Trigonometría 1ro de Secundaria - LOGIMATIC Ccesa007.pdf

TRIGONOMETRÍA
Hiparco de Nicea
1
LIBRO DE CONSULTA
RESUEL
VE PROBLEMAS DE FORM
A, MOVIMIENTO Y L OCALIZ ACIÓN
INFORMES Y PEDIDOS:
Av. Tacna 407 Of.301 - Lima
T. 426-4853 C.951519619
E-mail: [email protected]
Web: www.editorialingenio.pe
TRIGONOMETRÍA - LIBRO DE CONSU LTA
Hiparco, nacido en Nicea en el año
190 a. C., fue el observador más grande
de la antigüedad. Su catálogo de
estrellas, que contenía posiciones y
brillos de más de 800 estrellas, no fue
superado en precisión hasta el siglo XVI.
Nació cuatro años antes de la muerte de
Eratóstenes, al que sucedió en la
dirección de la Biblioteca de Alejandría.
Descubrió la precesión de los
equinoccios, o lo que es lo mismo, el
desplazamiento de los puntos
equinocciales, puntos comunes a la
eclíptica y al ecuador celeste. Este
suceso es debido a la variación del Polo
Norte Celeste.
Hiparco pudo conseguir satisfacer una
de las principales exigencias de la
astronomía antigua: la predicción de
eclipses, serio problema para los
griegos antes de Hiparco, ya que tan
sólo contaban con el método de los
babilonios para predecir los eclipses.
Murió en el año 120 d a. C.
1

2
CONOCE TU LIBRO
Título de la unidad
Se relaciona con los
conocimientos desarrollados.
Desempeños
Muestra los niveles
de aprendizaje que el
estudiante debe alcanzar.
Capacidades
Recursos para resolver
de manera competente
problemas matemáticos.
Paso a paso
Taller complementario
para que el estudiante
desarrolle su
aprendizaje.
Lectura motivadora
A través de un texto
informativo se vincula algún
aspecto de la matemática en
forma amena.
Imagen o ilustración
Vincula una situación real
con un tema de aprendizaje.
Estructura del capítulo
Situación motivadora
Al inicio de cada capítulo se relacionan los conocimientos
matemáticos con diversas situaciones del entorno.
Enfoque práctico
Ejemplos ilustrativos que
desarrollan el contenido.
Ten presente
Información complementaria (notas,
lecturas, observaciones, historias)
que busca reforzar el capítulo.
Proceso información
A partir de la situación
motivadora se resuelve un
problema continuando
con las definiciones y
conceptos matemáticos.
El libro de consulta de la colección LOGIMATIC® se organiza en cuatro unidades, cada una de las cuales presenta
6 capítulos. En estos se desarrollan los contenidos a partir de situaciones significativas y vinculadas con las
competencias y capacidades matemáticas. En este libro encontrarás las siguientes secciones:
Apertura
Libro de consulta

3
Problemas resueltos
Diversos problemas con sus
resoluciones respectivas
explicadas paso a paso
para hacer más entendible
el tema.
Actividades
Variados tipos de ejercicios
que los desarrollarás de
forma individual o colectiva.
Olimpiadas
Actividades complementarias seleccionadas
de distintas pruebas de matemática.
Reflexiono
Autoevaluación en el que
registrarás tu proceso de
aprendizaje.
Reforzando
Ejercicios propuestos con tres
niveles de complejidad.
Problemas para resolver
Diversos ejercicios con alternativas
objetivas y espacio para desarrollar.
El cuaderno de trabajo de la colección LOGIMATIC® comprende 4 unidades, en cada una de las cuales se presenta
6 capítulos. Cada uno de estos muestra la siguiente estructura:
Cuaderno de trabajo

4
ÍNDICE
SECCIÓN INICIAL SECCIÓN CENTRAL ACTIVIDADES
1
ÁNGULOS
TRIGONOMÉTRICOS Y
SECTOR CIRCULAR
Capítulo 1:Ángulo trigonométrico
Propiedades del ángulo trigonométrico
6
Actividad 1 8
Capítulo 2:Sistema de medición angular
Sistema sexagesimal, radial y conversión de unidades
9
Actividad 2 12
Capítulo 3:Sistema sexagesimal y radial en figuras geométricas
Para triángulos y cuadriláteros
13
Actividad 3 15
Capítulo 4:Sector circular parte I
Circunferencia y cálculo de la longitud de arco
16
Actividad 4 19
Capítulo 5:Sector circular parte II
Propiedades de la longitud de arco
20
Actividad 5 23
Capítulo 6:Sector circular parte III
Calculo del área del sector circular
24
Actividad 6 26
Paso a paso 27
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Capítulo7:Triángulo rectángulo parte I
Teorema de Pitágoras y simplificación del teorema de Pitágoras
29
Actividad 7 31
Capítulo 8:Triángulo rectángulo parte II
Elementos y posición relativa de los catetos
32
Actividad 8 34
Capítulo 9:Triángulo rectángulo parte III
Razones entre los lados
35
Actividad 9 37
Capítulo 10:Razones trigonométricas de ángulos agudos parte I
Razón trigonométrica seno y coseno
38
Actividad 1040
Capítulo 11:Razones trigonométricas de ángulos agudos parte II
Razón trigonométrica tangente y cotangente
41
Actividad 1143
Capítulo 12:Razones trigonométricas de ángulos agudos parte III
Razón trigonométrica secante y cosecante
44
Actividad 1246
Paso a paso 47
3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Capítulo 13:Razones trigonométricas recíprocas
Razones trigonométricas reciprocas
49
Actividad 1351
Capítulo 14:Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Razones trigonométricas complementarias
52
Actividad 1454
Capítulo 15:Razones trigonométricas de ángulos notables parte I
Razones trigonométricas de 45°
55
Actividad 1557
Capítulo 16:Razones trigonométricas de ángulos notables parte II
Razones trigonométricas de 30° y 60°
58
Actividad 1660
Capítulo 17:Razones trigonométricas de ángulos notables parte III
Razones trigonométricas de 37° y 53°
61
Actividad 1763
Capítulo 18:Geometría analítica parte I
Sistema de coordenadas y ubicación de un punto
64
Actividad 1867
Paso a paso 68
4
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Capítulo 19:Geometría analítica parte II
Distancia vertical (Dv) y horizontal (Dh)
70
Actividad 1973
Capítulo 20:Geometría analítica parte III
Distancia entre dos puntos y teorema
74
Actividad 2078
Capítulo 21:Geometría analítica parte IV
Coordenadas del punto medio de un segmento
77
Actividad 2180
Capítulo 22:Geometría analítica parte V
Radio vector
81
Actividad 2283
Capítulo 23:Ángulos en posición normal
Ángulos que pertenecen a algún cuadrante
84
Actividad 2387
Capítulo 24:Razón trigonométrica de ángulos de cualquier magnitud
Seno, coseno y tangente en el sistema cartesiano
88
Actividad 2491
Paso a paso 92
5
28
48
69

IMPORTANCIA DE LA
TRIGONOMÉTRICA
La trigonometría es parte de la matemática
que establece la relación entre los ángulos y
los lados de un triángulo, siendo fundamental
esta relación para la resolución de problemas
relacionados al cálculo de las magnitudes y
medidas de lados y ángulos de triángulos
semejantes y también de polígonos, ya que
todos los polígonos se pueden dividir en un
número determinado de triángulos, por ser
el triángulo polígono de menor número de
lados. Las relaciones establecidas entre estos
elementos del triángulo determinan las 6
razones trigonométricas que básicamente
se obtienen de un triángulo rectángulo, sin
que esto signifique que no pueda aplicarse a
cualquier tipo de triángulo o polígono.
(http://primeroauncursodeverdad.blogspot.
pe/2014/04/la-importancia-de-la-trigonometria.html)
En esta unidad lograré
Modela objetos con formas
geométricas y sus transformaciones
• Identificar las características del ángulo trigonométrico y los sistemas de medición angular.
• Modelar situaciones cotidianas empleando la longitud de arco y el área del sector circular
Comunica su comprensión sobre
las formas y relaciones geométricas
• Representar ángulos trigonométricos.
• Representar en forma gráfica la longitud de arco y el área del sector circular.
Usa estrategias y
procedimientos para orientarse
en el espacio
• Resolver problemas que involucran el uso de los ángulos trigonométricos y los sistemas de medición
angular.
• Emplear diversas estrategias para resolver problemas aplicando la longitud de arco y el área del
sector circular.
Argumenta afirmaciones sobre
relaciones geométricas
• Plantear situaciones problemáticas mediante la utilización de los sistemas de medición angular.
• Elaborar conclusiones que diferencian la longitud de arco y el área del sector circular.
ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS
Y SECTOR CIRCULAR Unidad1
5Unidad 1

Ángulo trigonométrico
Se genera por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado
vértice, desde una posición inicial llamada lado inicial hasta una posición
final llamada lado final.
Propiedades del ángulo trigonométrico
1. Sentido: Cuando el rayo gira en sentido antihorario genera ángulo positi-
vo y cuando gira en sentido horario, ángulo negativo.
α: ángulo positivo
α
Lado final
Lado inicial
β: ángulo negativo
Lado final
Lado inicial
β
ÁNGULO GEOMÉTRICO Y
TRIGONOMÉTRICO
1. El ángulo geométrico no
tiene sentido y su medida
no puede superar los 360º.
2. El ángulo trigonométrico es
positivo o bien negativo y su
medida puede ser ilimitada.
50°
Ángulo
geométrico
+410°
Ángulo
trigonométrico
Según lo anterior, definimos los siguientes ángulos trigonométricos:
Posición inicial
Gira a la
derecha
Vértice
Gira en sentido horarioCerca de media vueltaCerca de una vuelta Más de una vuelta
I. II. III. I V. V.
Posición inicial
Gira a la
izquierda
Gira en sentido
antihorario
Vértice
Cerca de media vuelta Cerca de una vuelta Más de dos vueltas
I. II. III. I V. V.
CAPÍTULO1
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Ten presente
Precesión
eje de rotación
órbita
Tierra
Precesión
Rotación
Un ejemplo del movimiento giroscópico
es la precesión de los equinoccios (línea
resultante de la intersección del ecuador
terrestre y el plano de la elíptica). La
tierra se comporta como un gigantesco
giroscopio cuyo eje de rotación es tomado
por la línea que une los polos norte y sur.
Según el eje terrestre la tierra tiene un
ángulo de inclinación que se observa
en la figura. ¿Este ángulo de inclinación
medio en sentido horario o antihorario y
según esto es positivo o negativo?
6 Unidad 1

Problema 1
¿Qué ángulo barre el minutero de
un reloj en 3 horas?
Resolución
En una hora, el minutero da una
vuelta completa, o sea, barre
360°; entonces en 3 horas barre
360° × 3 = 1080°.
Rpta.: 1080º
Problema 2
Dibuja dos ángulos de 3/4 de
vuelta, uno positivo y otro negativo.
Resolución
Ángulo positivo
de 3/4 de vuelta
(+)
Ángulo negativo
de 3/4 de vuelta
Lado
final
Lado
inicial
(–)
Problema 3
Dibuja un ángulo negativo de 3
vueltas y media.
Resolución
Ángulo trigonométrico negativo de
3 vueltas y media.
Lado inicial
Problema 4
Indica que ángulo posee un sentido
horario.
(I) (II) (III)
Resolución
Un ángulo está en sentido horario si
tiene el mismo sentido que las agujas
de un reloj. Según lo dicho solo (III)
está en sentido horario.
Problema 5
Del gráfico, calcula el valor de x.
0
A
B
C
3x
–2x
Resolución
0 A
B
C
3x
2x
Cambiamos de sentido al \BOC,
entonces cambia de signo.
Luego: 2x + 3x = 90°
5x = 90
x =
90°
5
= 18°
Rpta.: 18°
2. Tamaño o magnitud: El ángulo trigonométrico puede tener un tamaño
ilimitado, puesto que el rayo que la genera puede dar infinitas vueltas,
como el aspa de molino o las hélices del ventilador.
Lado final
Lado inicial
Dos ángulos opuestos por
el vértice son de la misma
magnitud, aunque no
necesariamente del mismo
signo.
55° 55°
–70° +70°
Ten presente
Para sumar o restar ángulos
trigonométricos en un gráfico,
estos deben tener el mismo
sentido.
x
θ
– β
– α
θβ
x
α
x = θ – β – α
Observación
7Unidad 1

Actividades Por mi cuenta
1. Indica qué ángulos están en sentido horario.
A) I
(I) (II) (III)

B) I y II
C) II y III
D) III
E) I y III
2. Indica qué ángulo está en sentido antihorario.
A) I
(III)(I) (II)

B) II
C) III
D) III
E) II y III
3. ¿Qué ángulos están bien representados?
(I) (II) (III)
20°
–60°
–40°
A) I B) III C) II y III
D) II E) I y II
En pareja
4. Indica cuántos ángulos positivos hay.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) Ninguno
5. Indica la medida del ángulo AOC.
A) 110°
O
A
–50°
60°
C
B

B) –80°
C) 100°
D) –120°
E) –100°
6. Calcula el valor de x.
2x
– 150°
A) 20° B) 15° C) 12° D) 8° E) 10°
En equipo
7. Determina el valor de x.
A) 12°
–x
6x
–2x
B) 11°
C) 10°
D) 9°
E) 8°
8. Calcula el valor de x.
A) 16°
– 200°
– 2x
6x
B) 17°
C) 18
D) 19°
E) 20°
1. Determina el valor de x.
A) 10°
B) 20°
7x
–3x x
C) –12°
D) –10°
E) –20°
2. Calcula el valor de x (OY es bisectriz).
A) 30°

O
B
70° – 2x
20° – x
Y
A
B) 32°
C) 28°
D) 27°
E) 35°
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
8 Unidad 1

Actividades UN RADIÁN
La palabra radián fue
presentada por primera vez
por el físico e ingeniero inglés
James Thompson el 5 de junio
de 1873.
RADIÁN
Gráficamente, un radián es el
ángulo central que subtiende
un arco de longitud igual al
radio.
1 radián
r
r
r
r
ÁNGULOS PRINCIPALES
EN EL SISTEMA RADIAL
2π rad
π rad
π
2
rad
3
2
rad
X
Y
Ten presente
El ángulo de inclinación que proporciona Aníbal está medido en el sistema
sexagesimal y el de Miguel en el sistema radial, lo cual nos indica que hay
diferentes sistemas de medida angular. Por lo tanto, podemos realizar
conversiones, de un mismo ángulo, de un sistema a otro.
30°
π
180°
rad =
π
6
rad
Esto quiere decir qué los ángulos que dieron Aníbal y Miguel representan la
misma inclinación del trompo
El sistema sexagesimal
270°
300°
330°
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
210°
240°
Se divide el ángulo de una vuelta en 360
partes iguales donde cada parte mide un
grado sexagesimal, unidad angular de este
sistema.
Cada grado se divide en 60 minutos y cada
minuto en 60 segundos.
1 vuelta = 360°
1° = 60'
1' = 60''
El sistema radial, internacional o circular
En este sistema, el ángulo de una vuelta mide 2π radianes (π = 3,1416) y la
unidad es 1 radian (1 rad)
Como π = 3,14, una vuelta mide aproximadamente 2π = 6,28 radianes.
Conversión de unidades
La medida de un ángulo, en grados sexagesimales, se puede expresar en
radianes, y viceversa.
La equivalencia es: 2π radianes = 360°
π radianes = 180°
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR
Aníbal y Miguel están jugando con trompos, Aníbal
hace girar el trompo como se muestra en la imagen.
Observamos que su trompo tiene una inclinación
respecto a su eje de 30°, pero Miguel dice que dicha
inclinación es de π/6 rad. ¿Dichas medidas repre-
sentan la misma inclinación?
CAPÍTULO2
Dato histórico
9Unidad 1

Problema 1
¿Cuántos grados mide 1/4 de vuelta?
Resolución
Si una vuelta mide 360°, un cuarto
de vuelta mide 360° ÷ 4 = 90°.
Rpta.: 90º
Problema 2
Convertir
3π
5
rad a sexagesimales.
Resolución
Aplicando el factor de conversión
3π
5
rad ×
180°
π rad
= 108
Rpta.: 108
Problema 3
Ordena en forma creciente
β =
5π
2
rad ; θ = 350°; α =
7π
6
rad
Resolución
Expresando todo al sistema
sexagesimal
β =
5π
2
rad ×
180°
π rad
→ β = 450°
α =
7π
6
rad ×
180°
π rad
→ α = 210
Ordenando de menor a mayor
Rpta.: α; θ y β
Problema 4
Calcula el valor de x, si
(5x + 200)° =
7π
3

Resolución
Todo a sistema sexagesimal
(5x + 200)° =
7π
3
rad ×
180°
π
rad
Luego: 5x + 200 = 420
5x = 220
x =
220
5

x = 44
Rpta.: 44
Problema 5
Reduce: E =
40° +
5π
3
rad
π
9
rad
Resolución
Todo a sistema sexagesimal
5π
3
rad ×
180°
π rad
= 300
π
9
rad ×
180°
π rad
= 20
Reemplazando:
E =
40° + 300°
20°

