*h 2(t)]
Shift invariance
Ifg(t)¼f(t)*h(t), then
g(tt
0)¼f(tt 0)*h(t)¼
ð
1
1
f(tt 0)h(tt)dt
Writeg(t) in its integral form, substitutett
0fort, set
tþt
0¼t
0
, and then rename the dummy variable.
Area property
A
f¼
ð
1
1
f(t)dt¼area
m
f¼
ð
1
1
tf(t)dt¼first moment
K
f¼
mf
Af
¼center of gravity
The convolutiong(t)¼f(t)*h(t) leads to
A
g¼AfAh
Kg¼KfþKh
Proof
m
g¼
ð
1
1
tg(t)dt¼
ð
1
1
t
ð
1
1
f(t)h(tt)dt
2
4
3
5dt
¼
ð
1
1
f(t)
ð
1
1
th(tt)dt
2
4
3
5dt
¼
ð
1
1
f(t)
ð
1
1
(lþt)h(l)dl
2
4
3
5dt,tt¼l
¼
ð
1
1
f(t)dt
ð
1
1
lh(l)dlþ
ð
1
1
tf(t)dt
ð
1
1
h(l)dl
¼A
fmhþmfAh
mg
AfAh
¼
mg
Ag
¼
:
Kg¼
AfmhþmfAh
AfAh
¼KhþKf
Scaline property
Ifg(t)¼f(t)*h(t), thenf
t
a

*h
t
a

¼jajg
t
a

.
Proof
ð
1
1
f
t
a

h
tt
a

dt¼
ð
1
1
f
t
a

h
t
a

t
a

dt
¼jaj
ð
1
1
f(r)h
t
a
r

dr¼jajg
t
a

Complex-valued functions
g(t)¼f(t)*h(t)¼[f
r(t)þjf i(t)]*[h r(t)þjfh i(t)]
¼[f
r(t)*h r(t)f i(t)*h i(t)]þj[f r(t)*h i(t)þf i(t)*h r(t)]
Derivative of delta function
g(t)¼f(t)*
dd(t)
dt
¼
ð
1
1
f(t)
d
dt
d(tt)dt
¼
d
dt
ð
1
1
f(t)d(tt)dt¼
df(t)
dt
Moment expansion
Expandf(tt) in Taylor series about the pointt¼0
f(tt)¼f(t)tf
(1)
(t)þ
t
2
2!
f
(2)
(t)??(t)
n1
(n1)!
f
(n1)
(t)þe n
1-16 Transforms and Applications Handbook

Insert into convolution integral
g(t)¼f(t)
ð
1
1
h(t)dtf
(1)
ð
1
1
th(t)dtþ
f
(2)
(t)
2!
ð
1
1
t
2
h(t)dt
??
f
(n1)
(t)
(n1)!
(1)
n1
ð
1
1
t
n1
h(t)dtþE n
¼mh0f(t)m h1f
(1)
(t)þ
mh2
2!
f
(2)
(t)
??(1)
n1
(n1)!
m
h(n1)f
(n1)
(t)þE n
where bracketed numbers in exponents indicate order of differ-
entiation.
Truncation Error
Because
e
n¼
(t)
n
n!
f
(n)
(tt 1), 0t 1t
E
n¼
1
n!
ð
1
1
(t)
n
f
(n)
(tt 1)h(t)dt
Becauset
1depends ont, the functionf
(n)
(tt
1) cannot be
taken outside the integral. However, iff
(n)
(t) is continuous and
t
n
h(t)0, then
E
n¼
1
n!
f
(n)
(tt 0)
ð
1
1
(t)
n
h(t)dt¼
(1)
n
mhn
n!
f
(n)
(tt 0)
wheret
0is some constant in the interval of integration.
Fourier transform
^{f(t)*h(t)}¼F(v)H(v)
Proof
ð
1
1ð
1
1
f(t)h(tt)dt
2
4
3
5e
jvt
dt¼
ð
1
1
f(t)
ð
1
1
h(tt)e
jvt
dt dt
¼
ð
1
1
f(t)e
jvt
dt
ð
1
1
h(r)e
jvr
dr,tt¼r
Inverse Fourier transform
1
2p
ð
1
1
F(v)H(v)e
jvt
dv¼
ð
1
1
f(t)h(tt)dt
Band-limited function
Iff(t)iss-band limited, then the output of a system is
g(t)¼
ð
1
1
f(t)h(tt)dt¼
X
1
n?1
Tf(nT)h s(tnT)
where
h
s(t)¼
1
2p
ð
s
s
H(v)e
jvt
dv
Proof
H
s(v)¼p s(v)H(v),
hence
G(v)¼F(v)H(v)
¼F(v)p
s(v)H(v)
¼F(v)H
s(v),F(v)¼F(v) fors<v<s
g(t)¼

f(t)*h
s(t)¼
X
1
n?1
Tf(nT)d(tnT)
"#
*h s(t)
¼
X
1
n?1
Tf(nT)h s(tnT)
The convolution properties are given in Table 1.6.
1.3.2.1 Stability of Convolution Systems
1.3.2.1.1 Deﬁnition: Bounded Input Bounded Output (BIBO
Stability
A discrete or continuous convolution system with impulse
responsehis BIBO stable if and only if the impulse satisﬁes the
inequality,S
njhj<1or
Ð
R
jh(t)jdt<1. If the system is BIBO
stable, then
supjy(n)j
X
n
jh(n)jsupjx(n)j, supjy(t)j

ð
R
jh(t)jdtsupjx(t)j,t2R
for everyﬁnite amplitude inputx(t)(yis the input of the system).
Example
If the impulse response of a discrete system ish(n)¼ab
n
,
n¼0, 1, 2, . . . , then
X
1
n¼0
jh(n)j¼
X
1
n¼0
jajjbj
n
¼
jaj
1
1jbj
jbj<1
1j bj1

Signals and Systems 1-17

The above indicates that forjbj<1 the system is BIBO and for
jbj1 the system is unstable.
Example
Ifh(t)¼u(t) thenjh(t)j¼
Ð
1
0
ju(t)jdt¼1, which indicates the
system is not BIBO stable.
1.3.2.1.2 Harmonic Inputs
If the input function is of complex exponential ordere
jvt
, then its
output is
y(t)¼
ð
1
1
h(t)e
jv(tt)
dt¼e
jvt
ð
1
1
h(t)e
jvt
dt¼H(v)e
jvt
The above equation indicates that the output is the same as the
inpute
jvt
with its amplitude modiﬁed byjH(v)jand its phase by
tan
1
(Hi(v)=H r(v)) whereH r(v)¼Re{H(v)} andH i(v)¼Im
{H
i(v)}.
For the discrete case we have the relation
y(n)¼e
jvn
H(e
jv
)
where
H(e
jv
)¼
X
1
n?1
h(n)e
jvn
TABLE 1.6Convolution Properties
1. Commutative g(t)¼
Ð
1
1
f(t)h(tt)dt¼
Ð
1
1
f(tt)h(t)dt
2. Distributive g(t)¼f(t)*[h
1(t)þh 2(t)]¼f(t)*h 1(t)þf(t)*h 2(t)
3. Associative [[ f(t)*h
1(t)]*h 2(t)]¼f(t)*[h 1(t)*h 2(t)]
4. Shift invariance g(t)¼f(t)*h(t)
g(tt
0)¼f(tt 0)*h(t)¼
Ð
1
1
f(tt 0)h(tt)dt
5. Area property A
f¼area off(t),
m
f¼
Ð
1
1
tf(t)dt¼first moment
K
f¼
mf
Af
¼center of gravity
A
g¼AfAh,Kg¼KfþKh
6. Scaling g(t)¼f(t)*h(t)
f
t
a

*h
t
a

¼jajg
t
a

7. Complex-valued functions g(t)¼f(t)*h(t)¼[f
r(t)*h r(t)f i(t)*h i(t)]þj[f r(t)*h i(t)þf i(t)*h r(t)]
8. Derivative
g(t)¼f(t)*
dd(t)
dt
¼
df(t)
dt
9. Moment expansion g(t)¼m
h0f(t)m h1f
(1)
(t)þ
mh2
2!
f
(1)
(t)??(1)
n1
n1!
m
h(n1)f
(n1)
(t)þE n
mhk¼
Ð
1
1
t
k
h(t)dt
E
n¼
(1)
n
mhn
n!
f
(n)
(tt 0),t0¼constant in the interval of integration
10. Fourier transform F{f(t)*h(t)}¼F(v)H(v)
11. Inverse Fourier transform
1
2p
Ð1
1
F(v)H(v)e
jvt
dv¼
Ð
1
1
f(t)h(tt)dt
12. Band-limited function g(t)¼
Ð
1
1
f(t)h(tt)dt¼
P
1
n?1
Tf(nT)h s(tnT)
h
s(t)¼
1
2p
Ð
s
s
H(v)e
jvt
dv,f(t)¼sband limited¼0,jtj>s
13. Cyclical convolution x(n)y(n)¼
P
N1
m¼0
x((nm)modN)y(m)
14. Discrete-time x(n)*y(n)¼
P
1 m?1
x(nm)y(m)
15. Sampled x(nT)*y(nT)¼T
P
1 m?1
x(nTmT)y(mT)
1-18 Transforms and Applications Handbook

1.4 Correlation
Thecross-correlationof two different functions is deﬁned by the
relation
R
fh(t)¼
:
f(t)}h(t)¼
ð
1
1
f(t)h(tt)dt¼
ð
1
1
f(tþt)h(t)dt
(1:95)
Whenf(t)¼h(t) the correlation operation is calledautocorrela-
tion.
R
ff(t)¼
:
f(t)}f(t)¼
ð
1
1
f(t)f(tt)dt¼
ð
1
1
f(tþt)f(t)dt
(1:96)
For complex functions the correlation operations are given by
R
fh(t)¼
:
f(t)}h*(t)¼
ð
1
1
f(t)h*(tt)dt (1:97)
R
ff(t)¼
:
f(t)}f*(t)¼
ð
1
1
f(t)f*(tt)dt (1:98)
The two basic properties of correlation are
f(t)}h(t)6¼h(t)}f(t)( 1:99)
jR
ff(t)j¼
:
jf(t)}f*(t)j¼
ð
1
1
f(t)f*(tt)dt

ð
1
1
jf(t)j
2
dt
2
4
3
5
1=2
ð
1
1
jf(tt)j
2
dt
2
4
3
5
1=2
¼
ð
1
1
jf(t)j
2
dtR ff(0) (1:100)
Example
The cross-correlation of the following two functions,f(t)¼p(t)
andh(t)¼e
(t3)
u(t3), is given by
R
fh(t)¼
ð
1
1
p(t)e
(tt3)
u(tt3)dt
The ranges oftare
1.t>2:R
fh(t)¼0 (no overlap of function)
2.4<t<2:R
fh(t)¼
Ð
1
3þt
e
(tt3)
dt¼1e
2
e
t
3.1<t<4:R fh(t)¼
Ð
1
1
e
(tt3)
dt¼e
t
e
2
(e
2
1)
The discrete form of correlation is given by
x(n)}y(n)¼
X
1
m?1
x(mn)y*(m)crosscorrelation
(1:101)
x(n)}x(n)¼
X
1
m?1
x(mn)x*(m)autocorrelation
(1:102)
x(nT)}y(nT)¼T
X
1
m?1
x(mTnT)y*(mT)
sampled cross-correlation (1:103)
1.5 Orthogonality of Signals
1.5.1 Introduction
Modern analysis regards some classes of functions as multidimen-
sional vectors introducing the deﬁnition of inner products and
expansion in term of orthogonal functions (base functions). In this
section, functionsF(t),f(t),F(x), . . . symbolize either functions of
one independent variablet, or, for brevity, a function of a setn
independent variablest
1
,t
2
,...,t
n
. Hence,dt¼dt
1
...dt
n
.
A real or complex functionf(t)deﬁned on the measurable set
Eof elements {r}isquadratically integrableonEif and only if
ð
E
jf(t)j
2
dt
exists in the sense of Lebesque. The classL
2of all real or complex
functions is quadratically integrable on a given interval if one
regards the functionsf(t),h(t), . . . as vectors and deﬁnes
Vector sum off(t) andh(t)asf(t)þh(t)
Product off(t) by a scalaraasaf(t)
Theinner productoff(t) andh(t)isdeﬁned as
hf,hi¼
:
ð
I
g(t)f*(t)h(t)dt (1:104)
whereg(t) is a real nonnative function (weighting function)
quadratically integrable onI.
Signals and Systems 1-19

Norm
The norm isL
2is the quantity
kfk¼[hf,fi]
1=2
¼
:
ð
I
g(t)jf(t)j
2
dt
2
4
3
5
1=2
(1:105)
Ifkfkexists and is different from zero, the function is
normalizable.
Normalization
f(t)
kfk
¼unit norm
Inequalities Iff(t),h(t), and the nonnegative weighting functiong(t) are
quadratically integrable onI, then
Cauchy–Schwarz inequality
jhf(t),h(t)ij ¼
:
ð
I
g(t)f*hdt

2

ð
I
gjfj
2
dt
ð
I
gjhj
2
dt¼
:
hf,fihh,hi
(1:106)
Minkowski inequality
kfþhk¼
:
ð
I
gjfþhj
2
dt
0
@
1
A
1=2

ð
I
gjfj
2
dt
0
@
1
A
1=2
þ
ð
I
gjhj
2
dt
0
@
1
A
1=2
¼kfkþkhk (1:107)
Convergence in mean
The spaceL
2admits thedistance function(matric)
dhf,hi¼
:
kfhk¼
:
ð
I
g(t)jf(t)h(t)j
2
dt
2
4
3
5
1=2
(1:108)
The root-mean-square difference of the above equation between
the two functionsf(t) andh(t) is equal to zero if and only iff(t)¼
h(t) for almost alltinI.
Every sequence inIof functionsr
0(t),r
1(t),r
2(t), . . .converges
in the meanto the limitr(t) if and only if
d
2
hrn,ri¼
:
kr nrk
2
¼
:
ð
I
g(t)jr n(t)r(t)j
2
dt!0asn!1
(1:109)
Therefore we deﬁne limit in the mean
lim:
n!1rn(t)¼r(t)( 1:110)
Convergence in the mean does not necessarily imply convergence
of the sequence at every point, nor does convergence of all points
onIimply convergence in the mean.
Riess–Fischer Theorem
TheL
2space with a given intervalIiscomplete; every sequence
of quadratically integrable functionsr
0(t),r
1(t),r
2(t), . . . such that
lim.
m!1,n!1 jr
mr
nj¼0(Cauchy sequence), converges in the
mean to a quadratically integrable functionr(t) and deﬁnesr(t)
uniquely for almost alltinI.
Orthogonality
Two quadratically integrable functionsf(t),h(t) areorthogonal
onIif and only if
hf,hi¼
ð
I
g(t)f*(t)h(t)dt¼0(1 :111)
Orthonormal
A set of functionr
i(t),i¼1, 2, . . . is anorthonormalset if and
only if
hr
i,rji¼
:
ð
I
g(t)r i*(t)rj(t)dt¼d ij¼
0ifi6¼j
1ifi¼j