E =
340°
20°

E = 17
Rpta.: 17
Las unidades se pueden convertir.
Por reemplazo
Expresa 3π radianes en grados
sexagesimales.
3π rad = 3(π rad) = 3(180°) = 540°
Conversión:
rad → grados → p rad = 180°

tengo quiero
3π rad ×
quiero
tengo
= 3π rad ×
180
π rad
= 540
Por factor de conversión
Expresa 120° en radianes.
Conversión:
Grados → rad → 180° = π rad

tengo quiero
120
quiero
tengo
= 120 ×
π rad
180°
=
2p
3
rad
EQUIVALENCIAS
IMPORTANTES
1. 360° = 2π rad
2. 180° = π rad
3. 90° =
π
2
rad
4. 45° =
π
4
rad
5. 270° =
3π
2
rad
6. 120° =
2π
3
rad
7. 60° =
π
3
rad
8. 30° =
π
6
rad
Observación
Ten presente
Recuerda siempre los factores
de conversión de un sistema a
otro.
De:

180
rad
#
π
c
Sexagesimal Radián
12°
180
rad
#
π
c
=
15
rad
π

rad
180
#
π
c
Radián Sexagesimal
×
2
3
prad ×
180°
prad
= 120°
El número p toma algunos
valores aproximados, estos son:
1. p < > 3,1416
2. p < > 32+
3. p < > 10
4. p < >
7
22
Ten presente
10 Unidad 1

Problema 6
Calcula E = a + b + c, Si: abc < >
3π
4
rad
Resolución
Todo a sistema sexagesimal
3π
4
rad ×
180
π rad
= 135
Luego: abc = 135
Donde: a = 1; b = 3; c = 5
Piden:
E = 1 + 3 + 5
E = 9
E = 3
Rpta.: 3
Problema 7
Calcula el valor de x si (2x + 30) =
4p rad
3

Resolución
Se tiene (2x + 30)° =
4p rad
3
×
180°
p rad
60
2 x + 30 = 240
2 x = 210
x = 105
Rpta.: 105
Problema 8
Relaciona con su equivalente.
I. 15° a.
9
rad
π
II. 240° b.
12
rad
π
III. 20° c.
3
4
rad
π
Resolución
Aplicando el factor de conversión:
I. 15
12
rad
180
rad
#
π π
=c
c
II. 240
3
4
rad
180
rad
#
π π
=c
c
III. 20
9
rad
180
rad
#
π π
=c
c
La relación correcta es: Ib; IIc; IIIa
Rpta.: Ib; IIc; IIIa
Problema 9
Calcula el valor de x, si (7x – 6)° =
90
11
radπ
Resolución
Llevamos todo a grados sexagesimales.
(7x – 6)° = rad
rad90
11 180
2
#π
π
c
7x – 6 = 22 → 7x = 28
∴ x = 4
Rpta.: 4
Problema 10
Ordena de mayor a menor los ángulos b= 65°;
a =
5
3
rad
π
; q = 0,3 prad
Resolución
Convertimos los ángulos a y q en grados
sexagesimales.
a = rad
rad5
3
36 36
180
12
"#
π
α
π
==cc
c
q = rad
rad10
3
54 54
180
18
"#πθ
π
==cc
c

Ordenando de mayor a menor se tiene: b; q; a.
Rpta.: b; q; a
Problema 12
Reduce
E =
50
g
+
π
4
rad + 90°
2π rad
Resolución
Convertimos todo al sistema sexagesimal.
50
g
××
9°
10
g
= 45°

π
4
rad ×
180°
π
= 45°
2π rad ×
180°
π
= 360°
Reemplazando
E =
45° + 45° + 90°
360°
E =
180°
360°

E =
1 2
Rpta.:
1
2

11Unidad 1

Actividades Por mi cuenta
1. Expresa 55° en el sistema radial.
A)
7p
36
rad B)
11p
36
rad C)
p
18
rad
D)
p
4
rad E)
4p
5
rad
2. Expresa
7π
4
rad en grados sexagesimales.
A) 300° B) 305° C) 310°
D) 315° E) 325°
3. Expresa θ + β en radianes.
θ = 20° + 60° ; β = 200° – 80°
A)
10p
9
rad B)
4p
9
rad C)
2p
9
rad
D)
5p
9
rad E)
p
9
rad
En pareja
4. Expresa x – y en sexagesimales.
x =
5π
3
rad +
3π
4
rad ; y =
π
10
rad +
2π
15
rad
A) 395° B) 390° C) 300°
D) 392° E) 393°
5. Ordena en forma creciente
x =
π
6
rad ; y =
3π
5
rad ; z =
4π
15
rad
A) x; y; z B) y; x; z C) x; z; y
D) y; x; z E) z; y; x
6. Si β =
7π
2
rad y θ =
5π
4
rad,
Calcula β + θ en el sistema sexagesimal.
A) 855° B) 856° C) 857°
D) 858° E) 859°
En equipo
7. Coloca mayor (>) ; menor (<) o igual (=), según
corresponda.
I. 30° ( )
π
2
II.
2π
4
rad ( ) 80°
III. 135° ( )
3π
4
rad
A) <; <; > B) <; >; = C) <; =; >
D) >; >; = E) =; >; <
8. Calcula el valor de x, si (4x + 2)° =
π
18
rad.
A) 3 B) 4 C) 1
D) 2 E) 5
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
1. Reduce E =
2π
3
rad +
π
5
rad + 24°
π
2
rad + 30°
A) 3/2 B) 2/3 C) 1
D) 1/2 E) 1/3
2. Calcula E =
a + b + c
b – a
si abc° < >
13π
12
rad
A) 15/4 B) 8/15 C) 15/8
D) 7/15 E) 8/17
12 Unidad 1

Actividades En la imagen se observa el triángulo rectángulo ACB que por definición
sabemos que:
x + 87° = 90°
x = 3°
x = 3° ×
π
180°
rad
x =
π
60
rad
Convirtiendo x al sistema radial:
Esto quiere decir que el ángulo de inclinación del giroscopio del avión
medido en radianes es de
π
60
rad.
Para el desarrollo de los problemas tener en cuenta las siguientes propiedades.
Para triángulos
x = α + β x + y + z = 360°β + α + θ = 180° α + φ = 90°
α θ
β φ
α α
β
x
y
x
z
Para cuadriláteros
SISTEMA SEXAGESIMAL Y RADIAL
EN FIGURAS GEOMÉTRICAS
Una persona observa un avión volando
horizontalmente, él lo observa con un
ángulo de elevación de 87°, en ese mis-
mo instante el giroscopio del avión indi-
ca una inclinación de x° que le permite al
avión mantener esa posición de vuelo tal
como se observa en la figura. ¿Cuánto
medirá el ángulo de inclinación del gi-
roscopio del avión medido en radianes?
Ten presente
EL RADIÁN
El Radián es un término con
origen etimológico en radius,
un vocablo latino que puede
traducirse como “radio”. La
noción aparece en el Sistema
Internacional de Unidades como
una unidad de ángulo plano.
Un radián, en este sentido, es el
ángulo central que se encuentra
en una circunferencia, con un
arco que tiene la misma longitud
que el radio.
radio
arco = radio
1 radián
El término radián apareció
por primera vez en una
publicación en Junio de 1873
en unas preguntas de examen
propuestas por James Thomson,
el uso el término ya en el año
1871, mientras que en 1869
Thomas Muir había vacilado el
uso del rad. En 1874 Thomas
Muir adoptó el término de
radián después de decidirlo con
James Thomson.
CAPÍTULO3
β
θ
α
φ
x
w
y
z
α + β + θ + φ = 360° x + y + z + w = 360°
87°
x°
C
A
B
13Unidad 1

Actividades En la Trigonometría se usa más el ángulo en radianes, mientras que en la
Geometría, en grados sexagesimales.
Sin embargo, es importante estar preparados para convertir la medida de
una unidad a la medida de otra.
Ahora trabajaremos con ángulos asociados a figuras geométricas.
Ejemplo
En la figura, los tres ángulos hacen
una vuelta, calcula el valor de x en
radianes.
140°
x
5
6
π
Resolución
Pasemos
140° + 150° + x = 360°
x = 360° – 290°
x = 70°
x = 70°
π
180°
rad
x =
7π
18
rad
Problema 1
Calcula el valor de x en radianes.
2x
x 3x
Resolución
Sabemos: x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x =
180°
6
= 30°
Luego: x = 30° ×
p
180°
rad
6
1
x =
p
6
rad
Rpta.:
p
6
rad
Problema 2
Determina el valor de x en grados sexagesimales.
3π
4
rad
x
4x
Resolución
Sabemos: x + 4x =
3π
4
rad
A sexagesimal: 5 x =
3π
4
rad ×
180°
π rad
45°
5x = 135°
∴ x = 27°
Rpta.: 27°
Problema 3
Determina el valor de φ en radianes.
2φ
3φ 5φ
Resolución
Sabemos: 2φ + 3φ + 5φ = 360°
10 φ = 360°
φ = 36°
A radianes: φ = 36° ×
π
180°
rad
5
1
φ =
p
5
rad
Rpta.:
p
5
rad
Problema 4
Determina el valor de x en radianes.
5x
3x 2x
200°
Resolución
Por propiedad de los cuadriláteros
5x + 3x + 2x + 200° = 360°
10 x = 360° – 200° = 160°
x = 16°
A radianes:
x = 16° ×
π
180°
rad x =
4π
45
rad
4
8
90
45
Rpta.:
4π
45
rad
GRADO SEXAGESIMAl
El grado sexagesimal tiene su
origen en la cultura Sumeria,
donde el año constaba de 360
días, y el 60 como base de
numeración. El 60 es el mínimo
común múltiplo de los seis
primeros números naturales,
tiene además una variedad de
divisores y facilita operaciones.
Fue Ptolomeo quien usó la
palabra mêra, que finalmente en
latín se tradujo como gradus, el
grado en la actualidad.
Ten presente
14 Unidad 1

Actividades Por mi cuenta
1. Calcula el valor de x en radianes.
A)
18
rad
π
B)
6
3
rad
π
C)
6
5
rad
π
x
40°
D)
4
5
rad
π
E)
18
5
rad
π
2. Determina el valor de β en grados sexagesimales.
A) 60°
β
π
3
rad
B) 45°
C) 30°
D) 35°
E) 65°
3. Calcula el valor de x en radianes.
π
4
rad
π
6
rad
x
A)
4
3
rad
π
B)
12
rad
π
C)
12
7
rad
π
D)
3
5
rad
π
E)
5
4
rad
π
En pareja
4. Calcula el valor de x en grados sexagesimales.
A) 30°
5π
9
rad
– 2x
B) 10°
C) 50°
D) 40°
E) 20°
5. Determina el valor de β en radianes.
5β
–3β
A)
8
rad
π
B)
6
rad
π
C)
5
rad
π
D)
4
rad
π
E)
3
rad
π
6. Calcula el valor de x en sexagesimales.
A) 2°
3π
4
rad
5x
4x

B) 6°
C) 5°
D) 7°
E) 4°
En equipo
7. Calcula el valor de x en radianes.
A)
3
rad
π
B)
12
5
rad
π
C)
5
rad
π
D)
12
rad
π
E)
60
rad
π
75°
– 5x
8. Calcula el valor de x en radianes.
x
3x
80°
A)
8
rad
π
B)
3
rad
π
C)
12
rad
π
D)
9
2
rad
π
E)
9
rad
π
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
1. Calcula el valor de x en sexagesimales.
A) 20°
B) 40°
C) 50°
D) 10°
E) 30°
2. Calcula el valor de x en radianes.
A)
9
rad
π

B)
9
2
rad
π
C)
9
7
rad
π
D)
9
5
rad
π
E)
9
4
rad
π
5x
7x
2π
3
rad
x
5x
x
2x
15Unidad 1

Hagamos lo siguiente:
Tenemos una circunferencia de
3,35 cm de radio.
Hagamos un corte en el punto A
y estiremos toda esta cuerda del
contorno de la circunferencia y
midámosla.
A A
21 cm
Esta longitud de 21 cm representa la
longitud de la circunferencia.
Pero sabemos que esta mide de la
siguiente manera:
L = 2πR
Reemplazando valores para:
π =
2π
7
R = 3,35
Se tiene
L = 2 ×
22
7
× 3,35
L = 21 cm
Resulta lo obtenido anteriormente
donde:
L = 2π × R

1 vuelta
↓
ángulo central
Por lo tanto, la longitud que recorre
el punto A es de 21 cm.
B
1 vuelta <> 2π
120°
A
R = 3,35 cm
Hagamos otro corte en el punto "B"
y lo medimos.
A
7 cm
B
Que es la longitud del arco AB
para un ángulo central de:
120° < >
2π
3
rad
Aplicando la propiedad para
cierto ángulo, se tiene:
L
AB
= (\central) × Radio
L
AB
= Longitud de arco AB
L
AB = 120° × Radio
L
AB =
2π
3
× Radio
L
AB =
2
3
×
22
7
× 3,35
Obtenemos: L
AB = 7 cm
CAPÍTULO4
SECTOR CIRCULAR
PARTE I
ERATÓSTENES
Eratóstenes nació en Cyrene
(Libia) en el año 276 a.C.
Fue astrónomo, historiador,
geógrafo, filósofo, poeta, crítico
teatral y matemático.
Eratóstenes es particularmente
recordado por haber establecido
por primera vez con bastante
precisión la longitud de la
circunferencia de la Tierra
(252 000 estadios, equivalentes
a 40 000 kilómetros) con un
error de sólo 90 kilómetros
respecto a las estimaciones
actuales.
Eratóstenes sabía que, cuando
en la ciudad egipcia de Siena
(actual Asuán), el Sol llegaba
su punto más alto (mediodía),
se encontraba en la vertical del
observador. Y observó que en
Alejandría, ciudad situada a
mayor latitud, el Sol formaba
un ángulo de aproximadamente
70º con la vertical cuando
se encontraba en su punto
más alto. Valiéndose de la
distancia existente entre Siena
y Alejandría, estimó que la
circunferencia de la Tierra
superaba en 70 veces tal
longitud y dedujo fácilmente su
medida mediante una ecuación.
Dato histórico
A
120°
3,35 cm
3,35 cm
B Yuri elabora un giroscopio ca-
sero con un CD de 3,35 cm
de radio tal como se muestra
en la figura. Se ubica con un
marcador el punto A. El giros-
copio gira en sentido antiho-
rario hasta que el punto haya
dado una vuelta completa. La
pregunta que hace Yuri es qué
longitud recorrió dicho punto
al dar la vuelta completa.
16 Unidad 1

Problema 1
Calcula el valor de L
18 cm
18 cm
B
L
A
30°O
Resolución
L = θ × R
θ = 30° ×
π
180°
rad Luego:
L =
π
6
× 18
3
L = 3π cm
θ =
π
6
rad
R = 18 cm
Rpta.: 3π cm
Problema 2
Reduce E =
L
1
– L
2
L
1
+ L
2
si:
O
R
R
A
B
2θ
θ
L
2
L
1
C
R
Resolución
L = θ × R
Para L
1
: L
1
= 2θ × R
Para L
2
: L
2
= θ × R
Reemplazando:
E =
2θR – θR
2θR + θR
=
θR
3θR
=
1
3

Rpta.:
1 3
LONGITUD DE LA
CIRCUNFERENCIA
L
o
= 2πR
2π
R
1. El círculo se puede considerar
como un sector circular de
radio R y ángulo central 2p
rad. Entonces, el perímetro
del círculo o longitud de la
circunferencia es:
L
o
= 2πR
2. La curvatura de un arco de
circunferencia se mide en
unidades angulares y su
longitud en unidades de
longitud.
Ten presente
Lo cual nos lleva a la siguiente conclusión. La longitud de un arco de
circunferencia para cualquier ángulo central θ y de radio R viene a ser:
L = θ × R
La circunferencia
Elementos:
O: Centro de la circunferencia.
BC: Diámetro de la circunferencia = 2R
R: Radio de la circunferencia
AB: Arco de la circunferencia
C A
P
N
R O
M
B
θ
Q
Cálculo de la longitud de arco
Siendo:
R: Radio
L: Longitud del arco (mm, cm, m, ...)
L = θ × R
θ: La medida del ángulo debe estar
expresado en radianes.
θO
R
R
A
L
B
Cuando el ángulo central de un sector circular está en
radianes, la longitud del arco que subtiene es igual al
producto del ángulo por el radio.
17Unidad 1

Actividades
Problema 3
Determina el perímetro del sector circular AOB.
B
O
A
16 cm
16 cm
π
4
rad
Resolución
Se sabe: L
AB
= θ × R
Donde:
θ =
π
4
rad
R = 16 cm
L
AB
=
π
4
× 16
L
AB
= 4π cm
Perímetro del sector circular
AOB = 2P
AOB
Luego:
2P
AOB
= 16 + 16 + L
AB
2P
AOB
= 32 + 4π
∴ 2P
AOB
= 4(8 + π) cm
Rpta.: 4(8 + π) cm
Problema 4
Calcula E =
L
2
+ L
1
L
2
– L
1
.
2R
2θθ
R
RR
L
2
L
1
Resolución
L = θ × R
L
2
= (2θ)(2R)
L
2
= 4θR
L
1
= θR
Reemplazando:
E =
4θR + θR
4θR – θR
E =
5θR
3θR
E =
5
3

Rpta.
5 3

Problema 5
Calcula el valor de E =
L
1
– L
2
L
1
+ L
2
.
O
1
L
1
L
2
16 cm
45°
60°
3 cm
C
B
A O
2
Resolución
L = θ × R
L
1
=
π
4
× 16
L
1
= 4π cm
Para L
1
: L
1
= θ
1
× R
1
θ
1
= 45 ×
π
180°
rad ⇒ θ
1
=
π
4
rad
4
1
R
1
= 16 cm
L
2
=
π
3
× 3
L
2
= π cm
Para L
2
: L
2
= θ
2
× R
2
θ
1
= 60 ×
π
180°
rad ⇒ θ
2
=
π
3
rad
3
1
R
1
= 3 cm
Reemplazando:
E =
4π – π
4π + π
=
3π
5π
=
3
5
Rpta.
3 5

18 Unidad 1

Actividades Por mi cuenta
1. ¿Cuántos sectores circulares simples observas en la
figura?
A) 10
B) 6
C) 9
D) 11
E) 8
2. Calcula el valor de L.
A) 3π cm
B
18 cm
18 cm
L
A
O
π
9
rad
B) 5π cm
C) 2π cm
D) 4π cm
E) 6π cm
3. Determina R en el sector circular.
A) 4 cm
30°
R
R
B
A
O
π
2
rad
B) 5 cm
C) 1 cm
D) 2 cm
E) 3 cm
En pareja
4. En el sector circular, calcula el valor de θ.
A)
9
rad
π

B
3 cm
3 cm
θ
A
O
π
3
cm
B)
8
rad
π
C) radπ
D)
2
rad
π
E)
6
rad
π
5. Calcula el perímetro del sector circular AOB.
A) (p + 40) cm
40 cm
40 cm
9°
B
A
O
B) (2p + 80) cm
C) (p + 80) cm
D) (2p + 60) cm
E) (p + 50) cm
6. Calcula E =
L
1
+ L
2
L
1
– L
2
.
A) 2
O R A
R
3θ
2θ
R
C
B
L
1
L
2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
En equipo
7. Del gráfico determina E = L
2
– L
1
.
A) 2p cm
C20°
45°
9 cm
A
B
9 cm
8 cm
8 cm
O
1
L
1
L
2
O
2
B) 5p cm
C) p cm
D) 3p cm
E) 4p cm
8. Calcula el valor de E =
L
1
+ L
2
L
3
+ L
1
.
A) 4/7
L
3
D R
5θ 2θ
4θ
O R
R
C
B
L
2
L
1
R
A
B) 7/6
C) 5/7
D) 6/5
E) 6/7
1. Determina E =
L
2
+ L
1
L
1
.
A) 5
B) 7
C) 6
D) 9
E) 8
2. Calcula el valor de
L
2
+ L
1
L
1
.
A) 2
B) 3/2
C) 4
D) 1/2
E) 5
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
O
R
R
R
A
B
C
L
2
L
1
D
3θ
θ
L
2
30°
70°
6 cm
18 cm
L
1
19Unidad 1

En el siguiente gráfico, se observan diferentes longitudes de
arco (L
1
; L
2
; L
3
; L
4
; ...), un mismo ángulo central θ y los radios
correspondientes a cada arco (n; 2n; 3n; 4n;...).
n
θ
n
n
n
n
n
L
1
L
2 L
3
L
4
.......
n
n
Partamos de la propiedad
fundamental de la longitud
de arco:
L = θ × R
L: Longitud de arco
θ: Ángulo central
R: Radio
Apliquemos la propiedad para cada longitud de arco, tenemos:
L
1
= θ × (n) → L
1
= θ × n ( 1 )
L
2
= θ × (2n) → L
2
= 2θ × n →
L
2
2
= θ × n ( 2 )
L
3
= θ × (3n) → L
3
= 3θ × n →
L
3
3
= θ × n ( 3 )
L
4
= θ × (4n) → L
4
= 4θ × n →
L
4
4
= θ × n ( 4 )
Observamos que todas las ecuaciones son iguales: (1) = (2) = (3) = (4)
Igualando todos a una constante K:
L
1
1
=
L
2
2 =
L
3
3 =
L
4
4 = ... = K
Se obtiene lo siguiente: L
1
= K; L
2
= 2K; L
3
= 3K; L
4
= 4K; ...
Donde cada longitud de arco es proporcional al número de segmentos que
determina sobre el radio (cuando la distancia entre cada longitud de arco es
la misma).
CAPÍTULO5
SECTOR CIRCULAR
PARTE II
q
A
A
B
B
C
C
D
D
Aníbal crea un giroscopio casero
con el CD que se muestra en la
figura. Luego ubica los puntos A,
B, C, y D separados una misma
distancia con un marcador, hace
girar el giroscopio en sentido anti-
horario un ángulo θ. Observa que
se forman longitudes de arco y se
pregunta si puede determinar una
relación entre dichas longitudes y
las distancias que los separan.
GEORGE BOOLE
A George Boole se le considera
uno de los padres de las ciencias
computacionales, en gran
medida por su invención del
álgebra booleana. Este profesor
de la Queen-College de Cork
(Irlanda) creó el primer sistema
de lógica matemática conocida
como lógica algebraica, presente
en programas informaticos
actuales y base de sofisticados
lenguajes de programación
incluido el mecanismo de
búsqueda de información
del propio Google. Según un
artículo de Tecnología publicado
en la BBC, «inventó hace más
de 150 años cómo buscar en
Google». Y es que todos los
motores de búsqueda se basan
en unos principios de lógica
ideados por este matemático
adelantado a su tiempo.
https://www.lavozdegalicia.es/noticia/
Dato histórico
20 Unidad 1

¿Pero qué sucede si estos segmentos son diferentes, como en el gráfico?

L
1
= ak ; L
2
= bk ; L
3
= ck ; ...
Cada longitud de arco es
proporcional a la longitud del
segmento que este determina sobre
el radio, esto es :
θ L 1
a b
c
L
2 L
3
Propiedades de la longitud de arco
L
1
L
2
L
3
L
4
...
a
b
c
L
1
= K ; L
2
= 2K ; L
3
= 3K ; ...
Se cumple
L
1
= aK ; L
2
= bK ; L
3
= 3K ; ...
Se cumple
I. II.
L
1
L
2
L
3
Problema 1
Calcula el valor de E =
L
2
L
1
.
L
1
L
2
Resolución
Sabemos por propiedad que:
L
1
= K
L
2
= 2K
Reemplazando:
E =
2K
K

E = 2
Rpta.: 2
Problema 2
Calcula el valor de E =
L
2
+ L
1
L
3
– L
1
.
L
3
L
2
L
1
Resolución
Sabemos por propiedad que:
L
1
= 3K
L
2
= 2K
L
3
= K
Reemplazando:
E =
2K + 3K
K – 3K
=
5K
– 2K
= –
5
2
Rpta. –
5 2
LA TRIGONOMETRÍA EN LA
ARQUITECTURA
La trigonometría es un área de
las matemáticas que prueba
la propiedad de los triángulos.
Se utiliza en los sistemas
de satélite y la astronomía,
aviación, ingeniería, topografía,
la geografía y muchos otros
campos. Precisamente, la
trigonometría es una rama de
las matemáticas que se ocupa
de triángulos, círculos, ondas y
oscilaciones.
No se puede separar la
arquitectura de la trigonometría,
que es fundamental para curvar
las superficies de los materiales
de construcción, como el acero
y el vidrio. La ciencia se utiliza
para encontrar las alturas de
los edificios, o crear objetos
tridimensionales a utilizar en los
edificios.
Dato histórico
21Unidad 1

Actividades Problema 3
Calcula el valor de L
2
L
1
+ L
3
= 16 cm
L
1
L
2
L
3
Resolución
Sabemos: L
1
= K ; L
2
= 2K ; L
3
= 3K
Dato: L
1
+ L
3
= 16
Reemplazando:
K + 3K = 16
4K = 16
K = 4
Piden L
2
:
L
2
= 2(4)
L
2
= 8 cm
Rpta.: 8 cm
Problema 4
Calcula el valor de E =
L
3
+ L
1
L
2
– L
1
.
L
1
2
5
8
L
2
L
3
Resolución
Reemplazando:
L
1
= 2K
L
2
= 5K
L
3
= 8K
Reemplazando:
E =
8K – 2K
5K + 2K
=
6K
7K
E =
6 7
Rpta.:
6 7
Problema 5
Determina el valor de E =
L
3
– L
2
L
1
+ L
4
si 3OA = 2AB = 2BC = 3CD = 6 cm.
H
L
1
L
2
L
3
L
4
O
A
B
C
D
G
F
E
Resolución
Dato: 3OA = 6 cm → OA = 2 cm
2AB = 6 cm → AB = 3 cm
2BC = 6 cm → BC = 3 cm
3CD = 6 cm → CD = 2 cm
Luego
L
1
L
2
L
3
L
4
O
2 cm3 cm3 cm2 cm
L
1
= 2K
L
2
= 5K
L
3
= 8K
L
4
= 10K
Reemplazando:
E =
8K – 5K
2K + 10K
=
3K
12K
E =
1
4
Rpta.:
1
4

22 Unidad 1

Actividades Por mi cuenta
1. Calcula el valor de E =
L
1
L
2
+ L
1
.
A) 1/3
B) 2/3
L
2
L
1
C) 3
D) 2
E) 3/2
2. Calcula el valor de M =
L
2
– L
1
L
2
+ L
1
.
A) 3
B) 2/3
L
1
L
2
C) 1/3
D) 1/6
E) 4/3
3. Determina el valor de M =
L
2
– L
1
L
3
– L
1
.
A) 2
L
1
L
2
L
3
B) 1/2
C) 1
D) 3/2
E) 5/2
En pareja
4. Calcula el valor de L
3,
si L
1
= 9 cm.
A) 3 cm
L
3
L
2
L
1
B) 1 cm
C) 2 cm
D) 5 cm
E) 4 cm
5. Determina el valor de E =
L
3
+ L
1
L
2
.
A) 1
B) 4
L
1
L
2
L
3
C) 5
D) 2
E) 3
6. Calcula L
2
si L
3
– L
1
= 12 cm.
A) 10 cm
B) 5 cm
L
1
L
2
L
3
C) 12 cm
D) 8 cm
E) 9 cm
En equipo
7. Del gráfico, calcula el valor de E =
L
2
L
1
+ L
3
.
A) 12/5
B) 1/2
4
1
2
L
1
L
2
L
3
C) 5/13
D) 13/12
E) 5/11
8. Determina el valor de L
4,
si L
1
+ L
2
+ L
3
= 20 cm.
A) 21 cm
B) 22 cm
1
2
3
5
L
1
L
2
L
3
L
4
C) 24 cm
D) 20 cm
E) 23 cm
1. Calcula el valor de E =
L
1
+ L
2
L
2
+ L
3
, si
2OA = AB = 5BC = 10 cm
A) 2/5
B) 6/5
C) 9/5
D) 7/5
E) 8/5
2. Determina el valor de β en grados sexagesimales,
si L
1
+ L
2
+ L
3
= π cm.
A) 15°
B) 20°
C) 10°
D) 14°
E) 12°
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
O
A
B
C
L
3
L
2
L
1
β L
3
1
3
3
L
2
L
1
23Unidad 1

SECTOR CIRCULAR
PARTE III
Para calcular el área de un círculo solo hay que conocer la longitud
de su radio, esto es:
2π rad
R
Del gráfico:
Área: S = π R
2
Ahora hacemos S =
2
2
× π × R
2
Tenemos S =
1 2
(2π)R
2
Ángulo: 1 vuelta
Si tenemos un semicírculo:
Del gráfico:
Área: S =
πR
2
2
Ahora hacemos S =
1 2
× π × R
2
Ángulo: Media vuelta
R R
π rad
Si relacionamos a cualquier figura circular que tenga un ángulo central θ y
radio R, podemos afirmar que su área esta dado por la siguiente relación:
S =
1 2
× θ × R
2
Donde:
θ: Ángulo central (en radianes)
R: Radio de la circunferencia
S: Área del sector circular
R
S
A
B
R
Oθ πrad
En el caso de Miguel el área del sector circular se calcula así:
θ = 30°
πrad
180°
=
π
6
rad
R = 6 cm
Reemplazando: S =
1
2

π
6
6
2
∴ S = 3p cm
2
RESPECTO A LAS ÁREAS
Los egipcios y los babilonios
demostraron destreza en el
cálculo de áreas de polígonos
y volúmenes (a ese cálculo
lo llamaban curvatura de
montones). Para calcular las
áreas de polígonos regulares,
a partir de las longitudes de
sus lados, utilizaban fórmulas
obtenidas experimentalmente.
Por ejemplo:
Los babilonios calculaban
el área de un pentágono
regular multiplicando el
cuadrado de su lado por
1 + 43/60, que es una buena
aproximación.
COMPARACIÓN DE ÁREAS
S
1
R
Área:
S
1
= πR
2
Área:
S
2
= π(2R)
2
S
2
= 4πR
2
S
2
2R
Cuando el radio del círculo se
duplica su área se cuadruplica.
El área del círculo es proporcional
al cuadrado del radio.
CAPÍTULO6
30°6 cm
Miguel compró una
torta para el cumplea-
ños de su prima. Debe
cortar cada pedazo de
torta de acuerdo con
las medidas del sector
circular.
Dato histórico
Observación
24 Unidad 1

Matemática
en la vida
LA PALABRA CÍRCULO
La palabra círculo proviene
del latín circulus, que es el
diminutivo de circus y significa
redondez.
Problema 1
Determina el área de la región
sombreada.
O B
A
5 cm
5 cm
Resolución
Por ser un cuarto de circunferencia
su área es:
S =
1
2



π
2
 
R
2
=
1
4
pR
2
Donde R = 5
Reemplazando: S =
1 4
p(5)
2
=
25π
4

cm
2
Rpta.:
25π
4
cm
2
Problema 2
Calcula el área de la región
sombreada.
4 cm
1 cm
Resolución
Por ser semicircunferencias, sus áreas
se calculan como:
S =
πR
2
2
• Para R = 4 cm: S
1
=
π(4)
2
2
→ S
1
= 8π cm
2
• Para R = 1 cm: S
2
=
π(1)
2
2
→ S
2
=
π
2
cm
2
Luego
S
1
+ S
2
= 8π +
π
2
=
17π
2
cm
2
∴ Área sombreada = 8,5π cm
2
Rpta.: 8,5π cm
2
Problema 3
Calcula el área de la región
sombreada.
A
O
D
C
B
2cm
2cm
2cm
Resolución
Tenemos los siguientes gráficos:
2 cm
S
1
2 cm
S
1
=
π(2)
2
4
=
4π
4
cm
2
S
1
= π cm
2
S
2
4 cm
4 cm
S
2
=
π(4)
2
4
=
16π
4
4
cm
2
S
2
= 4π cm
2
Rpta.: 5π cm
2
Problema 4
Calcula el área de la región
sombreada.
2 cm
6 cm
(centro)
Resolución
Del gráfico se observa:
S
sombreada
= π(6)
2
– π(2)
2
S
sombreada
= 36π – 4π
∴S
sombreada
= 32πu
2
Rpta.: 32π u
2
El área de un sector circular
se puede calcular como una
fracción del área del círculo.