(i,j¼1, 2,...)
(1:112)
Every set of normalizable mutually orthogonal functions is lin-
early independents.
Bessel’s inequalities
Given aﬁnite or inﬁnite orthonormal setw
1(t),w
2(t),w
3(t),...
and any functionf(t) quadratically integrable overI
X
i
jhw
ifij
2
hf,fi (1:113)
The equal sign applies if and only iff(t) belongs to the space
spanned by allw
i(t).
1-20 Transforms and Applications Handbook

Complete orthonormal set of functions (orthonormal bases)
A set of functions {w
i(t)},i¼1, 2, . . . , inL
2is a complete ortho-
normal set if and only if the set satisﬁes the following conditions:
1. Every quadratically integrable functionf(t) can be expanded
in the form
f(t)¼hf,w
1iw
1þhf,w
2iw
2??hf,w
iiw
i?,
i¼1, 2,...
2. If (1
hf,fi¼jhf,w
1ij
2
þjhf,w
2ij
2
?
which is the completeness relation (Parseval’s identity).
3. For any pair of functionsf(t) andh(t)inL
2, the relation
holds
hf,hi¼hf,w
1ihh,w
1iþhf,w
2ihh,w
2i?
4. The orthonormal setw
1(t),w
2(t),w
3(t), . . . is not contained
in any other orthonormal set inL
2.
The above conditions imply the following: given a complete
orthonormal set {w
i(t)},i¼1, 2, . . . inL
2and a set of complex
numbershf,w
1i,hf,w
2i?such that
P
1
i¼1
jhf,w
iij
2
<1,
there exists a quadratically integrable functionf(t) such that
hf,w
1iw
1þhf,w
2iw
2?converges in the mean off(t).
Gram–Schmidt orthonormalization process
Given any countable (ﬁnite or inﬁnite) set of linear independent
functionsr
1(t),r
2(t), . . . normalizable inI, there exists an orthog-
onal setw
1(t),w
2(t), . . . spanning the same space of functions.
Hence
w
1¼r1,w
2¼r2
Ð
I
w
1r2dt
Ð
I
w
2
1
dt
,w
3
¼r3
Ð
I
w
1r3dt
Ð
I
w
2
1
dt
w
1
Ð
I
w
2r3dt
Ð
I
w
2 2
dt
w
2, etc: (1:114)
For creating an orthonormal set, we proceed as follows:
w
i(t)¼
yi(t)
ky
i(t)k
¼
yi(t)
þ
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
hy
i,yii
p
y
1(t)¼r 1(t),yiþ1(t)¼r iþ1(t)
X
i
k¼1
hw
k,riþ1iw
k(t),i¼1, 2,...
(1:115)
Series approximation
Iff(t) is a quadratically integrable function, then
ð
I
jfn(t)f(t)j
2
dt
yields theleast mean square error.The set {w
i(t)},i¼1, 2, . . . is
orthonormal and the approximation tof(t)is
f
n(t)¼a 1w
1(t)þa 2w
2(t)??a nw
n(t),n¼1, 2,...
(1:116)
1.5.2 Legendre Polynomials
1.5.2.1 Relations of Legendre Polynomials
Legendre polynomials are closely associated with physical phe-
nomena for which spherical geometry is important. The polyno-
mialsP
n(t) are called Legendre polynomials in honor of their
discoverer, and they are given by
P
n(t)¼
X
[n=2]
k¼0
(1)
k
(2n2k)!t
n2k
2
n
k!(nk)!(n2k)!
(1:117)
[n=2]¼
n=2 neven
(n1)=2nodd

1
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
12stþs
2
p ¼
P
1
n¼0
Pn(t)s
n
jsj<1
P
1
n¼0
Pn(t)s
n1
jsj>1 generating function
8
>
>
<
>
>
:
(1:117a)
Table 1.7 gives theﬁrst eight Legendre polynomials. Figure 1.4
shows theﬁrst six Legendre polynomials.
TABLE 1.7Legendre Polynomials
P0¼1
P
1¼t
P
2¼
3
2
t
2

1 2
P
3¼
5
2
t
3

3 2
t
P
4¼
35
8
t
4

30
8
t
2
þ
3
8
P
5¼
63
8
t
5

70
8
t
3
þ
15
8
t
P
6¼
231
16
t
6

315
16
t
4
þ
105
16
t
2

5
16
P
7¼
429
16
t
7

693
16
t
5
þ
315
16
t
3

35
16
t
Signals and Systems 1-21

Rodrigues formula
P
n(t)¼
1
2
n
n!
d
n
dt
n
(t
2
ε1)
n
,n¼0, 1, 2,... (1:118)
Recursive formulas
(nþ1)P
nþ1(t)ε(2nþ1)tP n(t)þnP nε1(t)¼0,
n¼1, 2,...
(1:119)
P
0
nþ1
(t)εtP
0
n
(t)¼(nþ1)P n(t), (P
0
(t)¼
:
derivative ofP(t))
n¼0, 1, 2,... (1:120)
tP
0
n
(t)εP
0
nε1
(t)¼nP n(t)n¼1, 2,... (1:121)
P
0
nþ1
(t)εP
0
nε1
(t)¼(2nþ1)P n(t)n¼1, 2,...(1:122)
(t
2
ε1)P
0
n
(t)¼ntP n(t)εnP nε1(t)(1 :123)
P
0(t)¼1,P 1(t)¼t (1:124)
Example
From Equation 1.117, whennis even, implies,P
n(εt)¼P
n(t)
and whennis odd,P
n(εt)?P
n(t). Therefore
P
n(εt)¼(ε1)
n
Pn(t)( 1:125)
Example
From Equation 1.123t¼1 implies 0¼nP nε1(1)εnP nε1(1
P
n(1)¼P
nε1(1 n¼1 it impliesP
1(1)¼P
0(1)¼1. Forn¼2
P
2(1)¼P 1(1)¼1, and so forth. Hence,P n(1)¼1. From Equation
1.125P
n(ε1)
n
. Hence
P
n(1)¼1,P n(ε1)¼(ε1)
n
(1:126)
P
n(t)<1 forε1<t<1(1 :127)
Example
From Equation 1.123 we get
d
dt
(1εt
2
)P
0
n
(t)

¼nP
0
nε1
(t)εnP n(t)εntP
0
n
(t)
Use Equation 1.121 toﬁndd
dt
(1εt
2
)P
0
n
(t)

þn(nþ1)P n(t)¼0
or
(1εt
2
)Pn
00(t)ε2tP
0
n
(t)þn(nþ1)P n(t)¼0(1 :128)
We have deduced the Legendre polynomialsy¼P
n(t)(n¼0,
1, 2,...) as thesolution of the linear second-order ordinary
differential equation
(1εt
2
)y
00
(t)ε2ty
0
(t)þn(nþ1)y(t)¼0(1 :128a)
called theLegendre differential equation.
If we letx¼coswthen the above equation transforms to
the trigonometric form
y
00
þ(cotw)y
0
þn(nþ1)y¼0(1 :128b)
It can be shown than Equation 1.128a has solutions of aﬁrst kind
y¼C 01ε
n(nþ1)
2!
t
2
þ
n(nþ1)(nε2)(nþ3)
4!
t
4
εГГГ
ω
þC
11ε
(nε1)(nþ2)
3!
t
3
þ
(nε1)(nþ2)(nε3)(nþ4)
5!
t
5
εГГГ
ω
(1:128c)
valid forjtj<1,C 0andC 1being arbitrary constants.
Schläﬂi’s integral formula
P
n(t)¼
1
2pj
ð
C
(z
2
ε1)
n
2
n
(zεt)
nþ1
dz (1:129)
whereCis any regular, simple, closed curve surroundingt.
1.5.2.2 Complete Orthonormal System,
1
2
(2nþ1)

1=2
Pn(t)
no
The Legendre polynomials are orthogonal in [ε 1, 1]
ð
1
ε1
Pn(t)Pm(t)dt¼0( 1:130)
ð
1
ε1
[Pn(t)]
2
dt¼
2
2nþ1
n¼0, 1, 2,... (1:131)
–1 –0.5
1
0.5
–0.5
–1
P
2
(t)
P
4(t)
P
3(t)
P
1(t)
P
0(t)
0.5 1
t
FIGURE 1.4
1-22 Transforms and Applications Handbook

and therefore the set
w
n(t)¼
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2nþ1
2
r
P
n(t)n¼0, 1, 2,... (1:132)
is orthonormal.
1.5.2.2.1 Series Expansion
Iff(t) is integrable in [1, 1], then
f(t)¼
X
1
n¼0
anPn(t)1<t<1(1 :132a)
a
n¼
2nþ1
2
ð
1
1
f(t)P n(t)dt n¼0, 1, 2,... (1:132b)
For evenf(t), the series will contain termP
n(t) of even index; if
f(t) is odd, the term of odd index only.
If the real functionf(t) is piecewise smooth in (1, 1) and if it
is square integrable in (1, 1), then the series Equation 1.132a
converges off(t) at every continuity point off(t).
1.5.2.2.2 Change of Range
If a functionf(t)isdeﬁned in [a,b], it is sometimes necessary in
the application to expand the function in a series of orthogonal
polynomials in this interval. Clearly the substitution
t¼
2
ba
x
bþa
2

,a<b,x¼
ba
2
tþ
bþa
2

(1:133)
transform the interval [a,b] of thex-axis into the interval [1, 1]
of thet-axis. It is, therefore, sufﬁcient to consider the expansion
in series of Legendre polynomials of
f
ba
2
tþ
bþa
2

¼
X
1
n¼0
anPn(t)(1 :134a)
a
n¼
2nþ1
2
ð
1
1
f
ba
2
tþ
bþa
2

P
n(t)dt (1:134b)
The above equation can also be accomplished as follows:
f(t)¼
X
1
n¼0
anXn(t)( 1:135a)
X
n(t)¼
1
n!(ba)
n
d
n
(ta)
n
(tb)
n
dt
n
(1:135b)
a
n¼
2nþ1
ba
ð
b
a
f(t)X n(t)dt (1:135c)
Example
Supposef(t) is given by
f(t)¼
01t<a
1a<t1

Then from Equation 1.132b
a
n¼
2nþ1
2
ð
1
a
Pn(t)dt
Using Equation 1.122, and noting thatP
n(1)¼1, we obtain
a
n?
1
2
[P
nþ1(a)P n1(a)],a 0¼
1 2
(1a)
which leads to the expansion
f(t)ﬃ
1
2
(1a)
1 2
X
1
n¼1
[Pnþ1(a)P n1(a)]Pn(t),1<t<1
Example
Supposef(t) is given by
f(t)¼
11t<0
10 <t1

The function is an odd function and, therefore,f(t)P
n(t)isan
odd function ofP
n(t) with even index. Hence,a nare zero for
n¼0, 2, 4, . . . For odd indexn, the productf(t)P
n(t) is even and
hence
a
n¼nþ
1
2
ð
1
1
f(t)Pn(t)dt¼2nþ
1 2
ð
1
0
Pn(t)dt,n¼1, 3, 5,...
Using Equation 1.122 and settingn¼2kþ1,k¼0, 1, 2, . . . we
obtain
a
2kþ1¼(4kþ3)
ð
1
0
P2kþ1(t)dt¼
ð
1
0
P
0
2kþ2
(t)P
0
2k
(t)

dt
¼[P
2kþ2(t)P 2k(t)]j
1
0
¼P2k(0)P 2kþ2(0)
where we have used the propertyP
n(1)¼1 for alln. But
P
2n(0)¼

1
2
n

¼
(1)
n
(2n)!
2
2n
(n!)
2
(1:136)
Signals and Systems 1-23

and, thus, we have
a
2kþ1¼
(1)
k
(2k)!
2
2k
(k!)
2

(1)
kþ1
(2kþ2)!
2
2kþ2
[(kþ1)!]
2
¼
(1)
k
(2k)!
2
2k
(k!)
2
1þ
2kþ1
2kþ2

¼
(1)
k
(2k)!(4kþ3)
2
2kþ1
k!(kþ1)!
The expansion is
f(t)¼
X
1
k¼0
(1)
k
(2k)!(4kþ3)
2
2kþ1
k!(kþ1)!
P
2kþ1(t),1t1(1:137)
1.5.2.3 Associated Legendre Polynomials
Ifmis a positive integer and1t1, then
P
m
n
(t)¼(1t
2
)
m=2
d
m
Pn(t)
dt
m
,m¼1, 2,...,n (1:138)
whereP
m
n
(t) is known as theassociated Legendre functionor
Ferrer’ s functions.
Rodrigues formula
P
m
n
(t)¼
(1t
2
)
m=2
2
n
n!
d
nþm
dt
nþm
(t
2
1)
n
,m¼1, 2,...n;nþm0
(1:139)
Properties
P
m
n
(t)¼(1)
m
(nm)!
(nþm)!
P
m
n
(t)(1 :140)
P
0
n
(t)¼P n(t)( 1:141)
(nmþ1)P
m
nþ1
(t)(2nþ1)tP
m
n
(t)þ(nþm)P
m
n1
(t)¼0
(1:142)
(1t
2
)
1=2
P
m
n
(t)¼
1
2nþ1
P
mþ1
nþ1
(t)P
mþ1
n1
(t)

(1:143)
(1t
2
)
1=2
P
m
n
(t)¼
1
2nþ1
(nþm)(nþm1)P
m1
n1
(t)

(nmþ1)(nmþ2)P
m1
nþ1
(t)

(1:144)
P
mþ1
n
(t)¼2mt(1t
2
)
1=2
P
m
n
(t)[n(nþ1)m(m1)]P
m1
n
(t)
(1:145)
ð
1
1
P
m
n
(t)P
m
k
(t)dt¼0,k6¼n (1:146)
ð
1
1
P
m
n
(t)

2
dt¼
2
(2nþ1)
(nþm)!
(nm)!
(1:147)
Example
To evaluate the integral
Ð
1
1
t
m
Pn(t)dt, we use the Rodrigues
formula and proceed as follows:
ð
1
1
t
m
Pn(t)dt¼
1
2
n
n!
ð
1
1
t
m
D
n
[(t
2
1)
n
]dt,D
n
¼
d
n
dt
n

¼
1
2
n
n!
[t
m
D
n1
(t
2
1)
n
]j
t¼1
t?1
m
ð
1
1
t
m1
D
n1
[(t
2
1)
n
]dt
2
4
3
5
where integration by parts was used. The left expression is
zero because of the presence of the expression (t
2
1)
n
.
(a m<nand aftermintegrations by parts we obtain
ð
1
1
t
m
Pn(t)dt¼
(1)
m
m!
2
n
n!
ð
1
1
D
nm
[(t
2
1)
n
]dt
¼
(1)
m
m!
2
n
n!
[D
nm1
(t
2
1)
n
]j
t¼1
t?1
¼0,
m<n
(b)mn. Integratentimes by parts toﬁnd the following
expression:
ð
1
1
t
m
Pn(t)dt¼C mn
ð
1
1
t
mn
(2
2
1)
n
dt
where
C
mn¼
(1)
m
m(m1)(m2)(m[n1])
2
n
n!
Multiplying numerator and denominator by (mn)! and
incorporating the (1)
n
in the integrand, we obtain
ð
1
1
t
m
Pn(t)dt¼
m!
2
n
n!(mn)!
ð
1
1
t
mn
(1t
2
)
n
dt,mn
Ifmnis odd the integrand is an odd function and hence is
equal to zero. Ifmnis even then the integrand is even and
hence
ð
1
1
t
m
Pn(t)dt¼
m!2
2
n
n!(mn)!
ð
1
0
t
mn
(1t
2
)
n
dt
¼
m!G
mnþ1
2

2
n1
(mn)!(mþnþ1)G
mþnþ1
2
,
mn,mnis even
1-24 Transforms and Applications Handbook

Ifm¼n
ð
1
1
t
m
Pn(t)dt¼
n!G
1
2

2
n1
(2nþ1)
2n1
2

2n3
2

3 2

1 2

G
1 2

¼
n!2
n
2
n1
(2nþ1)(2n1)(2n3)(3)(1)
¼
n!2
n
2
n
n!
2
n1
(2nþ1)(2n)(2n1)(2n2)(2n3)(3)(2)(1)
¼
2
nþ1
(n!)
2
(2nþ1)!
Hence,
ð
1
1
t
m
Pn(t)dt¼
0 m<n
0 mn,mnis odd
m!G
mnþ1
2
ðÞ
2
n1
(mn)!(mþnþ1)G
mþnþ1
2
ðÞ
m>n,mnis even
2
nþ1
(n!)
2
(2nþ1)!
m¼n
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Example
ToﬁndP 2n(0
P
2n(t)¼(1)
n
2
2n1
X
n
k¼0
(1)
k
(2nþ2k1)!
(2k)!(nþk1)!(nk)!
t
2k
withk¼0. Hence
P
2n(0)¼
(1)
n
(2n1)!
2
2n1
(n1)!n!
¼
(1)
n
2n[(2n1)!]
2
2n
n[(n1)!]n!
¼
(1)
n
(2n)!
2
2n
(n!)
2
Example
To evaluate
Ð
1
0
Pm(t)dtform6¼0, we must consider the two
cases:mbeing odd andmbeing even.
(a)mis even andm6¼0
ð
1
0
Pm(t)dt¼
1
2
ð
1
1
Pm(t)dt¼
1 2
ð
1
1
Pm(t)1dt
¼
1 2
ð
1
1
Pm(t)P0(t)dt¼0
The result is due to the orthogonality principle.
(b)mis odd andm6¼0. From the relation (see Table 1.8)
ð
1
t
Pm(t)dt¼
1
2mþ1
[P
m1(t)P mþ1(t)]
witht¼0 we obtain
ð
1
0
Pm(t)dt¼
1
2mþ1
[P
m1(0)P mþ1(0)]
Using the results of the previous example, we obtain
ð
1
0
Pm(t)dt¼
1
2mþ1
(1)
m1
2
(m1)!
2
m1
m1
2

!

2

(1)
mþ1
2
(mþ1)!
2
mþ1
mþ1
2

!

2
"#
¼
(1)
m1
2
(m1)!(2mþ1)(mþ1)
(2mþ1)2
mþ1
mþ1
2

!
mþ1
2

m1
2

!
¼
(1)
m1
2
(m1)!
2
m
mþ1
2

!
m1
2

!
:
mis odd.
Example
One hemisphere of a homogeneous spherical solid is main-
tained at 3008C while the other half is kept at 758C. Toﬁnd the
temperature distribution we must use the equation for heat
conduction
qT
qt
¼
k
rc
r
2
Tþ
qQ
qt

where
Tis the temperature
tis the time
kis the thermal conductivity
ris the density
cis the speciﬁc heat
qQ=qtis the rate of heat generation
Because of the steady-state condition of the problem,
qT=qt¼qQ=qt¼0. Hence, the equation becomes
r
2
T¼
q
2
T
qx
2
þ
q
2
T
qy
2
þ
q
2
T
qz
2
¼
q
qr
r
2
qT
qr

þ
1
sinw
q
qw
sinw
qT
qw

¼0
whereTis independent ofu.
Assuming a solution of the form
T¼FG¼f(r)g(w)
we obtain
qT
qr
¼G
dF
dr
,
q
2
T
qr
2
¼G
d
2
F
dr
2
Similarly, we obtain
qT
qw
¼F
dG
dw
,
q
2
T
qw
2
¼F
d
2
G
dw
2
Signals and Systems 1-25

TABLE 1.8Properties of Legendre and Associate Legendre Functions
1.
1
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
12txþx
2
p ¼
X
1
n¼0
Pn(t)x
n
, jtj1,jxj<1
2.P
n(t)¼
P
[n=2]
k¼0
(1)
k
(2n2k)!t
n2k
2
n
k!(nk)!(n2k)!
, [n=2]¼
n
2
,nis even;
[n=2]¼(n1)=2,nis odd
3.P
0(t)¼1
4.P
2n(0)¼

1
2
n

¼
(1)
n
(2n)!
2
2n
(n!)
2
, n¼1, 2, . . .
5.P
2nþ1(0)¼0, n¼0, 1, 2, . . .
6.P
2n(t)¼P 2n(t),P 2nþ1(t)?P 2nþ1(t), n¼0, 1, 2, . . .
7.P
n(t)¼(1)
n
P
n(t), n¼0, 1, 2, . . .
8.P
n(1)¼1, n¼0, 1, 2,...;
P
n(1)¼(1)
n
, n¼0, 1, 2, . . .
9.P
n(t)¼
1
2
n
n!
d
n
dt
n
(t
2
1)
n
¼Rodrigues formula, n¼0, 1, 2, . . .
10. (nþ1)P
nþ1(t)(2nþ1)tP
n(t)þnP
n1(t)¼0, n¼1, 2, . . .
11.P
0
nþ1
(t)2tP
0
n
(t)þP
0
n1
(t)P n(t)¼0, n¼1, 2, . . .
12.P
0
n1
(t)¼P n(t)þ2tP
0
n
(t)P
0
nþ1
(t) n¼1, 2, . . .
13.P
0
nþ1
(t)¼P n(t)þ2tP
0
n
(t)P
0
n1
(t) n¼1, 2, . . .
14.P
0
nþ1
(t)tP
0
n
(t)¼(nþ1)P n(t) n¼0, 1, 2, . . .
15.tP
0
n
(t)P
0
n1
(t)¼nP n(t) n¼1, 2, . . .
16.P
0
nþ1
(t)P
0
n1
(t)¼(2nþ1)P n(t) n¼1, 2, . . .
17. (1t
2
)P
0
n
(t)¼nP n1(t)ntP n(t) n¼1, 2, . . .
18.jP
n(t)j<1, 1<t<1
19.P
2n(t)¼
(1)
n
2
2n1
X
n
k¼0
(1)
k
(2nþ2k1)!
(2k)!(nþk1)!(nk)!
t
2k
, n¼0, 1, 2, . . .
20. (1t
2
)P
0
n
(t)¼(nþ1)[tP n(t)P nþ1(t)], n¼0, 1, 2, . . .
21.
Ð
1
1
Pn(t)dt¼0,
n¼1, 2, . . .
22.jP
n(t)j1, jtj1
23.
Ð
1
1
Pn(t)Pm(t)dt¼0,
n6¼m
24.
Ð
1
1
[Pn(t)]
2
dt¼
2
2nþ1
, n¼0, 1, 2, . . .
25.
1
2
Ð1
1
t
m
Ps(t)dt¼
m(m2)(msþ2)
(mþsþ1)(mþs1)(mþ1)
,m,sare even
26.
1 2
Ð1
1
t
m
Ps(t)dt¼(m1)(m3)(msþ2)
(mþsþ1)(mþs1)(mþ2)
,m,sare odd
27.
Ð
1
1
tPn(t)Pn1(t)dt¼
2n
4n
2
1
, n¼1, 2, . . .
28.
Ð
1
1
Pn(t)P
0
nþ1
(t)dt¼2,
n¼0, 1, 2, . . .
29.
Ð
1
1
tP
0
n
(t)Pn(t)dt¼
2n
2nþ1
, n¼0, 1, 2, . . .
30.
Ð
1
1
(1t
2
)P
0
n
(t)P
0
k
(t)dt¼0,
k6¼n
31.
Ð
1
1
(1t)
1=2
Pn(t)dt¼
2
ﬃﬃﬃ
2
p
2nþ1
, n¼0, 1, 2, . . .
32.
Ð
1
1
t
2
Pnþ1(t)Pn1(t)dt¼
2n(nþ1)
(4n
2
1)(2nþ3)
, n¼1, 2, . . .
33.
Ð
1
1
(t
2
1)P nþ1(t)P
0
n
(t)dt¼
2n(nþ1)
(2nþ1)(2nþ3)
, n¼1, 2, . . .
34.
Ð
1
1
t
n
Pn(t)dt¼
2
nþ1
(n!)
2
(2nþ1)!
, n¼0, 1, 2, . . .
35.
Ð
1
1
t
2
[Pn(t)]
2
dt¼
2
(2nþ1)
2
(nþ1)
2
2nþ3
þ
n
2
2n1

n¼0, 1, 2, . . .
1-26 Transforms and Applications Handbook

Introducing these relations in the Laplacian, we obtain
2rG
dF
dr
þr
2
G
d
2
F
dr
2
þF
dG
dw
cotwþF
d
2
G
dw
2
¼0
or
2r
dF
dr
þr
2
d
2
F
dr
2
F
?
dG
dw
cotwþ
d
2
G
dr
2
G
Setting the above ratios equal to positive constantk
2
,k6¼0, we
obtain
r
2
d
2
F
dr
2
þ2r
dF
dr
k
2
F¼0
d
2
G
dw
2
þ(cotw)
dG
dw
þk
2
G¼0
TABLE 1.8 (continued)Properties of Legendre and Associate Legendre Functions
36.P
m
n
(t)¼(1t
2
)
m=2
d
m
dt
m
Pn(t), m>0
37.P
m
n
(t)¼
1
2
n
n!
(1t
2
)
m=2
d
nþm
dt
nþm
[(t
2
1)
n
], mþn0
38.P
m
n
(t)¼(1)
m
(nm)!
(nþm)!
P
m
n
(t)
39.P
0
n
(t)¼P n(t)
40. (nmþ1)P
m
nþ1
(t)(2nþ1)tP
m
n
(t)þ(nþm)P
m
n1
(t)¼0
41. (1t
2
)
1=2
P
m
n
(t)¼
1
2nþ1
p
mþ1
nþ1
(t)P
mþ1
n1
(t)

42.(1t
2
)
1=2
P
m
n
(t)¼
1
2nþ1
[(nþm)(nþm1)P
m1
n1
(t)
(nmþ1)(nmþ2)P
m1
nþ1
(t)]
43.P
mþ1
n
(t)¼2mt(1t
2
)
1=2
P
m
n
(t)[n(nþ1)m(m1)]P
m1
n
(t)
44.
Ð
1
1
P
m
n
(t)P
m
k
(t)dt¼0,
k6¼n
45.
Ð
1
1
P
m
n
(t)

2
dt¼
2
2nþ1
(nþm)!
(nm)!
46.P
m
n
(t)¼(1)
nþm
P
m
n
(t)
47.P
m
n
( 1)¼0, m>0
48.P
1
2n
(0)¼0,P
1
2nþ1
(0)¼
(1)
n
(2nþ1)!
2
2n
(n!)
2
49.P
m
n
(0)¼0, nþmis odd
P
m
n
(0)¼(1)
(nm)=2
(nþm)!
2
n
[(nm)=2]![(nþm)=2]!
, nþmis even
50.
Ð
1
1
P
m
n
(t)P
k
n
(t)(1t
2
)
1
dt¼0,
k6¼m
51.
Ð
1
1
(1t
2
)
1=2
P2m(t)dt¼
G
1
2
þmðÞ
m!