180°
180°
360°
=
1
2
Área:
πR
2
2

90°
90°
360°
=
1 4
Área:
πR
2
4
Área:
πR
2
3

120°
120° 360°
=
1 3

60°
60°
360°
=
1 6
Área:
πR
2
6
Ten presente
25Unidad 1

ActividadesActividades Por mi cuenta
1. Calcula el área de la región sombreada.
A) 9p cm
2
B) 4p cm
2

3 cm
C) 5p cm
2
D) 10p cm
2
E) 8p cm
2
2. Determina el área de la región sombreada.
A) 15p cm
2
B) 12p cm
2

6 cmC) 16p cm
2
D) 18p cm
2
E) 17p cm
2
3. Calcula el área de la región sombreada.
A) 3p cm
2
B) 4p cm
2

4 cm
4 cm
C) p cm
2
D) 2p cm
2
E) 5p cm
2
En pareja
4. Calcula el valor de la región sombreada.
A) 24p cm
2
B) 25p cm
2
7 cm
3 cm
C) 29p cm
2
D) 27p cm
2
E) 28p cm
2
5. Determina el valor de la región sombreada.
A) 10p cm
2
B) 12p cm
2

2 cm
4 cm
C) 14p cm
2
D) 11p cm
2
E) 13p cm
2
6. Calcula el área de la región sombreada.
A) 1,5p cm
2
B) 2p cm
2

10 cm
10 cm
π
20
rad
C) 3,5p cm
2
D) 2,5p cm
2
E) 3p cm
2
En equipo
7. Calcula el área de la región sombreada.
A) 15p cm
2
B) 13p cm
2

150°
6 cm
6 cm
C) 12p cm
2
D) 11p cm
2
E) 14p cm
2
8. Calcula el área de la región sombreada.
A) 5p cm
2
B) 6p cm
2

8 cm
8 cm
45°
C) 2p cm
2
D) 9p cm
2
E) 8p cm
2
1. Calcula el valor de E = S
2
+ S
1
(S: área)
A) 18,5p cm
2

B) 12,5p cm
2
C) 16,5p cm
2
D) 14,5p cm
2
E) 13,5p cm
2
2. Calcula el valor de E =
S
1
+ S
2
S
1
A) 12,5
B) 11,5
C) 13,5
D) 10,5
E) 14,5
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
3θ
6θ
S
1
S
2
O
A
B
C
D
3 cm2 cm
6 cm
4 cm
45°60°
6 cm
S
1
S
2
26 Unidad 1

ActividadesActividades LA DISTANCIA QUE
RECORRE NADIA
En una rotonda tal como se muestra en la figura,
Pedro se ubica en un Punto P fuera de ella y Nadia
en un punto N en el borde de la rotonda. Pedro
se dirige desde su posición hacia la rotonda y se
detiene en el punto Q. Nadia va a su encuentro
caminando por el borde la rotonda. ¿Qué distancia
recorre Nadia hasta encontrarse con Pedro, si se
sabe que la distancia que caminó es igual al radio
de la rotonda?
En matemática, la
longitud de arco, también
llamada rectificación de
una curva, es la medida
de la distancia o camino
recorrido a lo largo de
una curva o dimensión
lineal.
Paso a paso
Interrogación
1. ¿De qué trata la situación?
2. ¿De qué datos dispones?
3. ¿Qué datos conoces?
Orientación dirigida
4. ¿Qué tienes que averiguar?
Realizar la formulación matemática
5. Realiza una gráfica que representa la situación
Explicación
6. ¿Qué conceptos matemáticos están presentes en el problema?
7. ¿Cuál es la respuesta del problema?
Orientación libre
8. Si el radio fuera el doble, ¿qué distancia recorrería Nadia?
Integración
9. Completa los siguientes enunciados:
La distancia del centro de la circunferencia a un punto de ella, se denomina ...
La longitud de arco es igual al ángulo central exprersado en radianes,
multiplicado por ...
P
Centro
N
Q
5 m
O
27Unidad 1

En esta unidad lograré
Modela objetos con
formas geométricas y sus
transformaciones
• Modelar situaciones cotidianas empleando las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un
triángulo rectángulo.
Comunica su comprensión
sobre las formas y relaciones
geométricas
• Representar en forma gráfica las razones trigonométricas de un ángulo agudo.
• Explicar como se forman las razones trigonométricas y las representa en forma simbólica.
Usa estrategias y
procedimientos para
orientarse en el espacio
• Resolver problemas que involucran el uso del teorema de pitágoras.
• Emplear diversas estrategias para resolver problemas empleando las razones trigonométricas.
Argumenta afirmaciones
sobre relaciones geométricas
• Plantear situaciones problemáticas mediante la utilización de las razones trigonométricas.
• Plantear conjeturas empleando el teorema de Pitágoras.
IMPORTANCIA DE LA
TRIGONOMETRÍA EN LA
VIDA COTIDIANA
La trigonometría nos sirve para calcular
distancias sin la necesidad de recorrer y
se establecen por medios de triángulos,
circunferencia y otros. La trigonometría
en la vida real es muy utilizada por los
futuros ingenieros, ya que podemos medir
alturas o distancias, realizar medición de
ángulo, entre otras cosas. Sirve para medir
la distancia que hay desde cierto punto a
otro empleando ciertos elementos como
un triángulo rectángulo, escaleno, isósceles
y de cualquier tipo. Ayuda también para
resolver situaciones problemáticas de
la vida cotidiana y de otros campos del
conocimiento científico.
http://sites.google.com/site/eet285trigonometria/-angulos-
de-rotacion/-para-que-las-usamos
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO Unidad2
28 Unidad 2

Teorema de Pitágoras
Consideremos el triángulo rectángulo ABC. Tomando la hipotenusa c
como lado construyamos el cuadrado ABED (véase gráfico). Trazamos
entonces DF⊥AC, EG⊥DF y CH⊥GE. Así hemos generado cuatro triángulos
rectángulos congruentes. Por lo tanto, los lados correspondientes son iguales.
Ahora bien, el área del cuadrado ABED es la suma de las áreas del cuadrado
CFGH y de los cuatro triángulos, es decir:
A
G
H
F
C
B
E
c
cc
b
b – a
b – a
a
D
c
2
= (b – a)
2
+ 4

1
2
ab


c
2
= b
2
– 2ab +
2
+ 2ab
∴ c
2
= a
2
+ b
2
(Teorema de Pitágoras)
Se define como:
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos
c
2
= a
2
+ b
2
b
a
c a y b: catetos
c: hipotenusa
La simplificación del teorema de Pitágoras
Consideramos que la simplificación restringida del famoso Teorema de
Pitágora se hace por primera vez desde hace 2600 años; cuando se dice que:
“En todo triángulo rectángulo perfecto, el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los 2 catetos”. El proceso de cálculo
puede ser a veces engorroso, pero la simplificación es simple y se enuncia
así: “Tratándose de triángulo rectángulo perfecto expresados en números
enteros y positivos, la hipotenusa es igual al cateto mayor más 1 si es par; y
más 2 si este es impar”.
PITÁGORAS
Samos (569 a.n.e – 475 a.n.e)
Se cree que tuvo maestros
caldeos y sirios y que adquirió
conocimientos en Egipto. Lo que
es seguro es que fue discípulo
de Tales y Anaximandro. De su
vida se conoce poco, aunque se
pueda valorar sus contribuciones
al reseñar las que hizo la escuela
que él fundó. Era una escuela
básicamente filosófica, cuyo
fundamento era que "en su
nivel más profundo, la realidad
es de naturaleza matemática",
o en palabras de Aristóteles:
"los pitagóricos, habiéndose
formado dentro del estudio
de las matemáticas, pensaban
que las cosas eran números,
y que todo el cosmos es una
escala y un número". Estos
fundamentos provendrían de
las observaciones de Pitágoras
en música, matemática y
astronomía.
Ciertamente, lo recordamos más
por su famoso teorema, pero
no porque él lo formulara (los
babilonios ya lo conocían 1000
años atrás), sino porque, tal vez,
él lo demostrara por primera
vez.
Dato histórico
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
PARTE I
CAPÍTULO7
En el gráfico que se muestra se observa que se
forma un triángulo rectángulo donde el faro
es uno de los catetos, además se sabe que los
lados del triángulo guardan una relación. ¿Cuál
es dicha relación?
c
a
b
29Unidad 2

Actividades Problema 1
De los gráficos, indica cuales son triángulos
rectángulos.
(I) (II) (III)
1
8
2
3
15
12
9
2
3
Resolución
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
Para (II):
1
2
+
2
2
= 3
2
1 + 2 = 3
3 = 3
(V)
Para (I):
12
2
+ 9
2
= 15
2
144 + 81 = 225
225 = 225
(V)
Para (III):
3
2
+ 2
2
= 8
2
9 + 4 = 64
13 = 64
(F)
Luego: (I), (II) son triángulos rectángulos.
Problema 2
Calcula el valor de x.
21 12
13
x
Resolución
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
a
2
+ 12
2
= 13
2
a
2
+ 144 = 169
a
2
= 25
a = 5
21 12
13
x
a
a
Luego
x
2
=(21)
2
+ (2a)
2
x
2
= 21 + 10
2
x
2
= 21 + 100
x
2
= 121
x = 11
Rpta.: 11
Problema 3
De los gráficos, calcula el valor de E =
x + y
x – y
.
B
P
Q
R
2
y
12
x
13
C
A
5
Resolución
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
Para ABC:
12
2
+ x
2
= 13
2
144 + x
2
= 169
x
2
= 25
x = 5
Para
PQR:
2
2
+
5
2
= y
2
4+ 5 = y
2
y
2
= 9
y = 3
Reemplazando:
E =
5 + 3
5 – 3
E =
8
2
E = 4
Rpta.: 4
Problema 4
Calcula el valor de x.
2
1
x
2
Resolución
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
• x
2
= 2
2
+ a
2

x
2
= 4 + a
2
.... (I)
• a
2
= 1
2
+ 2
2

a
2
= 5 .... (II)
2
1
x
2
a
Reemplazando II e I
x
2
= 4 + 5 = 9
x = 3
Rpta.: 3
Por lo tanto, de todos los triángulos pitagóricos sólo 5 son triángulos
rectángulos perfectos: 3, 4, 5 ; 5, 12, 13 ; 7, 24, 25 ; 8, 15, 17 y 12, 35, 37 y sus
múltiplos. De lo expuesto, el cálculo de la hipotenusa en estos triángulos
rectángulos perfectos se simplifica notablemente con tan sólo añadir 1 al
cateto mayor si éste es par, o 2 si este es impar. Esta simplificación puede
tener gran importancia en Geodesia, Astronomía y Computación.
30 Unidad 2

Actividades En pareja
4. Calcula el valor de E =
a + b
b + c
.
A) 1
6
8
4
2
a
b
c
2
3
5

B) 2
C) 4
D) 3
E) 5
5. Determina el valor de x.
A) 1 m
x
13m
3 m

B) 5 m
C) 3 m
D) 2 m
E) 4 m
6. Calcula el valor de x.
A) 26 m
5 m
10 m26 m
x
5
2
m

B) 29 m
C) 25 m
D) 27 m
E) 28 m
En equipo
7. Determina el valor de x.
A) 14 m
10

m
6 m6
2 m
x

B) 13 m
C) 12 m
D) 11 m
E) 10 m
8. Calcula el valor de x.
A) 22
20
12
8
x

B) 52
C) 62
D) 82
E) 72
1. Determina el valor de x.
A) 3 m
x
7
2 m

B) 5 m
C) 2 m
D) 6 m
E) 4 m
2. Calcula el valor de y.
A) 2 11
y
3
1
2
5

B) 4 11
C) 11
D) 3 11
E) 5 11
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
Por mi cuenta
1. En las figuras mostradas, escribe correctamente el
Teorema de Pitágoras.
A) p
2
+ q
2
= r
2

r
p
z
y
x
a
c
b
q

B) c
2
+ b
2
= a
2

C) q
2
+ x
2
= p
2

D) x
2
+ y
2
= z
2

E) a
2
+ b
2
= c
2
2. Relaciona correctamente.
m
n
q
p
tl
(I)
(II)
a. x
2
+ z
2
= y
2
b. t
2
+ p
2
= l
2
y
zx
(III)
c. m
2
+ q
2
= n
2
A) Ia; IIb; IIIc B) Ic; IIb; IIIa C) Ib; IIa; IIIc
D) Ib; IIc; IIIa E) Ia; IIc; IIIb
3. Indica cuáles de las figuras son triángulos rectán-
gulos.
(II)
2
4
20
(I)
3
2
13
(III)
1
5
A) I y III B) II C) III y II
D) I y II E) III
6
31Unidad 2

TRIÁNGULO RECTÁNGULO
PARTE II
α
Distancia de Yuri
al árbol
altura
del
árbol
Ayudemos a Yuri dibujando un diagrama de la
situación planteada.
Observamos que en relación del ángulo α, la distancia
de Yuri al árbol representa el cateto adyacente (CA y
la altura del árbol representa el cateto opuesto (CO)
Ahora si Yuri recuerda cual es el cateto opuesto (CO
y el cateto adyacente (CA)
Elementos del triángulo rectángulo
El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, dos agudos, un lado mayor llamado hipotenusa y dos menores llamados catetos.
Notación:
ABC
Se lee: Triángulo
rectángulo
ABC
Ángulos
agudos
Ángulo recto
A
C
B
Hipotenusa
Cateto
Cateto
Posición relativa de los catetos
Cateto adyacente a β
Hipotenusa
Cateto adyacente a α
Hipotenusa
α
Cateto opuesto
El cateto opuesto de un ángulo es el
que no es lado del mismo.
Cateto adyacente
Un ángulo agudo está formado por la hipotenusa y un cateto adyacente.
Cateto opuesto a θ
θ
Cateto
opuesto a φ
φ
CAPÍTULO8
Yuri se encuentra parado frente a un
árbol de pino tal como se muestra en
la figura. Se observa que entre ellos
se forma un triángulo rectángulo.
Yuri recuerda que los elementos del
triángulo rectángulo son los catetos, la
hipotenusa y los ángulos agudos.
Lo que Yuri no recuerda es cuál es el
cateto opuesto y adyacente tomando
como referencia el ángulo α.
Ten presente
LOS EGIPCIOS
Los egipcios ya conocían la
relación entre la hipotenusa
y los catetos en un triángulo
rectángulo, relación que más
tarde recogió Pitágoras y
que hoy conocemos como el
teorema que lleva su nombre
Dato histórico
NOMENCLATURA DE LOS
ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
1. Los vértices se nombran con
las primeras letras mayúsculas
del alfabeto.
2. Las longitudes de los lados
se designan con las mismas
letras de los vértices opuestos
pero en minúsculas.
A B
C
c
ab
3. Para nombrar a los catetos se
usa la siguiente notación:
CA(b): Cateto adyacente al
ángulo (b)
CO(b): Cateto opuesto al
ángulo (b)
a
32 Unidad 2

Problema 1
Indica los catetos opuestos a los ángulos indicados en
los triángulos rectángulos.
A
C
S T
M
N
P
2
1
β
R
3
2
φ
4
3 5
θ
B
5
3
Resolución
En el BAC: Cateto opuesto a θ es 4.
En el MNP: Cateto opuesto a β es 1.
En el RST: Cateto opuesto a φ es 5.
Problema 2
Calcula la suma de los catetos adyacentes de los
ángulos indicados.
S
T
Q
R
P
13
12
β
R
4
φ
1
5
θ
D E
F
5
6
25
2
Resolución
En el TSR: Cateto adyacente a β es 5.
En el PQR: Cateto adyacente a φ es 1.
En el DEF: Cateto adyacente a θ es 2.
→ Suma = 5 + 1 + 2 = 8
Problema 3
Calcula el valor de M =
10 CO(β) – CA(θ)
CO(θ) – CA(β)
.
6
A
B
C
E
D
8
5
5
β θ
1
26
Resolución
Del gráfico
observamos:
CO(β) = 1
CA(β) = 5
CO(θ) = 6
CA(θ) = 8
Reemplazando:
E =
10(1) – 8
6 – 5
E = 2
Rpta.: 2
Problema 4
Determina el valor de:
P = CA(θ) + CA(α) + CO
2
(β)
1 1
4 23
3
A
B
C
E
F
G
D
θ
β
α
2
110
Resolución
Del gráfico
observamos:
CA(θ) = 3
CA(α) = 1:
CO(β) = 2
3
Reemplazando:
P = 3 + 1 + (2 3)
2

P = 4 + 12 = 16
P = 4
Rpta.: 4
33Unidad 2

Actividades Por mi cuenta
1. Calcula la suma de los catetos opuestos a los án-
gulos indicados.
A) 3
7
3
2
β 5
2
1
6
θ
2
10
B) 5
C) 6
D) 7
E) 4
2. Calcula la suma de los catetos adyacentes de los
ángulos indicados.
A) 12
4
5
3
β
α
θ
3
6
8 1
3
3
65B) 13
C) 18
D) 15
E) 10
3. Calcula el producto de los catetos opuestos a los
ángulos indicados.
A) 22
β
α
θ
5
1
3
4 26
7
5
3
2
B) 102
C) 152
D) 142
E) 112
En pareja
4. Con respecto al ángulo β, determina el valor de
E = 4CO(β) + 2CA(β).
A) 55
β
5
12
13
B) 56
C) 54
D) 57
E) 58
5. En el triángulo rectángulo, calcula el valor de
E =
3CO(φ) + 1
CA(φ) + 2
.
A) 12/13
B) 11/13
24
25
7
φ

C) 9/13
D) 7/14
E) 4/13
6. Calcula el valor de E =
CA(α) + 5
CO(β) + 1
.
A) 1
B) 3
12
25
15
β
α
9
20
C) 4
D) 2
E) 5
En equipo
7. Calcula el valor de E =
CA(β) + 3CA(θ)
2CO(θ)
.
A) 2,4
B) 2,1
β
θ
8
4
5
C) 2,2
D) 2,5
E) 2,3
8. Determina el valor de E
CO 1
2CAC O
2
32
β
βφ
=
+
+^
^
^h
h
h
A) 2,5
β
φ
3
5
2
4
13
B) 2,6
C) 2,7
D) 2,8
E) 2,9
1. Determina el valor de E =
CO(φ) + 3CA(β)
CO(β) + CA(φ)
.
A) 3,5
65
β
φ
15
8
4
1
9
B) 3,6
C) 3,7
D) 3,4
E) 3,8
2. Calcula el valor de E =
2CO(φ) + CA(β)
2CO(α) + 1
.
A) 2,1
B) 2
C) 2,4
D) 2,3
E) 2,2 2
3
5
2
5
1
α
β
φ
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
34 Unidad 2