2
52.
Ð
1
1
t(1t
2
)
1=2
P2mþ1(t)dt¼
G
1
2
þm

G
3 2
þm

m!(mþ1)!
53.
Ð
1
t
Pn(t)dt¼
1
2nþ1
[P
n1(t)P nþ1(t)]
54.
Ð
1
0
t
q
Pn(t)dt¼G(qþ1)
P
n
k¼0
(1)
k
G(nþkþ1)
2
k
k!G(nkþ1)G(qþkþ2)
, q>1
55.
Ð
1
0
t
1=2
Pn(t)dt¼
2(1)
n=2
2nþ1
nis even
2(1)
(n1)=2
2nþ1
nis odd
8
>
>
<
>
>
:
56.
Ð
1
0
t
1=2
Pn(t)dt¼
2(1)
(nþ2)=2
(2n1)(2nþ3)
nis even
2(1)
(nþ3)=2
(2n1)(2nþ3)
nis odd
8
>
>
<
>
>
:
Signals and Systems 1-27

Fork
2
¼n(nþ1), we recognize that the above equation is the
Legendre equation withGplaying the role ofy. Thus, a particular
solution is
G¼C
nPn(cosw)
whereC
nis an arbitrary constant. Withk
2
¼n(nþ1) the general
solution forFis given by
F¼S
nr
n
þ
Bn
r
nþ1
whereS nandB nare arbitrary constants. Because forr¼0 the
second term becomes inﬁnity, we setB
n¼0. Hence, the product
solution is
T¼FG¼S
nCnr
n
Pn(cosw)¼D nr
n
Pn(cosw)
Because Legendre polynomials are continuous we must create
a procedure to alleviate this problem. We denote the excess of
the temperatureTon the upper half of the surface over that of
Ton the lower half. On the bounding great circle between
these halves, we arbitrarily set it equal to (30075)=2. We
then have
T
E(w)¼
225 0w<p=2
0 p=2<wp
225=2w¼p=2
8
>
>
<
>
>
:
If we letx¼cosw, thenT
E(w) becomesf(x)
f(x)¼
225 0<x1
0 1x<0
225=2x¼0
8
>
<
>
:
Next we expandf(x) in the form
f(x)¼
X
1
n¼0
anPn(x),a n¼
2nþ1
2
ð
1
0
f(x)P n(x)dx
¼225
1
2
þ
3 4
P
1(x)7
16
P
3(x)þ
11 32
P
5(x)

SettingD
n¼a
n=R
n
, wherea
nis the coefﬁ cient ofP
n(x) andRis
the radius of the solid, the solution is given by
T(r,w)¼75þ
X
1
n¼0
an
r
R

n
Pn(cosw)
¼75þ225
1 2
þ
3 4r
R

P
1(cosw)
7
16
r
R

2
P3(cosw)

þ11 32r
R

5
P5( cosw)

Table 1.8 gives relationships of Legendre and associated Legendre
functions.
1.5.3 Hermite Polynomials
1.5.3.1 Generating Function
If we deﬁne the Hermite polynomial by the Rodrigues formula
H
n(t)¼(1)
n
e
t
2
d
n
e
t
2
dt
n
,n¼0, 1, 2,...,1<t<1
(1:148)
Theﬁrst few Hermite polynomials are
H
0(t)¼1,
H
1(t)¼2t,
H
2(t)¼4t
2
2,
H
3(t)¼8t
3
12t,
H
4(t)¼16r
4
48tþ12,
H
5(t)¼32t
5
160t
3
þ120t
and therefore
H
n(t)¼
X
[n=2]
k¼0
(1)
k
n!
k!(n2k)!
(2t)
n2k
(1:149)
[n=2]largest integern=2
The Hermite polynomials are orthogonal with weightg(t)¼e
t
2
on the interval (1,1).
The relation between Hermite polynomial and the generating
function is
w(t,x)¼e
2txx
2
¼
X
1
n¼0
Hn(t)
n!
x
n
,jxj<1 (1:150)
Becausew(t,x) is the entire function inxit can be expanded in
Taylor’s series atx¼0 withjxj<1.
Hence the derivatives of the expansion are
q
n
w
qx
n

x¼0
¼e
t
2
q
n
qx
n
e
(tx)
2

x¼0
¼(1)
n
e
t
2d
n
e
u
2
du
n
"#
u¼t
¼
:
Hn(t)
Figure 1.5 shows several Hermite polynomials.
1-28 Transforms and Applications Handbook

Example
Lett¼0 in Equation 1.150 and expande
εx
2
in power series.
Comparing equal powers of both sides weﬁnd that
H
2n(0)¼(ε1)
n
(2n)!
n!
Hermite polynomials are even for evennand odd fornodd.
Hence,
H
n(εt)¼(ε1)
n
Hn(t)( 1:151)
1.5.3.2 Recurrence Relation
If we substitutew(t,x) of Equation 1.150 into identity
qw
qx
ε2(tεx)w¼0
we obtain
X
1
n¼0
Hnþ1(t)
n!
x
n
ε2t
X
1
n¼0
Hn(t)
n!
x
n
þ2
X
1
n¼0
Hn(t)
n!
x
nþ1
¼0
or
X
1
n¼1
[Hnþ1(t)ε2tH n(t)þ2nH nε1(t)]
x
n
n!
þH
1(t)ε2tH 0(t)¼0
ButH
1(t)ε2tH
0(t)¼0 and hence
H
nþ1(t)ε2tH n(t)þ2nH nε1(t)¼0,n¼1, 2,...(1:152)
If we use
qw
qx
ε2xw¼0
we obtain
H
0
n
(t)¼2nH nε1(t),n¼1, 2,... (1:153)
EliminatingH
nε1(t) from Equations 1.153 and 1.152, we obtain
H
nþ1(t)ε2tH n(t)þH
0
n
(t)¼0,n¼0, 1, 2,...(1:154)
Differentiate Equation 1.153, combine with Equation 1.152, and
use the relationH
0
nþ1
¼2(nþ1)H (nþ1)ε1 , we obtain
H
00
n
ε2tH
0
n
(t)þ2nH n(t)¼0,n¼0, 1, 2,...(1:155)
From the above equation, withy¼H
n(t)(n¼0, 1, 2, . . . ), we
observe that the Hermite polynomials are the solution to the
second-order ordinary differential equation known as theHer-
mite equation
y
00
ε2ty
0
þ2ny¼0( 1:156)
1.5.3.3 Integral Representation and Integral Equation
The integral representation of Hermite polynomials is given by
H
n(t)¼
(εj)
n
2
n
e
t
2
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
ð
1
ε1
e
εx
2
þj2tx
x
n
dx,n¼0, 1, 2,...(1:157)
The integral equation satisﬁed by the Hermite polynomials is
e
εt
2
=2
Hn(t)¼
1
j
n
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2p
p
ð
1
ε1
e
jty
e
εy
2
=2
Hn(y)dy,n¼0, 1, 2,...
(1:157a)
Also, becauseH
2m(t) is an even function andH
2mþ1(t) is an odd
function, then the above equation implies the following two
integrals:
e
εt
2
=2
H2m(t)¼(ε1)
m
ﬃﬃﬃﬃ
2
p
rð
1
0
e
εy
2
=2
H2m(y) costy dy
e
εt
2
=2
H2mþ1(t)¼(ε1)
m
ﬃﬃﬃﬃ
2
p
rð
1
0
e
εy
2
=2
H2mþ1(y) sinty dy,
m¼0, 1, 2,... (1:158)
1.5.3.4 Orthogonality Relation: Hermite Series
Theorthogonality propertyof the Hermite polynomials is
given by
ð
1
ε1
e
εt
2
Hm(t)Hn(t)dt¼0ifm6¼n (1:159)
and
ð
1
ε1
e
εt
2
H
2
n
(t)dt¼2
n
n!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
,n¼0, 1, 2,... (1:160)
200
150
100
50
2345
t
1
–50
H
4
(t)
H
3
(t)
H
5(t)
H
2
(t)
H
1
(t)
–100
–150
–200
FIGURE 1.5
Signals and Systems 1-29

Therefore, theorthonormalHermite polynomials are
w
n(t)¼2
n
n!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
1=2
e
t
2
=2
Hn(t),n¼0, 1, 2,...,
1<t<1 (1:161)
THEOREM 1.1
Iff(t) is piecewise smooth in everyﬁnite interval [a,a] and
ð
1
1
e
t
2
f
2
(t)dt<1
then the Hermite series
f(t)¼
X
1
n¼0
CnHn(t),1<t<1 (1:162)
C
n¼
1
2
n
n!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
ð
1
1
e
t
2
f(t)H n(t)dt n¼0, 1, 2,...(1:163)
converges pointwise tof(t) at every continuity point and con-
verges at [f(tþ)f(t)]=2 at points of discontinuity.
Example
The functionf(t)¼t
2p
,p¼1, 2, . . . satisﬁes Theorem 1.1 and it is
even. Hence,
t
2p
¼
X
p
n¼0
C2nH2n(t)
where
C
2n¼
1
2
2n
(2n)!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
ð
1
1
e
t
2
t
2p
H2n(t)dt
¼
1
2
2n
(2n)!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
ð
1
1
t
2p
d
2n
dt
2n
(e
t
2
)dt
¼
1
2
2n
(2n)!
ﬃﬃﬃﬃ p
p
(2p)!
(2p2n)!
ð
1
1
e
t
2
t
2p2n
dt
¼
1
2
2n
(2n)!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
(2p)!
(2p2n)!
Gpnþ
1
2

toﬁndC
2n, integration by parts was performedntimes.
Example
The functione
at
, whereais an arbitrary number, satisﬁes
Theorem 1.1. Hence
e
at
¼
X
1
n¼0
CnHn(t)
where
C
n¼
1
2
n
n!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
ð
1
1
e
at
e
t
2
Hn(t)dt¼
(1)
n
2
n
n!
ﬃﬃﬃﬃ p
p
ð
1
1
e
at
d
n
dt
n
(e
t
2
)dt
¼
a
n
2
n
n!
ﬃﬃﬃﬃ p
p
ð
1
1
e
att
2
dt¼
a
n
2
n
n!
e
a
2
=4
Example
The sgn(t) function is odd and hence its expansion takes
the form
sgn(t)¼
X
1
n¼0
C2nþ1H2nþ1(t)
where
C
2nþ1¼
1
2
2nþ1
(2nþ1)!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
ð
1
1
e
t
2
H2nþ1(t)sgn(t)dt
¼
1
2
2n
(2nþ1)!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
ð
1
0
e
t
2
H2nþ1(t)dt
Use the identity
e
t
2
Hn(t)?
d
dt
[e
t
2
Hn1(t)]
which results from Equations 1.152 and 1.153, toﬁnd that
C
2nþ1¼
H2n(0)
2
2n
(2nþ1)!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p¼
(1)
n
2
2n
(2nþ1)!n!
ﬃﬃﬃﬃ p
p
Table 1.9 gives the Hermite relationships.
1.5.4 Laguerre Polynomials
1.5.4.1 Generating Function and Rodrigues Formula
The generating function for the Laguerre polynomials is given by
w(t,x)¼(1x)
1
exp
tx
1x
hi
¼
X
1
n¼0
Ln(t)x
n
,
jxj<1,t<1 (1:164)
1-30 Transforms and Applications Handbook

By expressing the exponential function in a series, realizing that
k1
m

¼(1)
mkþm
m

andﬁnally making the change of indexm¼nk, Equation
1.164 leads to
L
n(t)¼
X
n
k¼0
(1)
k
n!t
k
(k!)
2
(nk)!
n¼0, 1, 2,...,0 t<1
(1:165)
The Rodrigues formula for creating Laguerre polynomials is
given by
L
n(t)¼
e
t
n!
d
n
dt
n
(t
n
e
t
),n¼0, 1, 2,... (1:166)
which can be veriﬁ ed by application of the Leibniz formula
d
n
dt
n
(fg)¼
X
n
k¼0
n
k

d
nk
dt
nk
d
k
g
dt
k
,n¼1, 2,... (1:167)
For a reala>1 the general Laguerre polynomials are deﬁned
by the formula
L
a
n
(t)¼e
t
t
a
n!
d
n
dt
n
(e
t
t
nþa
),n¼0, 1, 2,... (1:168a)
Using Leibniz’ s formula
L
a
n
(t)¼
X
n
k¼0
G(nþaþ1)
G(kþaþ1)
(t)
k
k!(nk)!
(1:168b)
Table 1.10 gives a few Laguerre polynomials. Figure 1.6 shows
several Laguerre polynomials.
1.5.4.2 Recurrence Relations
The generating functionw(t,x), Equation 1.164 satisﬁes the
identity
(1x
2
)
qw
qx
þ(t1)w¼0(1 :169)
Substituting Equation 1.164 in Equation 1.169 and equating the
coefﬁcients ofx
n
to zero, we obtain
(nþ1)L
nþ1(t)þ(t12n)L n(t)þnL n1(t)¼0,n¼1,2,...
(1:170)
TABLE 1.9Properties of the Hermite Polynomials
1.H n(t)¼(1)
n
e
t
2d
n
e
t
2
dt
n
2.H n(t)¼
P
[n=2]
k¼0(1)
k
n!
k!(n2k)!
(2t)
n2k
[n=2]¼largest integern=2
3.e
2txx
2
¼
P
1
n¼0
Hn(t)
x
n
n!
4.H
2n(0)¼(1)
n
(2n)!
n!
5.H
2nþ1(0)¼0,H
0
2n
(0)¼0,H
0
2nþ1
(0)
¼(1)
n
(2nþ2)!
(nþ1)!
6.H
n(t)¼(1)
n
H
n(t)
7.H
2n(t) are even functions,H
2nþ1(t)
are odd functions
8.H
nþ1(t)2tH n(t)þ2nH n1(t)¼0, n¼1, 2, . . .
9.H
0
n
(t)¼2nH n1(t), n¼1, 2, . . .
10.H
nþ1(t)2tH n(t)þH
0
n
(t)¼0 n¼0, 1, 2, . . .
11.H
00
n
(t)2tH
0
n
(t)þ2nH n(t)¼0 n¼0, 1, 2, . . .
12.H
n(t)¼
(j)
n
2
n
e
t
2
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
Ð
1
1
e
x
2þj2tx
x
n
dx n¼0, 1, 2, . . .
13.e
t
2
=2
Hn(t)¼
1
j
n
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2p
p
Ð
1
1
e
jty
e
y
2
=2
Hn(y)dy
¼integral equation
14.e
t
2
=2
H2m(t)¼(1)
m
ﬃﬃﬃﬃ
2
p
r
Ð1
0
e
y
2
=2
H2m(y) costy dy
15.e
t
2
=2
H2mþ1(t)¼(1)
m
ﬃﬃﬃﬃ
2
p
r
Ð1
0
e
y
2
=2
H2mþ1(y) sinty dy
16.
Ð
1
1
e
t
2
Hm(t)Hn(t)dt¼0, ifm6¼n
17.
Ð
1
1
e
t
2
H
2
n
(t)dt¼2
n
n!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
n¼0, 1, 2, . . .
18.f(t)¼
P
1
n¼0
CnHn(t) 1<t<1
C
n¼
1
2
n
n!
ﬃﬃﬃﬃ p
p
Ð
1
1
e
t
2
f(t)H n(t)dt
19.
Ð
1
1
t
k
e
t
2
Hn(t)dt¼0,k¼0, 1, 2,...,n1
20.
Ð
1
1
t
2
e
t
2
H
2
n
(t)dt¼
ﬃﬃﬃﬃ p
p
2
n
n!nþ
1
2

21.
Ð
1
1
x
n
e
x
2
Hn(tx)dx¼
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
n!
2
P
n(t)
22.
Ð
1
1
e
2t
2
H
2
n
(t)dt¼2
n
1
2
Gnþ
1
2

23.
d
m
Hn(t)
dt
m
¼
2
m
n!
(nm)!
H
nm(t),m<n
24.
Ð
1
1
e
a
2
t
2
H2n(t)dt¼
(2n)!
n!
ﬃﬃﬃﬃ
p
p
a
1a
2
a
2

n
,a>0
TABLE 1.10Laguerre Polynomials
L
0(t)¼1
L
1(t)?tþ1
L
2(t)¼
1
2!
(t
2
4tþ2)
L
3(t)¼
1
3!
(t
3
þ9t
2
18tþ6)
L
4(t)¼
1
4!
(t
4
16t
3
þ72t
2
96tþ24)
Signals and Systems 1-31

Similarly substituting Equation 1.164 into
(1ℓx)
qw
qt
þxw¼0( 1:171)
we obtain the relation
L
0
n
(t)ℓL
0
nℓ1
(t)þL nℓ1(t)¼0,n¼1, 2,... (1:172)
From this we obtain
L
0
nþ1
(t)¼L
0
n
(t)ℓL n(t)( 1:173)
L
0
nℓ1
(t)¼L
0
n
(t)þL nℓ1(t)(1 :174)
From Equation 1.170 by differentiation weﬁnd
(nþ1)L
0
nþ1
(t)þ(tℓ1ℓ2n)L
0
n
(t)þL n(t)þnL
0
nℓ1
(t)¼0
(1:175)
EliminatingL
0
nþ1
(t) andL
0
nℓ1
(t) by using Equations 1.173
through 1.175, we obtain
tL
0
n
(t)¼nL n(t)ℓnL nℓ1(t)(1 :176)
By differentiating Equation 1.176 and using Equation 1.172, we
obtain
tL
n
00(t)þL
0
n
(t)?nL nℓ1(t)
Next, eliminatingL
nℓ1(t) using Equation 1.176 we obtain
tL
n
00(t)þ(1ℓt)L
0
n
(t)þnL n(t)¼0(1 :177)
Settingy¼L
n(t)(n¼0, 1, 2, . . . ), we conclude that allL
n(t) are
the solution to the Laguerre equation
ty
00
þ(1ℓt)y
0
þny¼0( 1:178)
1.5.4.3 Orthogonality, Laguerre Series
The orthogonality relations for Laguerre polynomials are
ð
1
0
e
ℓt
Ln(t)Lm(t)dt¼0,n6¼m (1:179)
ð
1
0
e
ℓt
[Ln(t)]
2
dt¼
G(nþ1)
n!
¼1,n¼0, 1, 2,...(1:180)
For the generalized Laguerre polynomials, the orthogonality rela-
tions
ð
1
0
e
ℓt
t
a
L
a
m
(t)L
a
n
(t)dt¼0,n6¼m,a>ℓ1
ð
1
0
e
ℓt
t
a
L
a
n
(t)

2
dt¼
G(nþaþ1)
n!
,a>ℓ1,n¼0, 1, 2,...
(1:181)
The orthogonal system for the generalized polynomials on the
interval 0τt<1is
w
a
n
(t)¼
n!
G(nþaþ1)
ω
1=2
e
ℓt=2
t
a=2
L
a n
(t),n¼0, 1, 2,...
(1:182)
The Laguerre series is given by
f(t)¼
X
1
n¼0
CnLn(t), 0τt<1 (1:183)
where
C
n¼
ð
1
0
e
ℓt
f(t)L n(t)dt,n¼0, 1, 2,... (1:184)
THEOREM 1.2
Iff(t) is piecewise smooth in everyﬁnite intervalt
1τtτt
2,
0<t
1<t
2<1and
ð
1
0
e
ℓt
f
2
(t)dt<1
then the Laguerre series converges pointwise tof(t) at every
continuity point off(t), and at the points of discontinuity the
series converges to [f(tþ)ℓf(tℓ)]=2.
20
15
10
5
–5
–10
–15
–25
246
L
2
(t)
L
5
(t)
L
0
(t)
L
4
(t)
L
1
(t)
L
3
(t)
t
810
FIGURE 1.6
1-32 Transforms and Applications Handbook

Another Random Scribd Document
with Unrelated Content

Olin aamulla kirjoittanut lipun rouva Rubellelle, jossa pyysin häntä
kohtaamaan minua miehensä talossa perjantai-iltana heinäkuun 26
päivänä, sekä toisen Percivalille, jossa pyysin hänen antamaan
vaimolleen tämän sedän kutsumakirjeen, sanomaan hänelle, että
Marian oli jo matkustanut, ja lähettämään hänet 26 päivänä
puolipäiväjunalla. Lähemmin miettien olin minä, Anna Catherickin
ollessa nykyisessä tilassaan, huomannut välttämättömäksi kiiruhtaa
suunnitelman toteuttamista ja siten saada lady Glyde valtaani jonkun
verran aikaisemmin, kuin olin laskenut. Mihin uusiin toimenpiteihin
piti minun tässä kauheassa epävarmuudessa ryhtymän? En voinut
mitään muuta tehdä, kuin luottaa sattumaan ja lääkäriin.
Levottomuuteni purkautui tunteellisiin huudahduksiin, jotka minä
kyllin hyvin ymmärsin, muiden ihmisten kuullessa niitä, sovittaa "lady
Glyden" nimen yhteyteen. Kaikissa muissa suhteissa ei Fosco tänä
muistettavana päivänä kyennyt ajattelemaan ainoaa selvää ajatusta.
Anna Catherickillä oli vaikea yö — hän heräsi aamulla varsin
voimattomana, mutta myöhemmin päivällä virkistyi hän taas
kummastuttavan suuressa määrässä. Joustava mieleni elostui hänen
kanssaan. En voinut saada vastausta Percivalilta ja rouva Rubellelta,
ennenkun 26 päivän aamuna. Odottaen, että he seuraisivat
neuvojani, minkä tiesin heidän tekevän, jollei mitään esteitä
ilmaantuisi, menin minä tilaamaan vaunut hakemaan lady Glydeä
asemalta ja ilmoitin, että niiden pitäisi olla kotonani kello 2
iltapäivällä. Nähtyäni merkittävän tilauskirjaan läksin herra Rubellen
luo sopiakseni asian hänen kanssaan. Hankin sitä paitsi pari herraa,
jotka voivat varustautua todistamaan, että kysymyksessä oleva
henkilö oli mielenviassa. Toisen tunsin jo ennestään, toisen tunsi
herra Rubelle. Molemmat olivat miehiä, joiden vahvat sielut olivat
kohonneet yli pikkumaisten ennakkoluulojen — molempia ahdisti
huonot raha-asiat — molemmat luottivat minuun.

Kello oli yli 5, ennenkun olin järjestänyt kaiken tämän. Kun palasin
kotiin, oli Anna Catherick kuollut. Kuollut 25 päivänä, eikä lady Glyde
voinut tulla Lontooseen ennenkun 26 päivänä.
Minä hämmennyin. Ajatelkaapas sitä: Fosco hämmästyi!
Oli myöhäisä vetäytyä takaisin. Ennen kotiintuloani oli lääkäri
kohteliaisuudesta ja säästääkseen minulta vaivaa omin käsin
merkinnyt rekisteriin kuolemantapauksen ja päivämäärän. Kauniissa
suunnitelmassani, jonka kimppuun tähän asti ei voitu käydä, oli nyt
heikko kohta — eivät mitkään minun puuhani voineet ollenkaan
järkähyttää sitä ikävää sattumaa, joka oli tapahtunut 25 päivänä.
Suuntasin miehuullisella voimalla ajatukseni eteenpäin. Percivalin ja
minun onneni olivat vielä pelissä, eikä muu auttanut kuin uskaltaa
kaikki voittaakseen kaikki. Sain jälleen järkähtämättömän
levollisuuteni ja toteutin yritykseni epäröimättä.
Heinäkuun 26 päivän aamuna tuli Percivalin kirje tietoineen, että
hänen vaimonsa tulisi puolipäivän junalla. Rouva Rubelle kirjoitti
myöskin tulevansa illalla. Läksin vuokraamissani vaunuissa
noutamaan oikeaa lady Glydeä asemalta kello 3 väärän lady Glyden
maatessa kuolleena talossani. Istuimen alle kätkettynä vein minä
mukaani kaikki ne vaatteet, jotka Anna Catherickillä oli tullessaan
kotiini — niitä aiottiin käyttää, kun se nainen, joka oli kuollut, nousisi
jälleen ylös hänen persoonassaan, jota nyt menin hakemaan. Mikä
omituinen asema! Suosittelen tätä ainetta Englannin
romaaninkirjoittajain nuoren polven käsiteltäväksi. Tarjoan sen
uutena aatteena Ranskan tyhjentyneille näytelmäkirjailijoille.
Lady Glyde oli asemalla. Siellä oli paljon väkeä ja suuri ahdinko,
jonka vuoksi täytyi kauemmin pysähtyä, kuin olin toivonut — jos
joku hänen ystävänsä olisi ollut siellä — ennenkun minä ehdin saada

selvää kaikista hänen kapineistaan. Hänen ensimmäinen
kysymyksensä ajaessamme sieltä oli pyyntö saada jotakin tietää
sisarestaan. Minä keksin mitä rauhoittavimpia tietoja ja vakuutin
hänelle, että hän heti saisi nähdä sisarensa luonani. Taloni oli tässä
tilaisuudessa Leicester-squaren läheisyydessä ja siinä isännöi herra
Rubelle, joka otti meidät vastaan eteisessä.
Otin mukaani vieraani erääseen toisen kerroksen pihanpuoleiseen
huoneeseen, molemmat lääkärit odottivat kumminkin alakerrassa
nähdäkseen sairaan ja antaakseen minulle todistuksensa.
Rauhoitettuani lady Glydeä tarpeellisilla vakuutuksilla sisarensa
hyvinvoinnista, saatoin minä lääkäri-ystäväni hänen luoksensa yhden
kerrallaan. He suorittivat tehtävänsä nopeasti, nerokkaasti ja
omantunnonmukaisesti. Tulin taas sisään heti heidän poistuttuaan ja
ilman enempiä lykkäyksiä kiiruhdin lopullista päämäärää
ilmoittamalla, että "neiti Halcomben" tila olisi varsin arveluttava.
Seuraus oli semmoinen kuin olin otaksunutkin. Lady Glyde
peljästyi ja pyörtyi. Nyt käytin minä toisen kerran tiedettä apunani.
Lasillinen vettä sekotettuna rauhoittavalla aineella ja pullo hajusuolaa
nerokkaine potkuineen vapautti hänet kaikesta levottomuudesta ja
huolesta. Tämän uudistaminen myöhemmin illalla hankki hänelle
rauhaisan yöunen arvaamattoman onnen. Rouva Rubelle tuli hyvissä
ajoin ollakseen lady Glydelle apuna hänen pukeutuessaan. Hänen
omat vaatteensa otettiin pois illalla ja Anna Catherickin käyttämät
puki hyvän rouva Rubellen kunnioitettavat kädet hänen päälleen
kaikella asiaan kuuluvalla huomaavaisuudella. Koko tämän päivän
pidin minä sairastamme puoleksi tunnottomassa tilassa, kunnes
lääkäriystävieni innokkaan toiminnan oli onnistunut hankkia minulle
tarpeelliset määräykset, mikä tapahtui ennemmin, kuin olin
uskaltanut toivoakaan. Sen päivän (heinäkuun 27 päivän) iltana

veimme rouva Rubelle ja minä jälleen elävän "Anna Catherickin"
mielisairaalaan. Hänet otettiin vastaan suuresti kummeksien, mutta
ei epäillen, mistä kiitos olkoon määräysten ja lääkäritodistusten,
Percivalin kirjeen, tavattoman yhdennäköisyyden, vaatteiden ja
lopuksi sairaan hämmentyneen mielenlaadun. Palasin kiiruusti kotiini
auttamaan rouva Foscoa väärän "lady Glyden" hautauspuuhissa.
Oikean ladyn vaatteet ja kapineet olivat hoidossani ja ne lähetettiin
sittemmin Cumberlandiin samalla kertaa, kuin vainaja vietiin sinne
haudattavaksi. Hänen hautauksessaan olin läsnä pukeuneena
synkkään surupukuun.
Ja tähän päättyy kertomukseni näistä merkillisistä tapahtumista
kyhättynä yhtä merkillisissä oloissa. Ne vähempiarvoiset
toimenpiteet, jotka minä otin huomioon käydessäni Limmeridge-
Housessa, ovat jo tunnetut — samoin suunnitelmani ihmeteltävä
menestys — kuin myöskin suurten rahasummain kuittaaminen, mikä
sitä seurasi. Minun täytyy nyt koko vakaumukseni voimalla lausua,
ett'ei toimintani ainoa heikko kohta koskaan olisi tullut havaituksi,
jollen olisi ensin ilmaissut sydämeni ainoaa heikkoutta. Ei mikään
muu kuin Marianin onneton ihaileminen pidättänyt minua
vahvistamatta omaa turvallisuuttani hänen autettuaan sisarensa
pelastumaan. Minä uskalsin antautua tähän vaaraan ja toivoin, ett'ei
lady Glyden olemassaoloa koskaan enää voitaisi väittää. Jos Marian
tai herra Hartright tekisi tämän, niin antautuisivat he julkisesti
syytettäviksi karkeasta petoksesta; he niittäisivät täten vain
epäluuloa ja halveksimista eivätkä juuri tästä syystä kykenisi
paljastamaan minun etuani tai Percivalin salaisuutta mihinkään
vaaraan. Erehdyin luottaessani niin sokeasti tapahtumiin. Erehdyin
uudestaan Percivalin saatua rangaistuksensa itsepäisestä ja
väkivaltaisesta luonteestaan, kun luovun uudelleen suljetuttamasta
lady Glydeä mielisairaalaan ja kun toisen kerran annoin herra

Hartrightin pelastua käsistäni. Sanalla sanoen: Fosco oli tänä
vaarallisena hetkenä itselleen uskoton. Surullisia ja hänen arvollensa
sopimattomia erehdyksiä! Etsikää tähän syy minun omasta
sydämmestäni — nähkää Marian Halcomben kuvassa ensimmäinen
ja viimeinen heikkous koko Foscon elämässä!
Kuudenkymmenen vuoden kypsyneessä iässä teen minä tämän
tunnustuksen, jota ei ole koskaan ennen kuultu. Nuorukaiset, minä
huudan teidän osanottoanne! Nuoret neidot, vuodattakaa minun
takiani kyyneleenne!
Vielä sana — ja lukijan huomio, joka nyt henkeä pidättävällä
harrastuksella on kiintynyt minun persoonaani, on vapaa taas
kääntymään muille tahoille.
Oma, selvä ymmärrykseni ilmaisee, että uteliaat ihmiset tekevät
ehdottomasti tässä kolme kysymystä. Ne minä lausun ja samalla
vastaankin niihin.
Ensimmäinen kysymys. Mikä on oikeastaan vaimoni sokean innon
pohjana täyttää rohkeimmatkin toivomukseni, edistää
vilkkaimpienkin suunnitelmaini onnellista ratkaisua? Tähän voin minä
vastata aivan yksinkertaisesti viittaamalla omaan persoonallisuuteeni
ja kysymällä puolestani: Koska koko maailman historiassa on
koskaan minunlaistani miestä ollut, ilman että hänen elämänsä
taustassa nainen ei olisi uhrautunut hänen hyväkseen? Mutta
minähän muistankin kirjoittavani tätä Englannissa; minä muistan
Englannissa menneeni naimisiin — ja kysyn: salliiko se sitoumus,
johon vaimo täällä käy, hänellä olevan mitään omaa ajatusta
miehensä periaatteista?