Actividades TRIÁNGULO RECTÁNGULO
PARTE III
Analicemos la figura con respecto al ángulo 22,6°.
12 12AO B C D E12 12 12
5
22,6°
10
15
20
25
13
M
T
P
Q
R
13
13
13
13
22,6°
x
y
y
x
=
5
12
De la figura:
O O T
D48
20
10
24
26
52
24
18
Q
T
B V
x
U
22,6° 22,6° 22,6°
10
24
=
5
12
20 48
=
5
12
x
18
=
5
12
Obsérvese que mientras un ángulo agudo mide 22,6º, la razón entre su cateto
opuesto y el adyacente siempre es 5/12. Esto es muy importante porque
conociendo un cateto se puede calcular el otro.
Razones entre los lados
Dado un triángulo rectángulo, se puede establecer seis razones entre sus
lados. Para cada ángulo agudo, estas razones tienen el mismo valor.
a y c: catetos →
b: hipotenusa
B: \ recto
a y b : \s agudos → a
b
A B
C
c
b
a
a + b = 90°
a
2
+ c
2
= b
2
Razones entre los lados de un triángulo rectángulo
GRADIENTE
Si la gradiente se expresa en
grados, también se puede
expresar en fracción o porcentaje,
dividiendo el cateto opuesto del
ángulo entre su cateto adyacente.
5
31°
3
Gradiente de la tabla:
Gradiente en grados: 31°
Gradiente en fracción:
3
5

Gradiente en porcentaje:
3 5
= 0,6 = 60%
Ten presente
Matemática
en la vida
Las fajas transportadoras deben
tener una gradiente apropiada
para transportar adecuadamente
el material.
CAPÍTULO9
En una fábrica de materiales de
construcción, la máquina que
transporta las piedras forma
un triángulo como se observa
en la figura, ¿habrá alguna
relación entre la altura a la cual
se encuentra el material y la
distancia horizontal recorrida?
35Unidad 2

Actividades A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre especial, pero siempre
asociados a uno de los ángulos del triángulo. Así en el gráfico, para a tenemos:
a: cateto opuesto (CO).c: cateto adyacente (CA).b: hipotenusa (H).
Luego se definen: a
2
+ c
2
= b
2
Problema 1
Calcula el valor de E =
CO(a) + CA(q )
2
.
5
q
a
34 11 7
Resolución
Aplicando el Teorema de Pitágoras:

a
2
+ 5
2
= 34
2
a
2
+ 25 = 34
a
2
= 9
a = 3
b
2
+
7
2
= 11
2
b
2
+ 7 = 11
b
2
= 4
b = 2
5
q
a
34 11 7
a
b
CO(a) = b = 2
CO(q) = a = 3
Reemplazando E =
2 + 3
2
=
5
2

Rpta.:
5
2
Problema 2
Determina la altura del poste si el cociente entre el
cateto opuesto y el cateto adyacente a b es 7/8.
4 m
b
h
Resolución
Del gráfico, observamos
CO(b) = h Luego:
h
4
=
7
8
h =
7 2
h = 3,5 m Rpta.: 3,5
2
CO(b) = 4
Por dato:
CO(b)
CA(b)
=
7
8
Problema 3
Calcula el valor de M =
6a
2
CO(φ)
+
14b
2
CO
2
(b)
+
c
2
CA
2
(q)
a
b
φ
c
3
3
3 7
q
b
2
3
Resolución
De los gráficos
a
2
+ 7
2
= 3
2
a
2
= 9 – 7
a
2
= 2

b
2
+ 3
2
= 2
2
b
2
= 4 – 3
b
2
= 1

c
2
= 3
2
+ 3
2
c
2
= 9 + 9
c
2
= 18Reemplazando:
M =
6(2)
3
+
14(1)
7
2
+
18
3
2
= 4 + 2 +6 = 12
Rpta.: 12
Problema 4
Calcula el valor de x, si la relación entre la hipotenusa
y el cateto opuesto a q es 3,6.
20 m
x
q
Resolución
Del gráfico observamos :
Hipotenusa (H) = x Luego:
H
CO(q)
=
x
20
= 3,6

x
20
=
36 10

x = 72 m
CO(q) = 20
Rpta.: 72 m
36 Unidad 2

Actividades Por mi cuenta
1. Con respecto a q, calcula el valor de
E =
8CO(q)
CA(q)
–
H
2
CA(q)
.
1
q
5
A) 10 B) 9
C) 8 D) 11
E) 12
2. Con respecto a β, calcula el valor de
E =
CA(b)
H
+
H
CO(b)
.
b
5 4
A) 15/37 B) 37/15
C) 36/37 D) 37/12
E) 15/13
3. Calcula el valor de E =
CO
2
(b) + CO(q)
CA(b)
.
A) 7,5
q
b
3
5
135
B) 6,5
C) 8,5
D) 5,5
E) 9,5
En pareja
4. Determina el valor de E =
CO
2
(φ) + CO(a)
CA
2
(φ) + CA(a)
.
A) 5/8
B) 2/5
3
3
a
φ
10
7
C) 8/5
D) 3/8
E) 3/5
5. Determina el valor de E =
b
2
CO(a)
+
16a
2
CO
2
(φ)
+
16c
2
CO(b)
.
5
11
17
2
2
a
b
f
a
bc
2 3
A) 128 B) 127 C) 126 D) 125 E) 88
6. Calcula la altura a la que se encuentra el avión si
la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto
a b es 1,5.
A) 2 km
B) 4 km
b
6 km
hC) 5 km
D) 6 km
E) 3 km
7. La relación entre el cateto opuesto y el cateto ad-
yacente a a es 0,4. Calcula la altura h del árbol..
A) 18 m
B) 14 m
40 m
a
h
C) 16 m
D) 15 m
E) 17 m
En equipo
8. Calcula la longitud L de la escalera, si la relación
entre la hipotenusa y el cateto adyacente de f es
2,2.
A) 18 m
B) 19 m
C) 20 m
D) 21 m
E) 22 m
1. En los gráficos, determina el valor de x.
A) 30
qq
2
3
20
x
B) 31
C) 32
D) 33
E) 34
2. Determina el valor de x.
A) 1,2
2
10
q
x
8
B) 1,4
C) 1,6
D) 1,5
E) 1,7
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
10 m
L
f
37Unidad 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICA
DE ÁNGULOS AGUDOS PARTE I
Razón trigonométrica seno
En efecto, en un triángulo rectángulo se puede establecer 6 razones entre las
longitudes de sus lados. Una de estas razones se llama seno.
sena =
cateto opuesto a a
hipotenusa
En este triángulo, el seno de a, que
se denota como sena, se define así:
cateto adyacente a a
hipotenusa
cateto
opuesto a a
a
Observa el seno de algunos ángulos.
5
a
3
4
f
7
24
25
g
12
13
5
b
3
4
7
q
6
4
25
sena =
3
5
senb =
3 4
senf =
7
25
senq =
25
6
=
5
3
seng =
12 13
Razón trigonométrica coseno
FRANCISCO RUIZ LOZANO
(Bolivia 1607 - Lima 1677)
Cosmógrafo Mayor del
Virreinato del Perú. Fue
profesor de Matemáticas de la
Universidad de México. Volvió
en el séquito del Virrey Alba
de Liste. Fue director de la
Academia Real de Náutica de
Lima, fundada en 1657, enseñó
matemáticas en el Hospital del
Espíritu Santo a pilotos de la
Marina Civil de los mares del
Sur.
Calculó las coordenadas de
puertos, puntas, ensenadas
y cabos más importantes del
litoral del Virreinato del Perú.
Fue nombrado Cosmógrafo
Mayor del Perú en 1662 y desde
ese año condujo la Cátedra de
Prima de Matemáticas de la
Universidad de San Marcos.
Eliza está en una cabaña, observa
que en la parte superior se forma un
triángulo como aparece en la figura.
¿Cómo se denomina la relación entre
la altura del segundo piso y el alero del
techo?
CAPÍTULO10
Dato histórico
En este triángulo, el coseno
de a, que se denota como
cosa, se define así:
cosa =
cateto adyacente a a
hipotenusacateto adyacente a a
hipotenusa
cateto
opuesto
a a
a
a
38 Unidad 2

Problema 1
Calcula el valor de senb
3
2
b
5
Resolución
En el gráfico.
CO(b) = 5
CA(b) = 2
H = 3
Luego:
senb =
CO(b)
H
Reemplazando: senb =
5
3
Rpta.:
5
3
Problema 2
Determina el valor de E = senq · cosq
q
3
13
Resolución
Por el Teorema de Pitágoras.
3
2
+ n
2
= 13
2
q
3
13
n
9 + n
2
= 13
n
2
= 4
n = 2
Luego:
E =
3
13
×
2
13
=
6
13
2
=
6
13
Rpta.:
6
13
Problema 3
Del gráfico calcula el valor de E = 15senq + 2cosf.
A
C
2
D
B
q
f
22
5
Resolución
Aplicando el Teorema de pitágoras:.
A
C
2
D
B
q
f
22
5
b
a
BCD
a
2
+ 2
2
=
22
2
a
2
+ 4 = 8
a
2
= 4
a = 2
ACB
5
2
+ a
2
= b
2
5 + 2
2
= b
2
9 = b
2
b = 3
Reemplazando:
E = 15 ×

2
3


+
2
 2
22
 

5
E = 10 + 1 = 11
Rpta.: 11
Observa el coseno de los mismos ángulos del ejemplo anterior.
cosa =
4
5
cosb =
7
4
cosf =
24 25
cosq =
4 6
=
2 3
cosg =
5
13
5
a
3
4
f
7
24
25
g
12
13
5
b
3
4
7
q
6
4
25
39Unidad 2

Actividades Por mi cuenta
1. Determina el valor de senf.
A) 13
B) 3
2
f
13
C) 13/3
D) 3/13
E) 2/3
2. Calcula el valor de cosb.
A) 3/7
B) 2/3
3
b
7
C) 7/2
D) 7/3
E) 32
3. Calcula el valor de senf.
A) 5/11
f
6
5

B) 5/6
C) 6/11
D) 11/6
E) 6/5
En pareja
4. Determina el valor de E =
cosa
sena
.
A) 4/3
6 10
a

B) 5/3
C) 3/5
D) 5/4
E) 3/4
5. Determina el valor de E = 45 (senb – cosb).
A) –4
B) –5
2
4
b
C) –6
D) –2
E) –3
6. Determina el valor de x, si cosq = 1/2.
A) 150 m
B) 200 m
100 m
x
q
C) 140 m
D) 220 m
E) 210 m
En equipo
7. Del gráfico, calcula el valor de E = sena · cosa.
A) 1/3
B) 3
3
1
a
C) 2/3
D) 3/4
E) 4/3
8. Calcula el valor de M = sen
2
q + cos
2
q.
A) 2
B) 1
q
2
1
C) 3
D) 1/2
E) 1/3
1. Calcula el valor de E = 4sena – 9cosb.
A) 1
B) 2
C) –2
D) –1
E) 3
2. Del gráfico, determina senq.
A) 5/4
B) 5/3
C) 4/3
D) 1/4
E) 3/4
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
4
5
q
7
B
3
C
D
A
a
b
3
2
2
40 Unidad 2

Actividades RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS PARTE II
Razón trigonométrica tangente
tana =
cateto opuesto a a
cateto adyacente a a
En este triángulo, la tangente de
a, que se denota como tana, se
define así:
cateto adyacente a a
hipotenusa
cateto
opuesto a a
a
Aquí la tangente de algunos ángulos.
tana =
3
4
tanb =
6 7
senf =
1 2
tanq =
5 5
= 1 tang =
10
6
=
5 3

5
a
3
4
b
7
6
85q
5
5
5
2
f
1
2
5
10
g
6
234
Razón trigonométrica cotangente
PENDIENTE DE UNA RECTA
2
L
3
a
y
x
La pendiente de una recta es la
tangente del ángulo que la recta
forma con el eje X o cualquier
recta horizontal.
En la figura, la pendiente de la
recta es tana =
3
5
.
Significa que por cada 3 unidades
horizontales sube 2 unidades
verticales.
La pendiente de L se denota por
m
L
, tal que:
m
L
=
2 3
Ten presente
CAPÍTULO11
Cindy maneja un auto que se desplaza sobre una carretera inclinada. ¿Cómo se denomina la razón trigonométrica
para determinar la pendiente de la carretera?
a
En este triángulo, la
cotangente de a, que
se denota como cota, se
define así:
cota =
cateto adyacente a a
cateto opuesto a acateto adyacente a a
hipotenusa
cateto
opuesto
a a
a
41Unidad 2

Actividades Problema 1
Calcula el valor de tanq
5
q
3
27
Resolución
Del gráfico se observa
CO(q) = 3
Luego: tanq =
CO(q)
CA(q)CA(q) = 5
Reemplazando: tanq =
3
5
Rpta.:
3
5
Problema 2
Determina el valor de E = tanb ⋅ cotq.
7
2
3
b
A
4
B
C
52
q
P
N
M
Resolución
Por el Teorema de Pitágoras.
a
2
+ 23
2
= 4
2

2
3
ba
4
a
2
+ 12 = 16
a
2
= 4
a = 2
b
2
+ 7
2
= 52
2
7
52
q
b
b
2
+ 49 = 50
b
2
= 1
b = 1
Luego:
E =
CO(b)
CA(b)
×
CA(q)
CO(q)
=
23
2
×
7
1
E = 73
Rpta.: 73
Problema 3
Determina la altura h del poste, si cota =
5 3
.
h
9 m
a
Resolución
Del gráfico se observa:
CA(a) = h Luego:
cota =
h
9

(I)
CO(a) = 9
Por dato:
cota =
5 3
(II)
Igualando (I) y (II)
h 9
=
5 3

h 3
= 5
h = 15 m
Rpta.: 15 m
Aquí la cotangente de los ángulos del ejemplo anterior.
tana =
3
4
tanb =
6 7
senf =
1 2
tanq =
5 5
= 1 tang =
10
6
=
5 3

5
a
3
4
b
7
6
85q
5
5
5
2
f
1
2
5
10
g
6
234
42 Unidad 2

Actividades Por mi cuenta
1. Determina el valor de cotb.
A) 5
B) 3
β
22
3
C) 3/5
D) 5/3
E) 5/2
2. Calcula el valor de tanf.
A) 7
B) 2
f
3
2
C) 1/7
D) 1/2
E) 2/7
3. Calcula el valor de tana.
A) 2/7
a
7
11
B) 7/2
C) 2/7
D) 1/7
E) 11/7
En pareja
4. Calcula el valor de E =
cotb
tanf
.
A) 3/2
b
f
3
2
5
52
B) 5/2
C) 2/3
D) 2/5
E) 5
5. Determina el valor de E = 10cotb – 18cot
2
q.
A) 18
B) 14 11
q
b
3
12
13
C) 20
D) 21
E) 22
6. Determina la estatura h de la persona, si cotf =
5
3
.
A) 1,5 m
B) 1,8 m
f
3 m
hC) 1,4 m
D) 1,6 m
E) 1,7 m
En equipo
7. En la figura, calcula el valor de x, si cotb = 1,2.
A) 200 m
B) 210 m
b
x
200 m
C) 220 m
D) 230 m
E) 240 m
8. Determina el valor de h, si tanf = 0,6.
A) 30 m
B) 32 m
f
20 m
18 m
h
C) 28 m
D) 31 m
E) 29 m
1. Calcula el valor de x.
A) 1,3
B) 1,2
C) 1,5
D) 1,4
E) 1,6
2. Determina el valor de x.
A) 3
B) 3,1
C) 3,3
D) 3,2
E) 3,5
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
3
8
2
x
a
4
x
3
2b
43Unidad 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS PARTE III
Razón trigonométrica secante
En efecto, en un triángulo rectángulo se puede establecer 6 razones entre las
longitudes de sus lados. Una de estas razones se llama seno.
En este triángulo rectángulo,
la secante de a, que se denota
como seca, se define así:
cateto adyacente a a
hipotenusa
cateto
opuesto a a
a seca =
hipotenusa
cateto adyacente a a
Aquí la secante de algunos ángulos.
seca =
13
12
secq =
25
7
secb =
2
13
secf =
5
3
secg =
6
61
13
a
5
12
7
q
24
25
f5
4
3
3
2
b
13
g
5
6
61
Razón trigonométrica cosecante
En este triángulo , la cosecante
de a, que se denota como csca,
se define así:
cateto adyacente a a
hipotenusa
cateto
opuesto a a
a
csca =
hipotenusa
cateto opuesto a a
LA TRIGONOMETRÍA ÁRABE
1. Su trigonometría es más
aritmética que geométrica.
2. Para calcular valores usaban
sen
2
A + cos
2
A = 1
3. Los astrónomos árabes
introdujeron la tangente y la
cotangente.
4. Abû’l-Wefâ introdujo la
secante y la cosecante como
longitudes en un trabajo de
astronomía.
5. Los árabes tomaron
como punto de partida la
astronomía de Ptolomeo.
LA TRIGONOMETRÍA GRIEGA
La trigonometría fue una
creación de Hiparco, Menelao
y Ptolomeo. El fundador de está
fue Hiparco.
La trigonometría griega alcanzó
una alta cota con Menelao.
La trigonometría esférica fue la
primera en ser desarrolla.
CAPÍTULO12
Dato histórico
a
Linea
visual
En la figura se muestra un
conjunto habitacional. Desde
un punto ubicado en el suelo se
observa su parte más elevada.
¿Cómo se denomina la relación
entre la línea visual y la distancia
al pie de dicho edificio?
44 Unidad 2

Problema 1
Calcula el valor de secb.
11
15
2
b
Resolución
Del gráfico se observa:
H = 15
Luego: secb =
H
CA(b)CA(b) = 2
Reemplazando: secb =
15
2
Rpta.:
15
2
Problema 2
Calcula el valor de E = 5csc
2
a – 24secb.
B
C
A
5
12
b
2
a
3
P
N
M
Resolución
Se cumple:
a
2
= 12
2
+ 5
2
a
2
= 144 + 25
a
2
= 169
a = 13
5
12
b
a
b
2
+ 2
2
= 3
2
b
2
+ 4 = 9
b
2
= 5
2
a
3
b
Luego reemplazando:
E = 5


3
5
 
2
– 24
 13
12


E = 5 ×
9
5
– 2 × (13)
E = 9 – 26
E = – 17
Rpta.: –17
Problema 3
Calcula el valor de x.
7
2
4
x
b
Resolución
Del gráfico se observa:
A
Q
P
B
C
7
2
4
x
b
En el ACB: cscb =
9
4
En el AQP: cscb =
7 x
Igualando:
9 4
=
7 x
x =
28
9

Rpta.:
28
9

Aquí la cosecante de los ángulos del ejemplo anterior.
csca =
13
5
cscq =
25 24
cscb =
3
13
cscf =
5 4
cscg =
5
61
13
a
5
12
7
q
24
25
f
5
4
3
3
2
b
13
g
5 6
61
45Unidad 2

Actividades Por mi cuenta
1. Determina el valor de cscq.
A) 26
q
5
1
B) 23
C) 22
D) 21
E) 5/26
2. Calcula el valor de secf.
A) 3/7
23
5
7
f
B) 7/3
C) 23/7
D) 2/7
E) 7/2
3. Calcula el valor de csca.
A) 25
2
a
5B) 5/2
C) 1/2
D) 5
E) 35
En pareja
4. Determinar el valor de E =
cscq

secb
.
A) 7/5
b
q
22
5
2
2
1
B) 1/5
C) 1/7
D) 5/3
E) 5/7
5. Calcula el valor de x, si secb =
5
3
.
A) 18
B) 20
b
x
12
C) 15
D) 16
E) 22
6. Determina la altura h de la iglesia, si cscf = 5,5.
A) 5 m
h
f
44 m
B) 2 m
C) 4 m
D) 6 m
E) 8 m
En equipo
7. Determina el valor de x, si secq =
7 3
.
A) 40 m
x
140 m
q
B) 50 m
C) 60 m
D) 62 m
E) 55 m
8. Calcula el valor de h, si csca =
15
8
.
A) 24 m

a
h
45 m
B) 22 m
C) 23 m
D) 21 m
E) 25 m
1. En la figura, calcula el valor de M = secb + cscq.
A) 10/3
B) 3/10
C) 7/10
D) 2/3
E) 5/3
2. Determina el valor de x.
A) 280 m
B) 250 m
C) 290 m
D) 225 m
E) 310 m
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
12
bq
9 16

q
1800 m
600 m
900 m
x
46 Unidad 2

Actividades El origen del término tangente
se asocia a la recta tangente a
una circunferencia que como
sabemos es aquella recta que
intersecta a la circunferencia
en tan sólo un punto, ahora
bien la palabra tangente se
asocia a l termino en latín
tongo que significa toco.
Paso a paso
Interrogación
1. ¿De qué trata la situación?
2. ¿De qué datos dispones?
3. ¿Qué datos conoces?
Orientación dirigida
4. ¿Qué tienes que averiguar?
Realizar la formulación matemática
5. Realiza una gráfica que representa la situación
Explicación
6. ¿Qué conceptos matemáticos están presentes en el problema?
7. ¿Cuál es la respuesta del problema?
Orientación libre
8. Si el lado del cuadrado midiera 12 cm, ¿la tangente de alfa seguiría siendo
igual o variaría? Completa los siguientes enunciados:
El seno de un angulo es el cociente entre el cateto opuesto y ...
La tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y ...
LA TANGENTE DE UN ÁNGULO
Omar intenta resolver un problema aplicando sus conocimientos de las razones trigonométricas.
En el cuadrado ABCD, la medida del lado CD es 30 cm y M es el punto medio del lado BC. Determina el
valor de la tangente de a.
A
a
B
C
M
D
47Unidad 2

CANALES DE IRRIGACIÓN
En el Perú hay muchos proyectos
de irrigación, como Majes Siguas,
Chavimochic, Chira-Piura, Olmos,
Río Cachi, etc. El agua de las
represas se conduce por los canales
de irrigación. Aquí es importante
la pendiente, para que el agua no
corra demasiado y erosione el canal,
así como para no perder altura y así
abarcar más terreno para cultivar.
¿Principalmente de dónde proviene el
agua con que riegan los agricultores
de tu provincia?
http://www.civilgeeks.com
En esta unidad lograré
Modela objetos con
formas geométricas y sus
transformaciones
• Modelar situaciones problemáticas empleando las razones trigonométricas de ángulos notables.
• Trasladar situaciones problemáticas empleando las propiedades de las razones trigonométricas.
Comunica su comprensión
sobre las formas y relaciones
geométricas
• Representar en tablas las razones trigonométricas de ángulos notables.
• Ubicar coordenadas en un plano cartesiano.
Usa estrategias y
procedimientos para
orientarse en el espacio
• Emplear diversas estrategias para resolver problemas sobre las propiedades de los triángulos notables.
• Resolver problemas que involucren el uso de las razones trigonométricas de ángulos notables.
• Resolver problemas que involucran el plano cartesiano.
Argumenta afirmaciones
sobre relaciones geométricas
• Plantear conjeturas a las propiedades de las razones trigonométricas
• Justificar el uso de los ángulos notables en la resolución de problemas.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS
Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Unidad3
48 Unidad 3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RECÍPROCAS
tana · cota =
5
7
×
7 5
→ tana · cota = 1
tana =
5 7
cota =
7 5
Multiplicamos las razones trigonométricas de Miguel
y su acompañante obtenemos:
Esto se debe a que las razones trigonométricas tangente y cotangente; para
un mismo ángulo; son razones trigonométricas recíprocas.
Las otras razones trigonométricas que tienen esta misma propiedad son el
seno con la cosecante y también el coseno con la secante.
Razones trigonométricas recíprocas
Ahora en un triángulo rectángulo determinemos las seis razones
trigonométricas estudiadas en capítulos anteriores.
Con respecto al ángulo b

senb =
b
a

cosb =
c
a

tanb =
b
c

cotb =
c
b

secb =
a
c

cscb =
a
b

Son recíprocas
A B
C
a
b
c
b
Se observa lo siguiente:

I. senb =
b
a
cscb =
a
b

senb · cscb =
b
a
·
a
b
⇒ senb · cscb = 1

7 m
5 m
a
CAPÍTULO13
El ingeniero Miguel se dirige en
su auto al sistema de irrigación
de Chavimochic. En el trayecto,
sube una pendiente tal como
se muestra en la figura. Miguel
manifiesta que tana es 5/7; pero
su acompañante dice que la cota
es 7/5. Si multiplicamos ambas
razones trigonométricas, ¿qué
resultado se obtiene?.
Ten presente
EL NÚMERO π(pi)
π (pi) es la relación entre la
longitud de una circunferencia
y su diámetro en geometría
euclidiana.. El valor numérico
de π, truncado a sus primeras
cifras, es el siguiente:
π = 3,14159265358979….
La notación con la letra griega
π proviene de la inicial de
las palabras de origen griego
περιφeρεια 'periferia' y
περιμετρον 'perímetro' de
un círculo, notación que fue
utilizada primero por William
Oughtred (1574-1660) y
cuyo uso fue propuesto por el
matemático galés William Jones
(1675-1749); aunque fue el
matemático Leonhard Euler, con
su obra Introducción al cálculo
infinitesimal, de 1748.
El valor aproximado de π en las
antiguas culturas se remonta a la
época del escriba egipcio Ahmes
en el año 1800 a. C., descrito
en el papiro Rhind,4 donde se
emplea un valor aproximado
de π afirmando que el área de
un círculo es similar a la de un
cuadrado cuyo lado es igual al
diámetro del círculo disminuido
en 1/9.
https://es.wikipedia.org/wiki/
N%C3%BAmero_%CF%80
49Unidad 3

Problema 1
Calcula el valor de x, si senb · csc40° = 1.
Resolución
Por definición sena · cscq = 1
→ a = q
Luego si senb · csc40° = 1
∴b = 40°
Rpta.:40°
Problema 2
Determina el valor de q, si tan(q + 40°) · cot70° = 1
Resolución
Por definición: tanx · coty = 1
→ x = y
Luego, si: tan(q + 40°) · cot70° = 1
q + 40° = 70°
∴ q = 30°
Rpta.:30°
Problema 3
Determina el valor de x, si sen3x · csc42° = 1
Resolución
Por propiedad:
senb · cscq = 1 ↔ b = q
En el problema sen3x · csc42° = 1
3 x = 42°
∴x = 14°
Rpta.:14°
Problema 4
Si cosx · sec(40° − x) = 1 y tan2y · cot(60° − y) = 1,
calcula E = x + y.
Resolución
Por propiedad:
I) Si cosx · sec(40° − x) = 1
x = 40° − x
2x = 40°
∴ x = 20°
II) Si: tan2y · cot(60° − y) = 1
2y = 60° − y
3y = 60°
∴ y = 20°
∴ x + y = 40°
Rpta.:40°
Problema 5
Determina el valor de x, si
tan(x – 10°) · cot(30º – 3x) = 0.
Resolución
Sabemos que: tana · cotb = 1
→ a = b
En el problema
tan(x – 10°) · cot(30º – 3x) = 1
Luego x – 10º = 30° – 3x
x + 3x = 30° + 10°
4 x = 40°
∴ x = 10°
Rpta.:10°
El producto de las razones
trigonométricas recíprocas es
uno, si los ángulos son iguales.
sena · cscq = 1 → a = q
cosa · secq = 1 → a = q
tana · cotq = 1 → a = q
Ten presente II. cosb =
c
a
secb =
a
c

cosb · secb =
c
a
·
a
c
→ cosb · secb = 1
III. tanb =
c
a
cotb =
a
c

tanb · cotb =
b
c
·
c
b
→ tanb · cotb = 1
50 Unidad 3

Actividades
Por mi cuenta
1. Determina el valor de b, si
senb · csc 40° = 1
A) 41° B) 40° C) 42° D) 43° E) 44°
2. Calcula el valor de x, si
tan4x · cot80° = 1
A) 15° B) 16° C) 21° D) 20° E) 22°
3. Calcula el valor de x, si
cos5x · sec45° = 1
A) 6° B) 10° C) 9° D) 7° E) 8°
En pareja
4. Calcula el valor de q, si se cumple:
csc10q · sen80° = 1
A) 4° B) 5° C) 7° D) 8° E) 9°
5. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda,
y marca la alternativa correcta.
I. Si senb · cscq = 1 → b = q
II. Si tanx · cot10° = 1 → x = 20°
III. Si sec4b · cos80° = 1 → b = 20°
A) VFV B) FVF C) VVF
D) FFV E) VFF
6. Calcula el valor de x, si sec(x + 25°) · cos 50° = 1
A) 22° B) 24° C) 23° D) 26° E) 25°
En equipo
7. Determina el valor de b, si se cumple:
cot(3b – 40°) · tan 80° = 1
A) 38° B) 39° C) 40° D) 41° E) 42°
8. Calcula el valor de a, si se cumple:
sec 73° · cos(2a + 47°) = 1
A) 11° B) 13° C) 14° D) 12° E) 15°
1. Calcula el valor de f, si
csc(54° – 3f) · sen(89° – 8f) = 1
A) 7° B) 8° C) 9°
D) 10° E) 11°
2. Determina el valor de b + q, si
sen(40° – 2b) · csc(b + 10°) = 1 y
cot(3q + 31°) · tan(79° – q) = 1
A) 20° B) 21° C) 23°
D) 22° E) 24°
Problema 6
Determina el valor de b + a, si se cumple:
I. sen2 a · cscb = 1 y
II. cos(5 a – 40°) · sec(20º + b) = 1
Resolución
De (I): sen2a · cscb = 1
se tiene: b = 2a (*)
De (II): cos(5 a – 40°) · sec(20º + b) = 1
se tiene 5a – 40° = 20º + b
5 a – b = 20º + 40º
De (*): 5 a – 2a = 60º
3 a = 60º
a = 20°
b = 2 (20°)
b = 40º
∴ b + a = 60°
Rpta.: 60°
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
51Unidad 3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Tenemos los
siguientes
datos
tana = cotb → a + b = 90°
tana =
40
17
cotb =
40 17
Esto se debe a que las razones trigonométricas tangente y cotangente; para
ángulos que suman 90°, son razones trigonométricas complementarias.
Las otras razones trigonométricas que tienen esta misma propiedad son el
seno con el coseno y también la secante con la cosecante.
Razones trigonométricas complementarias
Sabemos que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°,
entonces los mismos son complementarios.
Se tiene el ABC (m \ B = 90°)
Del gráfico
q + b = 90°
∴ q y b son complementarios
A
B
C
a
b
c
q
b
Del gráfico se determina lo siguiente:

I. senq =
a
b

cosb =
a
b

II. tanq =
a
c

cotb =
a
c

III. secq =
b
c

cscb =
b
c

se cumple si:
senq = cos b
tanq = cot b
q + b = 90°
secq = csc b
DEFINICIONES CLÁSICAS
DE ÁNGULOS
Euclides define un ángulo como
la inclinación mutua de dos
líneas que se encuentran una
a otra en un plano y no están
en línea recta. Según Proclus
un ángulo debe ser una calidad
o una cantidad, o una relación.
El primer concepto fue utilizado
por Eudemus, que describió
un ángulo como desviación
de una línea recta; el segundo
por Carpus de Antioch, que lo
concibió como el intervalo o el
espacio entre las líneas que se
intersecan.
b
a
17 m
Reservorio
Entrada
turbina
rio
Central eléctrica
40 m
CAPÍTULO14
El ingeniero Aníbal observa la inclinación
del muro de contención de una represa
hidroeléctrica. Se da cuenta que la
tangente del ángulo de inclinación a es
40/17. Pero el practicante de ingeniería
Yuri manifiesta que la cotangente de
b es 40/17. ¿Porqué los resultados de
las razones trigonométricas de ambos
son iguales? ¿Para qué otras razones
trigonométricas ocurre lo mismo?
Ten presente
52 Unidad 3

Problema 1
Calcula el valor de b, si senb = cos34°.
Resolución
Por teoría:
senx = cosy
→ x + y = 90°
Luego:
sen b = cos34°
b + 34° = 90°
∴ b = 56°
Rpta.: 56°
Problema 2
Determina el valor de x, si senx = cos43°.
Resolución
Por teoría:
senβ = cosθ
→ b + q = 90°
Luego:
senx = cos43°
x + 43° = 90°
x = 90° – 43°
x = 47°
Rpta.: 47°
Problema 3
Calcula el valor de β, si cotβ = tan17°.
Resolución
Por teoría:
cotβ = tanθ
→ b + q = 90°
Luego:
cotβ = tan17°
β + 17° = 90°
β = 90° – 17°
β = 73°
Rpta.: 73°
Problema 4
Determina el valor de β, si cot(β + 20°) = tan(β + 10°).
Resolución
Por teoría: tanx = coty
→ x + y = 90°
Luego: cot(β + 20°) = tan(β + 10°)
(β + 20°) + (β + 10°) = 90°
2β + 30° = 90°
2β = 60°
∴ β = 30°
Rpta.: 30°
Problema 5
Calcula el valor de α, si tan(40° + 3α) = cot(10° – α)
Resolución
Se tiene tan(40° + 3α) = cot(10° – α)
Luego: 40 + 3α + 10° – α = 90°
2α + 50° = 90°
2α = 40°
α = 20°
Rpta.:20°
Problema 6
Determina el valor de (β + θ), si sen3β = cos30° y
sec(4θ + 10°) = csc(θ + 20°).
Resolución
Tenemos dos ecuaciones
sen3β = cos30°
Por propiedad:
3β + 30° = 90°
3β = 90° – 30°
3β = 60°
β = 20
sec(4θ + 10°)
= csc(θ + 20°)
Por propiedad: 4θ + 10° + θ + 20° = 90° 5θ + 30° = 90° 5θ = 90° – 30° 5θ = 60° θ = 12
Piden (β + θ)
β + θ = 32°
Rpta.: 32°
Problema 7
Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
I. Si: tanβ = cot10° → β = 10° ( )
II. Si: cos3x = sen60° → x = 10° ( )
III. Si: sec(x + 10) = csc(20 + 3x) → x = 15° ( )
Resolución
I. tanβ = cot10°
Por teoría:
β + 10° = 90°
∴ β = 80° (F)
II. cos3x = sen60°
Por teoría
3x + 60° = 90°
3x = 30°
x = 10° (V)
III. sec(x + 10)
= csc(20 + 3x)
→ x + 10 + 20 + 3x = 90
x = 15° (V)
Rpta.: F, V, V
53Unidad 3

Actividades Por mi cuenta
1. Calcula el valor de x, si cotx = tan 24°
A) 63° B) 66° C) 65°
D) 64° E) 67°
2. Calcula el valor de β, si tan4β = cot62°
A) 4° B) 5° C) 6°
D) 7° E) 8°
3. Indica verdadero (V) o falso (F), según
corresponda y marca la alternativa correcta.
I. Si senx = cos 40° → x = 40°
II. Si csc2x = sec60° → x = 15°)
II. Si tan(4x + 15°) = cot39° → x = 9°
A) VVV B) FVF C) FVV
D) VVF E) FFF
En pareja
4. Determina el valor de a, si
sec (3α + 36°) = csc (2α + 24°)
A) 6° B) 7° C) 8°
D) 9° E) 10°
5. Calcula el valor de q, si
sen (5θ – 18°) = cos (48° – θ)
A) 11° B) 12° C) 13°
D) 14° E) 15°
6. Calcula el valor de b, si
tan (45° + 7β) = cot (20° – 2β)
A) 5° B) 6° C) 7°
D) 8° E) 9°
En equipo
7. Determina el valor de x, si
csc (3x + 24°) = sec (38° – x)
A) 12° B) 13° C) 14°
D) 15° E) 16°
8. Calcula el valor de x, si
sen (40° – 3x) = cos (80° – 2x)
A) 2° B) 3° C) 4°
D) 6° E) 10°
1. Determina el valor de x, si
csc (x – 20°) = sec (3x – 10°)
A) 20° B) 25° C) 28°
D) 27° E) 30°
2. Calcula el valor de α – β, si
cos(α + 33°) = sen 44° y
tan(51° – 3b) = cot(15° – b)
A) 16° B) 19° C) 17°
D) 18° E) 15°
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
54 Unidad 3

Actividades 45°
h
2 m
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS NOTABLES PARTE I
En la figura, se observa que la altura que se pide es h, aplicando
tenemos tan45°
tan45° =
h
2
→ 1 =
h
2
→ h = 2
Por lo tanto, la altura máxima que alcanzará el agua es 2 m.
Razones trigonométricas de 45°
Consideremos el cuadrado de
lado 1.
45°
45°
45°
45°
2
1
11
1
Si el lado mide 1, por teorema de
Pitágoras, la diagonal mide 2.
Tomamos el triángulo verde.