Ei, se käskee ehdottomasti rakastamaan, kunnioittamaan ja
tottelemaan häntä. Juuri tätä on vaimoni tehnyt. Korkealta,
siveelliseltä katsantokannaltani selitän minä täten juhlallisesti, että
hän on täyttänyt uskollisesti velvollisuutensa arvokkaana puolisonani.
Vaietkoot panettelun äänet! Ja te, Englannin naiset, ylistäkää rouva
Foscoa!
Toinen kysymys. Jollei Anna Catherick olisi kuollut silloin, kuin hän
kuoli, miten olisin minä menetellyt hänen suhteensa? Tässä
tapauksessa olisin varmaankin auttanut väsähtänyttä luontoa
saattamaan häntä varsin tarpeelliseen lepoon. Olisin avannut
vankilan portit elämälle ja hankkinut väsyneelle vangille — joka oli
sekä ruumiiltaan että sielultaan parantumaton — onnellisen
vapautuksen.
Kolmas kysymys. Huomaanko minä, tyynesti tarkastaessani
tapahtumia, menettelyssäni jotakin, joka ansaitsee vakavaa
moitetta? Varmimmasti vakuutettuna vastaan minä: en! Enkö ole
tarkkaan välttänyt joutumasta tarpeettomasti pakotetuksi tekemään
mitään rikosta? Laajoilla kemian tiedoillani olisin minä helposti voinut
riistää lady Glyden elämän. Kuulumattomalla persoonallisella
uhrauksella seurasin minä sen sijaan älyn, ihmisyyden ja
varovaisuuden johdatusta ja riistin vain hänen persoonallisuutensa.
Tuomitkaa minua sen mukaan, mitä olisin voinut tehdä. Kuinka
verrattain viattomalta, kuinka epäsuorasti kunnon ihmiseltä minä
näytänkin silloin siinä, mitä olen todellakin tehnyt!
Lausuin jo alussa, että tästä kertomuksesta tulisi merkillinen
asiakirja. Se on vastannutkin odotustani. Vastaanottakaa nämä
arvokkaat tiedonannot viimeinen lahjani sille maalle, jonka ainiaaksi
jätän. Niiden arvo on tilaisuuteen sopiva ja sopiva Foscolle.

Walter Hartrightin lopettama kertomus.
I.
Suljettuani kreivin käsikirjoituksen viime lehden oli se puolituntia
kulunut, jonka olin sitoutunut jäämään Forest-roadille. Herra Rubelle
katsoi kelloansa ja kumarsi. Minä nousin heti ylös ja jätin asiamiehen
vapaasti vallitsemaan autiota taloa. En nähnyt häntä koskaan
sittemmin; en kuullut koskaan sanaakaan enempää hänestä kuin
hänen vaimostaankaan. Petoksen ja pahuuden synkeiltä teiltä olivat
he madelleet meidän radallemme — samoja synkkiä teitä hiipivät he
nyt pois ja katosivat näkyvistämme.
Neljännestunti poistumiseni jälkeen Forest-roadilta olin minä
jälleen kotona.
Tarvittiin vain muutamia sanoja lausuakseni Lauralle ja Marianille,
kuinka minun uskalias seikkailuni oli päättynyt ja mikä luultavasti
olisi ensimmäinen toimenpiteemme.
Jätin kaikki lähemmät yksityiskohdat myöhemmäksi ja kiiruhdin
taas S:t Johns-Woodiin puhuakseni sen henkilön kanssa, jolta kreivi
Fosco oli vuokrannut vaunut noutaakseen Lauran asemalta.
Saamani osoite johdatti minut erään vuokra-ajurin luo, jolla oli
tallinsa neljännespeninkulman päässä Forest-roadilta. Hän näytti
mielestäni siistiltä ja kunnialliselta mieheltä. Sanoessani hänelle, että
tärkeä perheasia pakotti minua pyytämään häntä hakemaan
kirjoistaan erästä päivämäärää, jonka minä tiesin hänen ammattinsa
takia merkinneen, ei hän kieltänyt vähääkään täyttämästä pyyntöäni.

Kirja otettiin esille ja sinne oli "heinäkuun 26 päivänä 1850" merkitty
tilaus seuraavin sanoin:
"Peitetyt vaunut kreivi Foscolle; N:o 5 Forest-road (John Owen)."
Kysyttyäni sain tietää, että nimi "John Owen" tarkoitti sitä ajajaa,
jonka oli ajettava vaunuja. Hänellä oli silloin jotakin työtä tallin
puolella, mutta pyynnöstäni lähetettiin häntä hakemaan voidakseni
saada puhua hänen kanssaan.
"Voitteko muistaa heinäkuussa viime kesänä ajaneenne erästä
herraa talosta N:o 5 Forest-roadilla Waaterloo-sillan
rautatieasemalle?" kysyin minä.
"Hm, herra", sanoi mies, "sitä en voi niin tarkkaan muistaa."
"Kenties voisitte kumminkin muistaa itse herran ulkomuodon."
"Hän oli ulkomaalainen, varsin pitkä ja tavattoman lihava."
Miehen kasvot kirkastuivat. "Muistan hänet, herra! Hän oli lihavin
herra, jonka koskaan olen nähnyt, — ja raskain, jota koskaan olen
ajanut. Niin, niin — muistan nyt hänet, herra. Papukaija tai joku muu
sellainen lintu istui ikkunassa kirkumassa. Herra oli tavattoman
touhuissaan saadaksemme pian selvää rouvan kapineista ja hän
antoi minulle kauniit juomarahat, että etsisin tarkkaan matka-arkkuja
ja hankkisin ne nopeasti mukaamme."
Vähät matka-arkuista! Muistin silmänräpäyksessä, kun Laura
kuvasi tuloaan Lontooseen, kuinka eräs henkilö, joka kreivi Foscolla
oli ollut mukanaan asemalla, oli hakenut hänen kapineitaan. Tämä
oli nyt se henkilö.

"Näittekö Te matkustavan rouvashenkilön?" kysyin minä. "Miltä
hän näytti? Oliko hän nuori vai vanha?"
"Hm, herra, ahdingossa ja kiireessä en minä oikein ehtinyt nähdä,
minkälainen rouva oli. En ainakaan nyt voi muistaa hänestä mitään
muuta — kuin hänen nimensä."
"Muistatteko hänen nimensä?"
"Kyllä, herra. Hän oli lady Glyde."
"Kuinka voitte muistaa sen, kun muutoin olette unhottanut hänet?"
Mies hymyili ja seisoi ja siirteli jalkojaan nolonnäköisenä.
"Niin, nähkääs herra, sanoakseni totuuden", sanoi hän, "en ollut
kaukaa ollut naimisissa siihen aikaan; ja minun vaimollani oli ollut
juuri sama nimi kuin tällä rouvashenkilöllä, ennenkun hän sen vaihtoi
minun nimeeni — hänen nimensä oli Glyde, hänenkin, herra.
Rouvashenkilö sanoi sen itse. — 'Onko Teidän nimenne matka-
arkuissa, rouva?' kysyin minä. 'Kyllä', sanoi hän, 'nimeni on kaikissa
kapineissani — se on lady Glyde'. — 'Hoo!' ajattelin itsekseni, 'minun
on vaikea yleensä muistaa herrasväen nimiä — mutta tämähän
soinnahtaa vanhalta tutulta korviini', ajattelin minä. En voi juuri
tarkkaan sanoa, milloin se oli, herra, kenties tapahtui se vuosi sitten
— kenties ei. Mutta varmasti voin vannoa muistavani lihavan herran
ja rouvan nimen."
Ei ollut tarpeen, että hän muistaisi ajan; päivä ja päivämäärä olivat
täydellisesti selvillä hänen isäntänsä tilauskirjassa. Tunsin heti, että
minä nyt niiden varmojen aseiden, joita kutsutaan yksinkertaisiksi
tosiasioiksi, yhdellä iskulla voin musertaa ja voittaa koko

salahankkeen. Silmänräpäystäkään epäilemättä kutsuin vuokra-
ajuriliikkeen omistajan syrjään ja ilmaisin hänelle ajajan todistuksen
ja hänen tilauskirjaansa tehdyn merkitsemisen todellisen ja
sanomattoman suuren arvon. Sopimus korvata hänen ajajansa
muutaman päivän poissa-olo oli pian tehty, jonka ohessa minä itse
jäljensin merkityn tilauksen, minkä jäljennöksen isäntä
nimikirjoituksellaan oikeaksi todisti. Läksin pois sovittuamme, että
John Owen olisi käytettävänäni kolmena seuraavana päivänä tai
kauemminkin, jos tarve vaatisi.
Käsissäni oli nyt kaikki tarvitsemani paperit; alueregistraattorin
omakätinen kuolemantodistuksen jäljennös ja sir Percivalin päivätty,
kreiville lähettämä kirje olivat varmassa säilössä lompakossani.
Nämä kirjalliset todistukset taskussani ja vuokra-ajurin vastaus
vielä tuoreena muistissani suuntasin askeleeni ensi kerran sen päivän
jälkeen, jolloin tutkimukseni alkoivat sille kadulle, jossa herra Kyrlen
konttori sijaitsi. Yhtenä tämän käyntini syynä oli luonnollisesti
ilmoittaa hänelle mitä minun oli onnistunut toimittaa asiassa. Toisena
oli kertoa hänelle, että minä huomisaamuna aioin viedä vaimoni
Limmeridgeen saadakseni hänet siellä suoraan tunnustetuksi ja
vastaanotetuksi setänsä taloon. Jätin herra Kyrlen itsensä
päätettäväksi nykyisissä olosuhteissa, olisiko hän herra Gilmoren
poissaollessa velvollinen vai ei, perheen asianajajana, olemaan läsnä
perheen asioille niin tärkeässä tilaisuudessa.
En tahdo puhua mitään herra Kyrlen hämmästyksestä tai niistä
liioitelluista huudahduksista, joilla hän hyväksyi menettelyni
tutkimuksieni ensi alusta loppuun saakka. Tahdon vain mainita, että
hän heti päätti seurata meitä Cumberlandiin.

Matkustimme huomisaamuna aikaisella junalla. Laura, Marian,
herra Kyrle ja minä istuimme yhdessä vaunuissa; John Owenilla ja
eräällä herra Kyrlen kirjurilla oli paikkansa toisessa vaunussa.
Limmeridgen asemalle tultuamme läksimme me ensin Todds
Cornerin vuokrataloon. Luja päätökseni oli, ett'ei Laura astuisi
jalkaansa setänsä taloon, ennenkun hän saisi esiintyä siellä suoraan
tunnustettuna tämän veljentyttäreksi. Jätin Marianin tehtäväksi sopia
rouva Toddin kanssa oleskelumme ehdoista siellä, niin pian kun
rouva-hyvä oli ehtinyt toipua tulomme ja Cumberlandissa käyntimme
syyn tuottamasta hämmästyksestä; hänen miehensä lupasi huolehtia
John Owenin ylläpidosta. Näiden valmistavien toimien järjestettyä
läksimme herra Kyrle ja minä matkalle Limmeridge-Houseen.
En voi kokonaisuudessaan esittää keskusteluamme herra Fairlien
kanssa, sillä en voi palauttaa sitä muistooni ilman kärsimättömyyden
ja säälin tunteita, jotka tekevät tämän kohtauksen muistelemisenkin
kiusalliseksi minulle.
On parempi mielestäni yksinkertaisesti sanoa, että voitin
tarkoitukseni. Herra Fairlie koetti käsitellä asiaa tavallisella
tavallansa. Emme olleet huomaavinammekaan hänen kohteliaita
hävyttömyyksiänsä käyntimme alussa. Säälimättä kuuntelimme me
hänen valitustaan, että tämän salahankkeen havaitseminen oli aivan
musertanut hänet. Lopuksi kitisi ja marisi hän kuin kärsimätön lapsi.
Kuinka hän voisi tietää, että hänen veljentyttärensä vielä eli, kun
hänelle oli sanottu hänen kuolleen? Hän tahtoisi suurimmalla
mielihyvällä toivottaa kalliin Lauran tervetulleeksi, jos me vain
antaisimme hänelle aikaa rauhoittua. Näyttikö hän mielestämme
siltä, että hän aikoisi syöksyä omaan hautaansa? Ei. Miksi pitäisi
meidän siis syöstä hänet siihen? Hän toisteli sellaisia kuvitelmia
lakkaamatta, kunnes minä kerta kaikkiaan tein lopun siitä

asettamalla kaksi vaihtoehtoa hänelle. Joko hän tunnustaisi
veljentyttärensä oikeudet niillä ehdoilla, jotka minä määrään — tai
myöskin valmistautuisi oikeudenkäynnin seurauksiin. Herra Kyrle,
johon hän kääntyi saadakseen apua, sanoi hänelle, että hänen nyt
heti ja lykkäämättä täytyi päättää asiasta. Hän seurasi vain
luonnettansa valitessaan sen vaihtoehdon, joka heti päästi hänet
kaikesta enemmästä touhusta ja harmista; ja äkkinäisellä
voimanpurkauksella ilmoitti hän, ett'ei hän ollut kyllin vahva
antaakseen enempää vaivata itseään ja että me saisimme tehdä
miten tahansa.
Herra Kyrle ja minä menimme heti alakertaan ja sovimme siitä,
että kirjeellä kutsuimme herra Fairlien nimessä kaikki ne tiluksella
olevat henkilöt, jotka olivat olleet väärissä hautajaisissa läsnä,
saapumaan Limmeridge-Houseen kaksi päivää tämän jälkeen. Sen
ohella pyydettiin erästä Carlislen kivenhakkaajaa lähettämään
työmiehen Limmeridgen hautausmaalle poistamaan erästä
hautakirjoitusta.
Herra Kyrle, joka oli laittanut asiat niin, että hän sai asua
herraskartanossa, oli ottanut tehtäväkseen lukea nämä kirjeet herra
Fairlielle ja hankkia hänen omakätisen allekirjoituksensa niihin.
Vapaan päivän käytin minä laittaakseni vuokratalossa lyhyen
kertomuksen tästä salahankkeesta kokonaisuudessaan ja liitin siihen
ne kumoamattomat todistukset, jotka minun oli onnistunut hankkia
sen väitteen, että Laura olisi kuollut, valheellisuudesta. Minä jätin
sen herra Kyrlen tarkastettavaksi, ennenkun huomispäivänä lukisin
sen kokoutuneelle väelle. Samoin ratkaisimme me, millä tavoin
Lauran tunnustaminen tapahtuisi kertomuksen luettua. Tämän
tehtyä koetti herra Kyrle johtaa keskustelua Lauran raha-asioihin.