45°
45°
2
1
1
Resulta un triángulo rectángulo
isósceles.
Calcula las R.T. de 45°
sen45° =
2
1
·
2
2
=
2
2
→ sen45° =
2
2

cos45° =
2
1
·
2
2
=
2
2
→ cos45° =
2
2

tan45° =
1
1
→ tan45° = 1
cot45° =
1
1
→ cot45° = 1
sec45° =
2
1
→ sec45° = 2
csc45 =
2
1
→ csc45° = 2
MATEO PAZ SOLDÁN
Nació en Arequipa, el 21 de
setiembre de 1812. Fue un
verdadero sabio que cultivó con
sobresaliente éxito la poesía,
el periodismo, las letras y las
ciencias.
Desempeñó cátedra en Arequipa
y fue Rector de la Universidad;
además, fue matemático,
abogado (1835), agente fiscal
(1839), auditor de guerra
(1845), políglota. Compuso
odas y elegías, escribió un
tratado de trigonometría y
astronomía, escribió su obra
inédita “Geografía del Perú”,
Falleció el 11 de marzo de 1856.
Dato histórico
CAPÍTULO15
En la figura se observa la sección
transversal de un canal de regadío.
Rosa desea saber cuál es la altura
máxima que alcanzará el agua que
recorrerá por dicho canal.
55Unidad 3

Actividades Problema 1
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
I. cos45° = 2 ( )
II. sec45° =
2
1
( )
III. cot45° = 1 ( )
Resolución

Tenemos el triángulo de
45° y 45°
45°
45°2
1
1
Luego
I. cos45° =
2
1
=
2
2
(F)
II. sec45° = 2 (F)
III. cot45° = 1 (V)
Rpta.: FFV
Problema 2
Calcula el valor de x + y
2
.
45°
45°
45°45°
2x
2
y
82
Resolución
De los gráficos se tiene:
k2 = 82
45°
45°
2x
82
(k)
(k)
(k)2
k = 8
2x = k
2x = 8
x = 4
k = 2
45°
45°
2
y
(k)
(k)
(k)2
y = k2
y = 22
Luego
E = 4 + 22
2
E = 4 + 8
E = 12
Rpta.: 12
Problema 3
Calcula el valor de E =
2sec
2
45° + 3tan45°
8cos
2
45°
.
Resolución
Sabemos:
sec45° = 2
cos45° =
2
1

tan45° = 1
Reemplazando
E =
2 2
2
+ 3(1)
8 ×


2
1 
2
E =
2(2) + 3
8 ×

 
2
1
 
4
=
4
7

Rpta.:
4
7
Problema 4
Determina el valor de x, si
3xcot45° + 82sec45° = 12xsen
2
45° + 10tan45°.
Resolución
Reemplazando los valores de la R.T de 45°; se tiene:
3 x(1) + 8 2 (2) = 12x


2
1 
2
+ 10(1)
3x + 8 × 2 = 12x
6
×
2
1
+ 10
3 x + 16 = 6x + 10
16 – 10 = 6x – 3x
6 = 3x
x = 2
Rpta.: 2
Problema 5
Si tan3x = cot6x, calcula el valor de
E = 2tan(4x + 5°) + 2sec
2
(3x + 15°)
Resolución
De: tan3x = cot6x
3x + 6x = 90°
9x = 90°
x = 10°
Reemplazando
tenemos
E = 2tan45° + 2 sec
2
45°
Donde E = 2(1) + 2 2
2
E = 2 + 2 × 2
E = 2 + 4
E = 6
Rpta.: 6
56 Unidad 3

Actividades Por mi cuenta
1. Determina el valor de x.
A) 1
45°
3
2
x
B) 3
C) 5
D) 2
E) 4
2. Calcula el valor de y.
A) 1
45°
y
2
4
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
3. Calcula el valor de a + b.
A) 10
45°
8
2a
45°
b
2
5
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
En pareja
4. Calcula el valor de y/x.
A) 2 2
45°
45°
4
2
8
x
y
B) 2
C) 3 2
D) 5 2
E) 1
5. Calcula el valor de E = a
2
– b
2
.
A) –22
45°
a
b
5
B) –23
C) –24
D) –21
E) –25
6. Calcula el valor de
F = 2sen45° + 3 csc
2
45° – 4 cot
3
45°
A) 1 B) 3 C) 2
D) 4 E) 5
En equipo
7. Reduce la siguiente expresión
M =
3tan
5
45° – 2cos
2
45° + 5
8 – 3sec
2
45°
.
A) 3,5 B) 3 C) 2,5
D) 2 E) 4
8. Determina la altura h

45°
5
2 m
h
A) 6 m B) 8 m C) 5 m
D) 7 m E) 4 m
1. Calcula el valor x.
5sec
2
45° + 42cos45° + 3xcot45° =
8tan
3
45° + 5xcsc
2
45°
A) 1/7 B) 7/6 C) 5/6
D) 6/7 E) 5/7
2. Si tan(x + 8) = cot(50° + x), calcula el valor de
E = 5csc
2
(3x – 3°) – 8cos
2
(2x + 13°).
A) 3 B) 7
C) 6 D) 4
E) 5
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
57Unidad 3

60°
2 m
h
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS NOTABLES PARTE II
En la figura, se observa que la altura que se pide es h aplicando
tan60°
tan60° =
h
2
→ 3 =
h 2
→ h = 2 3
Por lo tanto, la altura máxima que alcanzará el agua es
de 23 m
Razónes trigonométricas de 30° y 60°
Consideremos el triángulo equilátero de lado 2.
Calculemos las R.T. de 30º y 60°
sec30° =
3
23
sec30° =
3
23
sec30° =
3
23
cot30° = 3
sec30° =
3
23
tan30° =
3
3

sec30° =
3
23
cos30° =
3
2

sec30° =
3
23
sen30° =
2
1

sec30° =
3
23
csc30° = 2
sec30° =
3
23
sec60° = 2
sec30° =
3
23
cot60° =
3
3

sec30° =
3
23
tan60° = 3
sec30° =
3
23
cos60° =
2
1

sec30° =
3
23
sen60° =
3
2

sec30° =
3
23
csc60° =
3
23
Por teorema de pitágoras la altura
mide 3
22
1 1
30°30°
60°60°
3
Tomamos el triángulo amarillo.
60°
30°
2
3
Historia de la medición de
ángulos
La historia de la trigonometria y
de las funciones trigonometricas
podría extenderse por mas
de 4000 años. Los babilonios
determinaron aproximaciones
de medidas de ángulos o de
longitudes de los lados de los
triángulos rectángulos. Varias
tablas grabadas sobre arcilla
lo testimonian. Por ejemplo,
una tablilla babilonia escrita
en cuneiforme, denominada
Plimpton 322 (en torno al 1990
a. C.) muestra quince ternas
pitagóricas y una columna
de números que puede ser
interpretada como una tabla de
funciones trigonométricas; sin
embargo, existen varios debates
sobre si, en realidad, se trata de
una tabla trigonométrica.
CAPÍTULO16
Ten presente
En la figura, se observa la sección
transversal de un canal de regadío.
Ahora Rosa desea saber cual es la
altura máxima que alcanzará el
agua que recorrerá por dicho canal.
58 Unidad 3

Problema 1
Calcula el valor de E = 8cos60° + 2sec
2
60° – 23
cot30°.
Resolución
Sabemos:
cos60º =
2
1
sec60º = 2
cot30° = 3
Reemplazando:
E = 8 ×

2
1 
+ 2(2)
2
– 23 × (3)
E = 4 + 2(4) – 2 × 3 = 4 + 8 – 6
E = 6
Rpta.: 6
Problema 2
Calcula el valor de E =
10cos60° – 23tan60°
3sec
2
60° + 4cos
2
30°
.
Resolución
Reemplazando los valores de las R.T de 30° ∧ 60°,
tenemos:
E =
10 ×
 
2
1
 
– 2(
3) × (3)

3(2)
2
+ 4
 3
2
 
2
E =
5 – 2(3)
3 × 4 + 4
 
4
3
 
=
5 – 6
12 + 3
= –
1
15
Rpta.: –
1
15
Problema 3
Determina E =
x + y
y
del siguiente gráfico.
10
60°
30°
x
y
60°
30°
4
3
Resolución
Completando, se tiene:
I.
10
60°
30°
x
(2k)
(k)
(k5)
2k = 10
k = 5
x = k
∴ x = 5
II.
y
60°
30°
4
3
(2k)
(k)
(k
3)
k3 = 43
k = 4
y = 2k
∴ y = 8
Luego E =
5 + 8
8
=
13
8
Rpta.:
13
8
Problema 4
Del gráfico, calcula el valor de E =
y
x
.
30° 45°
60°
A E
C
D
B
x
4
3 y
2
5
Resolución
Ubicamos los valores en los notables, así
(k
1
3) (k 2
)
(2k
1)
(k
2
)
30° 45°
60°
A E
C
D
B
x
4
3
y
2
5
( k
2
2 )
Determina k
1
(BAC)
2k
1
= 4
3
∴ k
1
= 2
3
Calcula k
2
(CED)
k
2
= 5
Luego
x = k
1
3 + k
2

x = (23)3 + 5
x = 2 × 3 + 5
x = 11
Pero en el CED:
y2 = k
2
2
y = k
2
y = 5
Piden
E =
x
y
=
11
5
Rpta.:
5
11
59Unidad 3

Actividades Por mi cuenta
1. Indica si los siguientes enunciados son verdaderos
(V) o falsos (F).
I. sec30° =
3
2

II. tan30° = 3
III. csc60° =
3
2

A) FVF B) VFF C) VVF
D) FFF E) FVV
2. Determina el valor de x.
A) 12
60°
30°
x
83
B) 14
C) 16
D) 13
E) 15
3. Calcula el valor de E = n
2
– m
2
.
30°
30°
60°
60°
33
4
m
n
A) –24 B) –22 C) –20
D) –21 E) –23
En pareja
4. Calcula el valor de E =
x – y
x + y
.
A) 2/3
60°
30°
63
x
y
B) 5/3
C) 3
D) 1/3
E) 4/3
5. Calcula el valor de E =
a + b
a – b
.
A) –5
60°
60°
30°
30°
6
8
a
b
B) –4
C) –6
D) –8
E) –7
6. Determina el valor de
M = 4tan45° + 9csc
2
60° – 10sen30°.
A) 5 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
En equipo
7. Reduce la expresión
F =
10cos60° + 4csc30° – 4sec
2
45°
8sen
2
60° + 2cot
2
45°
.
A) 5/8 B) 1/8 C) 3/8 D) 8/5 E) 2/5
8. Determina el valor de x en
4xtan45° + 8sen30° = 3xsec30° + 10cos60°
A) 2 B) 3 C) 3/2 D) 1/2 E) 2/3
1. Determina el valor de a.
A) 3 – 1
B) 3(3 + 1)
C) 2(3 + 1)
D) 3(1 – 3)
E) 2(1 – 3)
2. Si tan(5x + 18°) = cot7x, calcula el valor de
E = 12sen5x + 23tan10x – 3sec(9x + 6°)
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
30°
60°
6
45°
A C
B
a
60 Unidad 3

Actividades h
53°
h
3 m
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS NOTABLES PARTE III
h
53°
37°
h
3 m
En la figura se observa que la altura que se pide es h.
Aplicando tan53°
tan53° =
h
3
→
4 3
=
h 3
→ h = 4
Por lo tanto la altura máxima que alcanzará el agua
es 4 m.
Razones trigonométricas de 37° y 53°
Los ángulos agudos del triángulo egipcio miden aproximadamente:
37° y 53°
(36° 52'11, 631" y 53° 7'48, 368")
3
5
4
53°
37°
Calcula las R.T. de 37º y 53°
sen37° =
5
3
cos37° =
5
4
tan37° =
4
3

csc37° =
3
5
sec37° =
4
5
cot37° =
3
4

sen53° =
5
4
cos53° =
5
3
tan53° =
3
4

csc53° =
4
5
sec53° =
3
5
cot53° =
4
3

EL TEOREMA DE PITÁGORAS
1. Lleva este nombre porque
su descubrimiento recae
sobre la escuela pitagórica.
Anteriormente, en
Mesopotamia y el Antiguo
Egipto se conocían ternas de
valores que se correspondían
con los lados de un triángulo
rectángulo, y se utilizaban
para resolver problemas
referentes a dicho triángulo,
tal como se observa en
algunas tablillas y papiros.
Sin embargo, no ha perdurado
ningún documento que
exponga teóricamente su
relación.
2. La pirámide de Kefrén, data
del siglo XXVI a.n.e., fue la
primera gran pirámide que
se construyó basándose en
el llamado triángulo sagrado
egipcio, de proporciones
3-4-5.
Pirámide de Kefrén
Dato histórico
CAPÍTULO17
En la figura, se observa la sección
transversal de un canal de regadío.
Rosa desea calcular cual será la altura
máxima que alcanzará el agua que
recorrerá por dicho canal.
61Unidad 3

Actividades Problema 1
Determina el valor de x en el gráfico.
53°
37°
15
x
Resolución
Completando los lados.
3k = 15
53°
37°
15
x
(4k)(5k)
(3k)
k = 5
x = 5k
x = 25
Rpta.: 25
Problema 2
Compara y ordena de menor a mayor: csc53°, tan37°,
sen37° y tan53°.
Resolución
csc53°tan37°sen37°tan53°
→ sen37° < tan37° < csc53° < tan53°
5
4
3 4 3 5 4 3
↓
1,25
↓
0,75
↓
0,6
↓
1,3
Problema 3
Calcula 5tan37° · sen53° + 4cos53° · sec37°.
Resolución
53°
37°
5
3
4
tan37° =
3 4
cos53° =
3 5
sen53° =
4 5
sec37° =
5 4

5tan37° · sen53° + 4cos53° · sec37°
5 ·
3 4
·
4 5
+ 4 ·
3 5
·
5 4
= 3 + 3 = 6
Rpta.: 6
Problema 4
Calcula el valor de x, si
8xtan37° + 10cos60° = 5xtan45° + 15sec53°.
Resolución
tan37° =
3 4
cos60° =
1 2
tan45° = 1 sec53° =
5 3

Reemplazando
8x


3
4


+ 10
 1
2


= 5x(1) + 15
 5
3


6x + 5 = 5x + 25
6x – 5x = 25 – 5
∴ x = 20
Rpta.: 20
Problema 5
Determina el valor de E = x + y.
53°
37°
x
y
12
Resolución
53°
37°
x
y
12
(4k)
(3k)
(5k)
Donde
3k = 12 → k = 4
x = 5k → x = 5(4) → x = 20
y = 4k → y = 4(4) → y = 16
Reemplazando:
E = 20 + 16
E = 36
Rpta.: 36
62 Unidad 3