Kun minä en tietänyt tai halunnut tietää mitään näistä asioista ja kun
minä epäilin, ett'ei hän lakimiehenä hyväksyisi minun menettelyäni
luvatessani vaimoni elinkorosta sen summan, jonka rouva Fosco oli
saanut testamentissaan, pyysin minä, että hän sallisi minun olla
tästä asiasta lausumatta mitään. Se liittyi liian läheisesti menneen
ajan surujen ja kärsimysten muistoon, joista me nyt emme koskaan
keskenämme puhuneet ja joista emme halunneet muidenkaan
kanssa keskustella.
Viimeinen tehtäväni ennen illan tuloa oli "hautakiven todistuksen"
jäljentäminen, ennenkun kaiverrus poistettaisiin.
Päivä oli saapunut — se päivä, jolloin Laura taasen astui
Limmeridge-Housen hyvin tuttuun saliin. Kaikki saapuvilla olevat
henkilöt nousivat paikoiltansa, kun Marian ja minä astuimme
huoneeseen, tuoden hänet keskellämme. Huomattava liike ja
hämmästys, osanoton sorina syntyi kokoutuneen väen kesken, kun
he silmäsivät hänen kasvoihinsa. Herra Fairlie oli — nimenomaisesta
vaatimuksestani — läsnä, herra Kyrle vierellään. Hänen
kamaripalvelijansa seisoi hänen takanaan hajusuolapullo yhdessä ja
läpeensä Eau de Colognessa kasteltu nenäliina toisessa kädessään.
Avasin kokouksen kysymällä herra Fairlieltä, olinko minä täällä
hänen myöntymyksellään ja varmalla suostumuksellaan. Hän ojensi
kätensä kummallekin puolelle ja siten nojaten herra Kyrleen ja
kamaripalvelijaan nousi hän ylös ja seisoi todellakin omilla koivillaan,
jonka jälkeen hän lausui seuraavaa: "Sallikaa minun esittää herra
Hartright. Olen yhtä sairas kuin ainakin ja hän on niin hyvä ja puhuu
puolestani. Asia on kauhean sotkuisa. Olkaa hyvä ja kuunnelkaa
häntä älkääkä paljon melutko!" Näin sanottuaan vaipui hän
nojatuoliinsa ja tarttui hajuvesiseen nenäliinaansa.

Nyt seurasi kertomus koko salahankkeen suunnittelusta ja
toimeenpanosta, kun ensin muutamin sanoin olin alustavasti
selittänyt. Minä lausuin siis kuulijoilleni, että olin tässä ilmoittamassa
ennen kaikkea, että vaimoni, joka istui vieressäni, oli herra Philip
Fairlie-vainajan tytär; toiseksi, että kumoamattomilla todistuksilla
osoittamassa, että se hautaus, jossa he olivat läsnä Limmeridgen
hautausmaalla, oli ollut toisen naisen; ja kolmanneksi esittääkseni
heille selvän kertomuksen, kuinka kaikki tämä oli tapahtunut.
Pitemmittä esipuheitta luin sitten kertomuksen koko salahankkeesta,
kuvasin sen jatkon ja mainitsin ne melkoiset summat, jotka se oli
tuottanut, päästäkseni ollenkaan koskettelemasta sen toista
vaikutinta, nimittäin pelkoa, että sir Percivalin salaisuus tulisi
huomatuksi. Tämän tehtyä muistutin minä kuulijoitani siitä
päivämäärästä, joka oli kaiverrettu hautapatsaaseen (heinäkuun 25
päivä) ja vahvistin sen totuuden lukemalla kuolontodistuksen. Sitten
luin sir Percivalin heinäkuun 25 päivänä kirjoittaman kirjeen, jossa
hän ilmoittaa rouvansa matkustavan Hampshirestä Lontooseen 26
päivänä. Sen jälkeen pyysin vuokra-ajurin suullisesti todistamaan,
että tuo matka oli tehty sanottuna päivänä, joka näkyi tilauskirjaan
tehdystä merkitsemisestä. Marian lausui sitten muutamia sanoja
omista ja sisarensa kohtauksesta mielisairaalassa ja viimemainitun
paosta sieltä.
Lopuksi päätin minä puheeni ilmoittamalla sir Percivalin kuoleman
ja avioliittoni Lauran kanssa.
Lopetettuani ja istuuduttuani nousi herra Kyrle seisoalleen ja selitti
perheen lakimiehenä tämän oikeuskysymyksen tulleen ratkaistuksi
varmimmilla todistuksilla, joita hän koko elämässään oli kuullut.
Hänen lausuessaan näitä sanoja laskin minä käsivarteni Lauran
vyötäiselle ja nostin hänen ylös, niin että jokainen läsnäolija voi

hänet nähdä. "Käsitättekö tekin asian samoin?" kysyin lähestyessäni
pari askelta ja osoittaessani vaimoani.
Kysymykseni herättämä vaikutus oli todellakin sähköinen.
Kauimpana salissa istui eräs tiluksen vanhimpia vuokraajia. Hän
hypähti ylös samassa silmänräpäyksessä ja kaikki muut hänen
kanssaan. Näen hänet vieläkin, milloin tahdon, rehellisine,
päivettyneine kasvoineen, harmaansekaisine hiuksineen, heiluttaen
raskasta ratsupiiskaa päänsä yli ja huutaen hurraata. "Siinähän hän
on reippaana ja terveenä silmiemme edessä — Jumala siunatkoon
häntä! Hujauttakaa eläköön hänelle, pojat! Eläköön hän!" Se
riemuhuuto, joka kajahti vastauksena hänen lyhyeen puheeseensa ja
joka toistettiin moneen kertaan, oli parasta musikia, mitä koskaan
olen kuullut. Kylän väestö ja koululapset, jotka olivat kokoutuneet
pihalle, toistivat sen vielä kerran. Vuokraajain vaimot tunkeilivat
Lauran ympärillä ja kilpailivat, kuka ensin saisi puristaa hänen
kättään ja kyynelsilmin pyytää hänen olemaan levollinen eikä
itkemään. Hän oli niin liikutuksissaan, että minun täytyi viedä hänet
pois heidän luotaan ja saattaa ovelle. Siinä jätin minä hänet Marianin
haltuun. — Marianin, joka tähän asti ei koskaan ollut väistynyt
luotamme ja jonka sankarillinen itsehillintä ei tänäkään hetkenä
pettynyt. Kun siten olin taas jäänyt yksin, kehotin kaikkia
läsnäolijoita, kiitettyäni heitä Lauran ja omasta puolestani,
seuraamaan minua hautausmaalle ja katsomaan, kuinka kaiverrus
hautakivestä poistettaisiin.
Kaikki poistuivat huoneesta ja yhtyivät kylän väkeen, joka
sittemmin seisoi kokoutuneena haudan ympärille, jossa Carlislesta
saapuneet työmiehet odottivat tuloamme. Yleisen äänettömyyden
vallitessa kajahti ensimmäinen kova isku marmoria vasten. Ei
ääntäkään kuulunut; ei yksikään ihminen liikahtanut, ennenkun nuo

kolme sanaa, "Laura, lady Glyde", olivat hävinneet. Silloin huomasi
tyydytyksen tunteen käyvän koko väkijoukon läpi, ikäänkuin se olisi
tuntenut, että salahankkeen viimeiset kahleet nyt vasta olisivat
kirvonneet Lauralta — hitaasti ja arvokkaasti poistuivat sitten kaikki
läsnäolijat. Myöhään iltapäivällä poistettiin kaiverrus. Yksi ainoa rivi
kaiverrettiin sen sijaan: "Anna Catherick, kuollut heinäkuun 25
päivänä 1850."
Palasin Limmeridge-Houseen kyllin aikaisin illalla tavatakseni herra
Kyrleä, joka yhdessä kirjurin ja vuokra-ajurin kanssa palasi
Lontooseen iltajunalla. Hänen matkustettuaan sain minä hävyttömän
tervehdyksen herra Fairlieltä, joka ankarassa hermotäristyksessä oli
viety salista väen ensimmäisen ilohuudon kaikuessa. Lähetti esitti
meille "herra Fairlien parhaat onnentoivotukset" ja pyysi saada
tietää, "aioimmeko me kauemmin oleksia hänen talossaan." Lähetin
hänelle takaisin sen tervehdyksen, että ainoa tarkoitus, joka voi
pakottaa minua tulemaan hänen taloonsa, oli nyt voitettu, eikä
minun aikomukseni ollut "oleksia" kenenkään muun kuin omassa
talossani ja ett'ei herra Fairlien tarvinnut vähintäkään epäillä
saavansa nähdä meitä tai kuulla meistä koskaan sen enempää. Me
palasimme samana iltana vuokrataloon ja läksimme huomisaamuna
asemalle. Kylän asukkaat ja seudun vuokraajat olivat meitä vastassa
ja ottivat meiltä sydämmellisimmät jäähyväiset, kun me nyt
palasimme Lontooseen.
Viimeisten Cumberlandin kumpujen hälvetessä etäisyyteen
ajattelin minä ensimmäistä toivotonta taistelua kaikkia niitä vaaroja
ja huolia vastaan, jotka me olimme kestäneet ja nyt voittaneet. Oli
ihmeellistä ajatella, kuinka juuri se köyhyys, joka kielsi meiltä kaiken
avun toivon, oli ollut menestyksen epäsuovana keinona, kun se oli
pakottanut minut itseni toimimaan. Jos me olisimme olleet kyllin

rikkaita hankkimaan lainoppineen apua, niin mikä tulos siitä olisi
ollut? Voitto olisi — herra Kyrlen sanojen mukaan — ollut enemmän
kuin epävarma; tappio — päättääkseni todellakin sattuneiden
tapahtumain mukaan — varma. Laki ei olisi koskaan hankkinut
minulle keskustelua rouva Catherickin kanssa. Laki ei koskaan olisi
tehnyt Pescaa välikappaleeksi pakottaa kreivi tunnustamaan.
II.
Vielä kaksi rengasta puuttuu tapauksen ketjusta, ennenkun se
ulottuu kertomuksen alusta sen loppuun.
Kun vapauden tunteemme menneen ajan synkästä
epävarmuudesta vielä oli aivan uusi, kehotettiin minua saapumaan
sen ystävän luo, joka oli antanut minulle ensimmäiset piirrostyöt,
saadakseni häneltä uuden hyväntahtoisuuden ja luottamuksen
osoitteen. Hän oli saanut tehtäväkseen matkustaa Pariisiin
ottaakseen selvää eräästä ranskalaisesta keksinnöstä hänen
taiteensa alalla, jonka arvoa tahdottiin hartaasti saada tietää. Hänen
omat työnsä eivät sallineet hänen lähteä tällaiselle matkalle ja
ystävyydestä minua kohtaan oli hän laittanut niin, että tehtävä
siirrettiin minulle. Suostuin mielihyvällä kutsumukseen, sillä jos
minun onnistuisi täyttää tehtäväni, kuten toivoin, olisi tuloksena
varmaan paikan saanti sen kuvalehden toimituksessa, jonka hyväksi
minä nyt vain aika ajoittain työskentelin. Sain määräykseni ja laitoin
matkakuntoon tavarani huomispäivänä. Kun minä siis vielä kerran
jätin Lauran — mutta kuinka erilaisissa olosuhteissa! — sisarensa
hoitoon, mietin taaskin erästä asiaa jota jo useamman kerran
olimme vaimoni kanssa miettineet — tarkoitan velvollisuuttamme
hienotunteisesti ajatella Marianin tulevaisuutta. Oliko meillä oikeus

antaa itsekkään mieltymyksemme käyttää koko elämän ajan
hyväkseen hänen jaloa, itseuhraavaa hellyyttään? Eikö ollut meidän
velvollisuutemme, meidän paras kiitollisuuden osoitteemme unhottaa
itsemme ja vain ajatella häntä? Koetin sanoa hänelle jotakin siihen
suuntaan, kun hetkisen ennen lähtöämme olimme kahden kesken.
Hän tarttui minua käteen ja keskeytti heti ensi sanani.
"Kaiken sen jälkeen, mitä me kolme olemme kärsineet yhdessä, ei
mikään ero voi tulla kysymykseen ennen ikuista eroa. Sydämmeni ja
onneni, Walter, ovat erottamattomat sinusta ja Laurasta. Odotapas
vain, kunnes iloiset lapsenäänet kaikuvat lietenne äärestä — minä
opetan heidät pyytämään puolestani heidän omalla kielellään;
ensimmäinen läksy, jonka he toistavat isälleen ja äidilleen on tämä:
'me tahdomme niin mielellämme pitää tädin!'"
Matkaani Pariisiin en tehnyt yksin. Viime hetkenä päätti Pesca
seurata minua. Hänen ei ollut onnistunut saada takaisin reipasta
iloisuuttaan tuon operaillan jälkeen ja hän päätti koettaa, mitä viikon
vapaus vaikuttaisi hänen iloisen luonteensa palauttamiseksi.
Toimitin tehtäväni ja kirjoitin tarpeellisen selvityksen siitä
neljäntenä päivänä Pariisiin tultuani. Viidentenä päivänä olin
päättänyt katsella, minkä ehtisin, ja yleensä huvitella Pescan
seurassa.
Hotelli, jossa me asuimme, oli täynnään matkustajia, niin ett'ei
meidän onnistunut saada huoneita samassa kerroksessa. Minun oli
toisessa, Pescan kolmannessa kerroksessa. Viidennen päivän
aamuna menin ylös katsomaan, olisiko professori valmis seuraamaan
minua kaupungille. Juuri kun minun piti astua jalkani ylimmälle
astimelle, näin hänen ovensa avattavan sisäänpäin; ojennettu
valkoinen käsi piti sitä auki hermostuneesti vavisten. Aivan varmaan

ei se ollut ystäväni käsi. Samassa kuulin Pescan innokkaasti ja hiljaa
omalla äidinkielellään lausuvan: "Muistan nimen, mutta en tunne
miestä. Te näitte itse operasalissa, että hän oli niin muuttunut, ett'en
voinut tuntea häntä. Ilmoituksen lähetän — mitään muuta en voi
tehdä." — "Mitään muuta ei tarvitakaan", vastasi toinen ääni. Ovi
avattiin ja vaaleatukkainen, arpiposkinen mies — sama, jonka viikko
sitten olin nähnyt seuraavan kreivi Foscon matkavaunuja — tuli ulos.
Hän kumarsi minulle vetäytyessäni syrjään laskeakseni hänet
ohitseni — hän oli kuolonkalpea ja piti lujasti johtotangosta
mennessään portaita alas.
Avasin oven ja menin Pescan luo. Hän istui kyyristyneenä sohvan
nurkkaan mitä merkillisimmällä tavalla. Minusta näytti, että hän
kauhuissaan kääntyi minusta lähestyessäni häntä.
"Kuinka on asia? Häiritsenkö sinua?" kysyin minä. "En tietänyt,
että ystävä kävi luonasi, ennenkun näin hänen tulevan huoneesta."
"Ei ollenkaan ystävä", lausui Pesca kiivaasti. "Olen tänä päivänä
nähnyt hänet ensi ja samalla viime kerran."
"Pelkään hänen ilmoittaneen joitakin ikäviä uutisia?"
"Kauheita uutisia, Walter! Matkustakaamme takaisin Lontooseen —
en tahdo jäädä kauemmaksi tänne — olen pahoillani, että koskaan
tulinkaan tänne. Nuoruuteni onnettomuudet painavat raskaasti
minua", sanoi hän ja käänsi päänsä seinää kohden, "ne painavat
raskaasti minua vieläkin keski-iässä. Koetan unhottaa ne — eivätkä
ne tahdo unhottaa minua!"
"Pelkään, ett'emme voi matkustaa ennen iltapäivää", vastasin
minä.

"Etkö tahdo lähteä mukaani ensin?"
"Ei, ystäväni, tahdon jäädä tänne. Mutta matkustakaamme tänään
— minä rukoilen, matkustakaamme tänään!"
Poistuin hänen luotaan vakuuttaen, että matkustaisimme saman
päivän iltapuolella Pariisista. Olimme edellisenä iltana sopineet käydä
Notre-Damen kirkossa Victor Hugon mainio romaani oppaanamme.
Ei ollut mitään Ranskan pääkaupungissa, jota minä hartaammin
olisin halunnut nähdä — läksin siis yksin matkalle kirkkoon.
Lähestyessäni Notre-Damea joen puolelta, jouduin minä matkalla
kulkemaan Pariisin kamalan ruumishuoneen la Morguen ohi.
Ihmisjoukko tunkeili oven edessä. Oli nähtävästi jotakin sisällä, joka
herätti roskaväen huomiota ja sen makua nähdä hirveyksiä.
En olisi piitannut tästä matkallani kirkkoon, ellei kahden miehen ja
yhden naisen välinen keskustelu olisi herättänyt huomiotani. He
olivat juuri tulleet la Morguesta ja kuvasivat lähimmille
naapureillensa ja tuttavillensa, kuinka kuollut oli tavattoman suuri
mies ja kuinka hänellä oli kummallinen merkki vasemmassa
käsivarressaan.
Samassa silmänräpäyksessä kuin kuulin nämä sanat, seisahduin
minä ja liityin siihen joukkoon, joka pyrki sisään. Jonkunlainen
synkkä aavistus asian tosi laidasta oli päilynyt mielessäni aina siitä
hetkestä, jolloin olin kuullut Pescan äänen puoliavoimesta ovesta ja
näin vieraan kasvot, kun hän meni ohitseni hotellin portaissa. Nyt oli
totuus selvänä edessäni — selvänä niiden muutamain sanain takia,
jotka olin saanut kuulla. Toinen kosto kuin minun oli seurannut
tuomittua miestä teatterista hänen kotipaikkaansa, hänen omalta
oveltaan siihen pakopaikkaan, jonka oli etsinyt Pariisissa. Toinen käsi

kuin minun oli kutsunut hänet tekemään tiliä ja riistänyt hänen
elämänsä rangaistukseksi hänen rikoksistaan. Sinä hetkenä, jolloin
minä näytin hänet Pescalle teatterisalissa, niin että tämä
muukalainen, joka myöskin etsi häntä, kuuli sanani — oli
silmänräpäys, joka ratkaisi hänen kohtalonsa. Muistan oman
sydämmeni taistelun, kun hän ja minä seisoimme vastakkain —
muistan, kuinka sittemmin taistelin itsekseni, ennenkun voin
pakottautua päästämään hänet käsistäni — ja minä kauhistuin tätä
muistoa.
Hitaasti, tuuma tuumalta, pääsin eteenpäin väkijoukossa, yhä
lähemmäksi sitä lasiaitausta, joka la Morguessa erottaa kuolleet
elävistä — yhä lähemmäksi, kunnes olin aivan ensimmäisen
katsojarivin takana ja voin nähdä sisään.
Siinä makasi hän tuntemattomana, nimettömänä, asetettuna
pariisilaisen roskaväen naureksivan uteliaisuuden esineeksi! Tämä oli
huonoja taipumuksia, sydämmettömiä rikoksia sisältävän pitkän
elämän loppu! Vajonneina kuoleman syvään rauhaan lepäsivät
suuret, säännölliset kasvot ja pää edessämme niin juhlallisen
rauhaisina, että lörpöttelevät ranskattaret ympärilläni ihaillen nostivat
käsiänsä ja äänekkäässä kuorossa huudahtivat. "Ah, mikä kaunis
mies!" Se tikarinpisto, joka oli tappanut hänet, oli suoraan
sydämmessä. Ei mitään muita väkivallan merkkejä ollut näkyvissä
paitsi vasemmassa käsivarressa, ja siinä, juuri siinä paikassa, jossa
minä Pescan käsivarressa olin nähnyt poltetun merkin, oli kaksi
syvää haavaa, jotka muodostivat kirjaimen T, mikä peitti Veljeyden
merkin aivan tuntemattomaksi. Hänen vaatteensa, jotka olivat
ripustetut hänen yllensä, osoittivat, että hän itsekin tunsi vaaransa —
ne olivat sellaiset vaatteet, joita ranskalaiset käsityöläiset käyttävät.
Muutamia silmänräpäyksiä, mutta en kauempaa, pakottauduin minä

katselemaan näitä lasiruudun läpi. Enempää en voi kuvata niitä, sillä
en nähnyt mitään muuta.
Ne harvat tiedot, jotka minä voin koota hänen kuolemastaan,
osaksi Pescan tiedonannoista, osaksi muista lähteistä, tahdon tässä
esittää, ennenkun ainaiseksi lakkaan hänestä puhumasta.
Hänen ruumiinsa löydettiin Seinestä siinä valepuvussa, josta jo
olen maininnut; ei mitään löydetty, joka olisi ilmaissut hänen
arvonsa, nimensä tai asuntonsa. Henkilöä, joka oli surmannut hänet,
ei koskaan tavattu; yhtä vähän saatiin tietää niitä olosuhteita, joissa
hän oli murhattu.
Jätän toisten tehtäväksi johtopäätökset, kuten itse olen tehnyt
omani. Kun otaksun, että tuntematon arpiposkinen henkilö oli
Veljeyden jäsen — otettu siihen Pescan poistuttua kotimaastaan — ja
kun edelleen lisään, että nuo kaksi iskua kuolleen vasemmassa
käsivarressa merkitsevät italialaista sanaa "Traditore", ja mainitsen,
että Veljeys oli toimittanut verituomionsa pettäjälle, niin olen
esittänyt kaikki ne tiedot, jotka olen voinut saada hankkimaan jotain
valaistusta siihen hämäryyteen, joka peittää kreivi Foscon kuoleman.
Vainaja tunnettiin seuraavana päivänä sen jälkeen, kuin olin
nähnyt hänet, hänen rouvalleen lähetetyn nimettömän kirjeen
johdosta. Rouva hautautti hänet Père la Ghaisen hautausmaahan.
Kreivittären oma käsi ripustaa tänäkin päivänä tuoreita seppeleitä
hautaa ympäröivälle pronssiaitaukselle. Hän elää Versaillesissa mitä
ankarimmassa yksinäisyydessä. Joku aika sitten julkaisi hän
muistokirjoituksen miesvainajastansa. Tämä teos ei ilmaise hänen
todellista nimeänsä enemmän kuin hänen elämänsä vaiheitakaan;
sen tarkoituksena on ylistää vain hänen kotoisia hyveitänsä, hänen
neroansa ja suuria ominaisuuksiansa sekä toistaa ne

kunnianosoitukset, jotka hän oli niillä saavuttanut. Tapahtumat
hänen kuollessaan ovat aivan lyhyesti kosketellut, ainoastaan viime
sivulla lausutaan näin: "Hänen elämänsä oli pitkä taistelu aatelin
oikeuksien ja vallitsevan järjestyksen pyhien periaatteiden
säilyttämiseksi — ja hän kuoli ajamansa asian marttyyrinä."
III.
Kesä ja syksy kuluivat palattuani Pariisista tuomatta mitään sellaisia
muutoksia, joita ansaitsisi mainita. Elimme nyt niin yksinkertaisesti ja
huomaamattomasti, että ne tulot, joita minulla nyt yhtämittaa oli,
riittivät yli menojemme.
Seuraavan vuoden helmikuussa syntyi ensi lapsemme — poika.
Äitini, sisareni ja rouva Vesey olivat vierainamme yksinkertaisissa
ristiäisissä; rouva Clements oli myöskin tässä tilaisuudessa läsnä
vaimoni hoitajana. Marian oli poikamme ristiäitinä; Pesca ja herra
Gilmore olivat myöskin kummeja, vaikka jälkimäinen ei ollut läsnä.
Voin tässä lisätä, että kun herra Gilmore vuosi myöhemmin palasi,
avusti hänkin antamalla muutamia tätä juttua koskevia tietoja,
kirjoittaen pyynnöstäni sen kertomuksen, joka on otettu kirjan
alkuun ja joka on, vaikkakin alkupuolella sovitettuna, viimeinen
saamani avustus.
Ainoa tärkeämpiarvoinen tapahtuma, joka on kerrottavana, sattui
pikku
Walterimme ollessa 6-kuinen.
Siihen aikaan lähetettiin minut Irlantiin piirustamaan joukko
näköaloja sitä lehteä varten, johon minä työskentelin. Olin poissa
lähes 14 päivää, jolla aikaa olin säännöllisesti kirjevaihdossa vaimoni

ja Marianin kanssa paitsi kolmena viime päivänä, jolloin olinpaikkani
oli kovin epävarma voidakseni saada kirjeitä. Kotimatkani loppuosa
sattui yöllä, ja kun aamulla saavuin kotiin, ei siellä suureksi
hämmästyksekseni ollut ketään vastaanottamassa minua. Laura,
Marian ja lapsemme, kaikki olivat poissa eilispäivästä saakka.
Vaimoni jättämä lippu, jonka palvelijamme antoi minulle, lisäsi vain
vieläkin kummastustani, kun se ilmoitti heidän matkustaneen
Limmeridge-Houseen. Marian oli kieltänyt Lauraa kirjoittamasta
tarkemmin, hän pyysi, että minä heti kotiin tultuani tulisin perästä —
täydelliset tiedot saisin Limmeridgeen saavuttuani. Samalla
kehotettiin minua olemaan aivan rauhallinen. Siihen päättyi kirje.
Oli vielä liian aikaista ehtiä matkustaa aamujunalla. Saavuin
Limmeridge-Houseen iltapäivällä.
Puolisoni ja Marian olivat molemmat yläkerrassa. Suuremmaksi
ällistyksekseni olivat he muitta mutkitta sijoittautuneet siihen
pieneen huoneeseen, joka kerran oli ollut työhuoneenani, kun minä
järjestelin herra Fairlien piirustuksia. Samalla tuolilla, jolla minä
muinoin tavallisesti istuin maalatessani, istui nyt Marian lapsi
polvellaan, Lauran seisoessa tuon tutun pöydän ääressä ja selaillessa
sitä pikku albumia, jonka minä aikoinaan olin piirustanut hänelle
täyteen.
"Mikä taivaan nimessä on tuonut teidät tänne?" kysyin minä.
"Tietääkö herra Fairlie…?"
Marian esti minun lausumasta sanaakaan enemmän ilmoittamalla
minulle, että herra Fairlie oli kuollut. Hän oli saanut
halvauskohtauksen eikä koskaan voinut toipua siitä. Herra Kyrle oli

ilmoittanut heille hänen kuolemastaan ja neuvonut heitä heti
matkustamaan Limmeridge-Houseen.
Nyt alkoi valjeta minulle suuri ja tärkeä muutos oloissamme. Laura
puhui, ennenkun minä itse olin ehtinyt selvittää täydellisesti
ajatuksiani. Hän hiipi luokseni iloitakseen siitä hämmästyksestä, joka
vielä kuvastui kasvoissani.
"Rakkahin Walter", sanoi hän, "täytyykö minun todellakin sanoa
sinulle rohkean päätöksemme syy matkustaa tänne? Pelkään,
rakkahin, että voin vain selittää sen rikkomalla sopimuksemme ja
palauttamalla ajatuksemme menneisyyteen."
"Mitään sellaista ei tarvita ollenkaan", sanoi Marian. "Me voimme
olla yhtä selviä ja paljon hauskempia suunnatessamme ajatuksemme
tulevaisuuteen." Hän nousi ylös ja ojensi minulle lapsen, joka jokelsi
ja kohotti kätensä minua kohden. "Tiedätkö, kuka tämä on?" kysyi
hän ilokyynelten kimmeltäessä hänen silmissään.
"Minunkin hämmästykselläni on rajansa", vastasin minä. "Tottahan
tunnen lapseni."
"Lapsi!" huudahti hän koko entisen aikansa iloisuudella. "Voitko
puhua niin huolettomasti yhdestä Englannin suurimmasta
tilanomistajasta? Tiedätkö, näyttäessäni sinulle tätä loistavaa vesaa,
kenen luona sinä olet? Luultavasti et. Salli siis esittää kaksi kuuluisaa
henkilöä toisilleen: herra Walter Hartright — Limmeridgen perijä."
Siten lausui hän. Kirjoitettuani nämä viime sanat olen kirjoittanut
kaikki. Kynä putoo kädestäni. Se pitkällinen työ, joka monena
kuukautena on ollut hauskana tehtävänäni, on loppunut. Marian on

ollut elämämme hyvä enkeli — Marian päättäköön kertomuksenkin
siitä.
End of Project Gutenberg's Valkopukuinen nainen II, by Wilkie
Collins

Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookultra.com

Transforms and applications handbook 3ed. Edition Alexander D. Poularikas

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Transforms and applications handbook 3ed. Edition Alexander D. Poularikas

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 15

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Tags

Categories

Download