Actividades Por mi cuenta
1. Identifica si los siguientes enunciados son
verdaderos (V) o falsos (F).
I. sec53° = 5/3
II. cos37° = 4/5
III. cot53° = 3/4
A) FVV B) VFV C) VVV
D) VVF E) FFV
2. Calcula el valor de x + y.
53°
37°
24
53°
37°
20
x
y
A) 34 B) 32 C) 35 D) 31 E) 36
3. Calcula el valor de
M = 16csc53° – 12tan37° + 15cos37°.
A) 22 B) 23 C) 25 D) 21 E) 24
En pareja
4. Determina el valor de M =
9cot37° + 15sec53°
20sen37° – 20cos60°
.
A) 18 B) 16,5 C) 17,5
D) 18,5 E) 15,5
5. Calcula el valor de x, si
3tan53° + 4xcot53° = 2xtan45° + 15cos37°.
A) 6 B) 9 C) 7
D) 5 E) 8
6. Determina el valor de m – n.
53°
10
37°
n + 6
4 + m
A) 1 B) 0 C) –1
D) –2 E) 2
En equipo
7. Determina la relación entre a; b y c, si
a = 9tan53° ; b = 10cos37° y c = 8cot53°
A) c < a < b B) a < b < c
C) b < a < c D) c < b < a
E) a < c < b
8. Calcula el valor de
E = 25cos53° + 8sec37° – 16tan37.
A) 10 B) 13 C) 12
D) 11 E) 14
1. Calcula el valor de x.
A) 16
B) 12
C) 15
D) 17
E) 18
2. Si sen10x · csc40° = 1, calcula el valor de
M = 10sen (9x + 1°) – 12tan (10x + 13°)
A) –10 B) –9 C) –11
D) –8 E) –12
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
60°
30°
53°
37°
53
15
x
63Unidad 3

GEOMETRÍA ANALÍTICA
PARTE I
Del mapa en el plano cartesiano observamos que la coordenada (25; 43) se
ubica cerca al río Sañu; el cual pertenece a la región Cusco, por lo tanto esta
coordenada se ubica en la región Cusco.
Tambien observamos que la coordenada (25; –10) se ubica cerca al río
Apurímac, el cual pertenece a la región Arequipa; según el mapa; por lo
tanto esta coordenada se ubica en la región Arequipa.
Sistema de coordenadas rectangulares
Es el sistema formado por dos rectas numéricas perpendiculares que se in-
terceptan en un punto ¨0¨ denominado origen de coordenadas. Este sistema
se denomina también Plano Cartesiano.
En el siguiente gráfico, observamos el Plano Cartesiano y sus características.
–3 –2 –1 1 2 3
3
2
1
–3
–2
–1
0
X'
Y
'
Y
X
Semieje Positivo
de las Ordenadas
Semieje Positivo
de las Abscisas
Semieje Negativo
de las Ordenadas
Semieje Negativo
de las Abscisas
I Cuadrante
IV CuadranteIII Cuadrante
II Cuadrante
Donde:
"0" : Origen de coordenadas
Recta x 'x: Eje de Abscisas o Eje X
Recta y 'y: Eje de Ordenadas o Eje Y
CAPÍTULO18
RENÉ DESCARTES
René Descartes, filósofo,
matemático y científico francés
es considerado el pionero de la
Filosofía Moderna.
René Descartes nace el 31 de
marzo de 1596 cerca de Poitiers.
Hijo de jurista, su madre muere
al año de su nacimiento durante
el parto de un hermano que
tampoco sobrevivió. Él y sus
dos hermanos fueron educados
por su abuela, pues su padre se
ausentaba largas temporadas
por razón de su trabajo en el
Parlamento de Bretaña y acabó
dejando atrás a sus hijos al
contraer nuevas nupcias con
una doncella inglesa. A los 18
años ingresa en la Universidad
de Poitiers obteniendo su
licenciatura en 1616. Descartes
fue siempre un alumno
sobresaliente. Fundamentó su
pensamiento filosófico en la
necesidad de tomar un "punto
de partida" sobre el que edificar
todo el conocimiento. En su
faceta matemática que le lleva
a crear la geometría analítica,
también comienza tomando un
punto de partida: dos rectas
perpendiculares entre sí, que se
cortan en un punto denominado
"origen de coordenadas",
ideando así las denominadas
coordenadas cartesianas.
Dato histórico
20
10 X(Km)
Y(Km)
Proyecto:
Irrigación Cañon del Apurímac
Caudal registrado en el río Apurimac
en la bocatoma de Cusco:
Promedio anual: 11,47 m
3
/seg
Punto de encuentro entre los ríos
Cayomani y Apurimac
Limite entre las regiones
Arequipa y Cusco
Caudal registrado en el río Apurimac
donde estaría la represa de Angostura.
Promedio anual: 11,4 m
3
/seg
La figura muestra el mapa
de ubicación del Proyecto de
irrigación: Cañon del Apurimac,
donde se observa el límite entre
las regiones Arequipa y Cusco. Se
dibuja un plano cartesiano en el
mapa, se coloca un punto A en el
plano el cual tiene por ubicación
las coordenadas (20; 10) y se
encuentra en la región Arequipa.
¿A que región pertenece las
coordenadas (25; 43) y (25; –10)?
64 Unidad 3

Se observa que el plano queda
dividido en 4 regiones denominados
cuadrantes enumerados en sentido
antihorario.
Ubicación de un Punto
La ubicación de un punto en el plano cartesiano se representa mediante un
par ordenado (x; y), que se le conoce como "Coordenadas del Punto".
P(x; y)
Y
X
x
y
Ordenada del
Punto P
Abscisa del
Punto P
Luego: P(x; y) se lee: El punto P de coordenadas x; y.
Además: P ∈ IC se lee: El punto P pertenece al primer cuadrante.
Y
X
x > 0; y > 0x < 0; y > 0
x < 0; y < 0 x > 0; y < 0
I
IV
II
III
O
Si: P(x; y) ∈IC → x>0; y >0
Si: P(x; y) ∈IIC → x<0; y >0
Si: P(x; y) ∈IIIC → x<0; y <0
Si: P(x; y) ∈IVC → x>0; y <0
Problema 1
Ubica los puntos
A(2; –1) ; B(–3; 2) ; C(–1; –2) y D(3; 3)
en el plano cartesiano.
Resolución
Graficamos el plano cartesiano y ubicamos los puntos:
–3 –2 –1 1 2 3
3
2
1
–3
–2
–1
X
Y
D
A
C
B
Problema 2
Del gráfico, calcula el valor de E =
a + b
2
.
P(a; b)
Y
X
4
5
Resolución
Del gráfico, las coordenadas del punto P es (4; 5) que
es igual al par ordenado (a; b).
Luego: (a; b) = (4; 5)
Donde: a = 4 ; b = 5
Piden E =
4 + 5
2
=
9
2
= 4,5
Rpta.: 4,5
Ten presente
Observación
65Unidad 3

Actividades Problema 3
Si los puntos M(–3; m + 5) y N(10; n – 8), se ubican en el eje
de las abscisas, determina el valor de
E =
m + n
m – n
Resolución
Si un punto se ubica en el eje de las abscisas, entonces
su ordenada tiene el valor de "0" (cero).
• En el problema:

M(–3; m + 5)
m + 5 = 0 m = –5

N(10; n – 8)
n – 8 = 0 n = 8
• Reemplazando
E =
–5 + 8
–5 – 8
= –
3
13
Rpta.: –
3
13
Problema 4
Si: a = 5sen37° + 2 y b = 4cos60° – 8tan45°
Indica a qué cuadrante pertenece el punto P(a; b)
Resolución
Reemplazando los valores de las R.T. se tiene:
a = 5 ·
3
5
+ 2 a = 3 + 2 a = 5
b = 4 ·
1 2
– 8 b = 2 – 8 b = –6
Luego el punto P(5; –6) pertenece al IV cuadrante,
porque en este cuadrante se cumple que:
x > 0 ∧ y < 0
Rpta.: P ∈ IVC
Problema 5
Según el gráfico, calcula el valor de E =
a + b
c – d
.
(c; d)
(a; b)
Y
X
(2; –4)
(–3; –2)
Resolución
Completamos y ubicamos los puntos en los ejes.
Observamos en el eje de ordenadas que el punto "R"
y "S" son simétricas respecto al origen pero opuesto,
esto es:
S = –2
R = 2
–3 –2
–2
2 2
2
2
2
–4(c; d)
(a; b)
Y
Q O
P
R
S
X
(2; –4)
(–3; –2)Análogamente también ocurre lo mismo con los
puntos "P" y "Q" en el eje de abscisas, luego:
P = 2
Q = –2
Luego
(a; b) = (–3; 2) ∧ (c; d) = (–2; – 4).
Piden M =
–3 + 2
–2 –(–4)
=
–1
–2 + 4
= –
1 2

Rpta.: –
1 2
66 Unidad 3

Actividades Por mi cuenta
1. Indica verdadero (V) o falso (F), según
corresponda.
I. A(–5; –2) ∈ III C
II. B(4; –3) ∈ IV C
III. C(–2; 1) ∈ I C
A) VFF B) FVV C) VVV
D) VVF E) FFF
2. Calcula el valor de a – b.
A) 0
– 2(a; b)
–3
Y
XB) –1
C) 1
D) 2
E) –2
3. Determina el valor de a
b
.
A) 21
X
Y
2
(a; b)
– 5
B) 22
C) 20
D) 25
E) 23
En pareja
4. Calcula el valor de E = 3p – 2q.
A) –16
(5; –3)
p
q
Y
X
B) –18
C) –12
D) –17
E) –19
5. Calcula el valor de E =
m + n
m – n
.
A) 4
(–8; –6)
n
m
Y
X
B) 5
C) 7
D) 6
E) 9
6. Determina el valor de a + b.
A) 0
(a + 5; b – 4)–6
8
X
Y
B) 2
C) –1
D) 1
E) 2
7. Calcula el valor de E =
m + n
2m – n
.
A) 1
m
X
Y
6
(–4; n + 2)B) 3
C) 1/2
D) 1/3
E) 0
En equipo
8. Si los puntos M(a – 4; 10) y N(2b – 10; 8) se ubican
en el eje de ordenadas, determina el valor de
M =
2a + 3
b + 5
A) 0,1 B) 1,1 C) 1
D) 1,2 E) 1,3
1. Si m = 10cos37° + 1, n = 4cos60° – 3
y q = 8 – 10cot45°
Indica la alternativa correcta.
A) (q; n) ∈ IVc B) (q; n) ∈ IIc
C) (n; q) ∈ Ic D) (n; q) ∈ IIIc
E) (m; n) ∈ IIc
2. Según el gráfico, calcula el valor de M =
m + n
r – s
.
A) –1
B) 1
C) 2
D) –2
E) 0
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
(–2; –3)
(–4; 5)
Y
(r; s)
(m; n)
X
67Unidad 3

LA PISCINA
Una piscina tiene las dimensiones
que se muestran en la figura. Si
por m
3
de agua se paga S/0,30,
¿cuánto se pagará por el llenado
de la piscina?
Considera: ,3173=
El primer libro que tiene un
tratamiento sistemático
de trigonometría plana
y esférica fue escrito
por el astrónomo persa
Nasir Eddin (alrededor de
1250 antes de n.e.), así
se comenzó a considerar
a la Trigonometría como
ciencia independiente
Paso a paso
Interrogación
1. ¿De qué trata la situación?
2. ¿De qué datos dispones?
3. ¿Qué datos conoces?
Orientación dirigida
4. ¿Qué tienes que averiguar?
Realizar la formulación matemática
5. Realiza una gráfica que representa la situación
Explicación
6. ¿Qué conceptos matemáticos están presentes en el problema?
7. ¿Cuál es la respuesta del problema?
Orientación libre
8. Si el ángulo fuera de 37º, ¿cuánto se pagaría por el llenado de la pìscina?
Integración
9. Completa los siguientes enunciados:
Si sen30º = 1/2, entonces cos60º es igual a ...
Si tan37º = 3/4, entonces cot37º es igual a ...
12 m
2 m
30°
68 Unidad 3

LOS PICOS MÁS ALTOS
DEL PERÚ
Los cinco picos más altos del Perú
son: Huascarán (6768 m, Cordillera
Blanca); Yerupajá (6634 m, Cordillera
de Huayhuash); Coropuna (6425 m,
Cordillera Ampato); Huandoy (6395
m, Cordillera Blanca) y Huantsán
(6395 m, Cordillera Blanca). De los
valles a los picos se observa con
ángulos verticales de elevación y de
los picos a los valles, con ángulos
verticales de depresión. ¿Cuál es el
pico más elevado de tu región?
http://www.viajeaperu.es
En esta unidad lograré
Modela objetos con
formas geométricas y sus
transformaciones
• Trasladar situaciones de la vida cotidiana a modelos matemáticos que emplean la geometría analítica.
• Usar modelos de la vida cotidiana y los traslada a modelos matemáticos que emplean razones
trigonométricas los ángulos de cualquier magnitud.
Comunica su compresión
sobre las formas y relaciones
geométricas
• Utilizar esquemas gráficos para plantear problemas con geometría analítica.
• Dibujar ángulos en posición normal.
Usa estrategias y
procedimiento para orientarse
en el espacio
• Emplear diversas estrategias para resolver problemas que involucran el uso de propiedades de la
geometría analítica.
• Resuelver problema de R.T. de ángulos de posición normal y de cualquier magnitud.
Argumenta afirmaciones
sobre relaciones geométricas
• Justifica el uso de las propiedades de la geometría analítica en la resolución de problemas.
• Propone conjeturas sobre los ángulos en posición normal.
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Unidad4
69Unidad 4

GEOMETRÍA ANALÍTICA
PARTE II
Lo que le falta al andinista para llegar a la cima del nevado es la distancia
vertical x, la cual calculamos asi
6768 = x + 3000
x = 6768 – 3000
x = 3768
Lo que le falta al andinista para
llegar a la cima es 3768 m.
6768 m
3000 m
x
Distancia vertical (Dv)
La distancia vertical entre dos puntos se calcula restando las ordenadas de
los mismos. Esto es:
Dado los puntos A (x; y
1
) y B (x; y
2
) se calcula Dv = y
2
– y
1
; donde y
2
> y
1
En forma práctica los calculamos en Dv = y
2
– y
1
.
Dv = y
2
– y
1
Gráficamente la distancia vertical se representa y se calcula de la siguiente manera:
y
1
y
2
A
Dv
B
x
x
Distancia horizontal (Dh)
La distancia horizontal entre dos puntos se calcula restando las abscisas de
los mismos. Estos es: Dado los puntos P(x
1
; y) y Q(x
2
; y); se calcula
Dh = x
2
– x
1; donde x
2
> x
1
En forma práctica lo calculamos asi Dh = x
mayor
– x
menor.
CAPÍTULO19
6768 m
300 m
El nevado Huascarán en el Perú, tiene una altura de 6768m. Un andinista escala el nevado y se encuentra a una
altura de 300 m ¿Cuánto le falta al andinista para llegar a la cima del Huascarán?
LA CARTOGRAFÍA
La Cartografía, de los términos
griegos khartes (mapa) y
graphein (escribir), es el estudio
y la práctica de la elaboración
de mapas. Quien se encarga
de hacer esto es el cartógrafo,
profesional en la materia capaz
de elaborar diversos tipos de
mapas con objetivos distintos.
La International Cartographic
Association (Asociación
Cartográfica Internacional) define
a la Cartografía como el arte,
la ciencia y la tecnología de la
elaboración de mapas y el estudio
de estos como documentos
científicos y obras de arte. Porque
aunque los mapas son objetos
de innegable utilidad, también
pueden constituir auténticos
ejercicios artísticos.
Los mapas son herramientas
imprescindibles en el mundo
globalizado, pero se han utilizado
desde hace miles de años. Casi
todas las personas han usado uno
en su vida, puesto que sirven para
localizar una ciudad, encontrar un
sitio en ella o ubicarse uno mismo.
Los turistas no pueden viajar sin
ellos, y para los geógrafos son un
recurso básico para efecto de sus
tareas.
http://www.geoenciclopedia.com/que-es-la-car-
tografia/
Dato histórico
70 Unidad 4 71Unidad 470 Unidad 4 71Unidad 4

Problema 1
Calcula la distancia vertical (Dv) entre los puntos
P(2; −5) y Q(2; 3).
Resolución
Graficando en el plano cartesiano:
Se tiene
Se tiene
y
mayor
= 3
y
menor
= –5
Luego
Dv = y
mayor
− y
menor
Dv = 3 − (−5)
Dv = 3 + 5 = 8
–5Q
P
2
Dv
3
Y
Rpta.: 8
Problema 2
Calcula la distancia vertical entre los puntos M(−3; 5)
y N(−3; 10).
Resolución
De los puntos
M (−3;5) y N (−3;10)
y
menor
y
mayory
mayor
= 10 y
menor
= 5
Luego Dv = y
mayor
− y
menor
Dv = 10 − 5 = 5
Rpta.: 5
Problema 3
Calcula F = Dv + Dh de los puntos P(8; −3) y Q(−5; 8).
Resolución
Como sabemos de los puntos
P (8; −3) y Q (−5; 8)
x
mayor
x
menor
y
mayor
y
menor
Luego
Dh = x
mayor
– x
menor
Dh = 8 −(−5) ∴ Dh = 13
Dv = y
mayor
– y
menor
Dv = 8 −(−3) ∴ Dv = 11
Reemplazando F = 11 + 13 → F = 24
Rpta.: 24
Problema 4
Dados los puntos A(5; −3) y B(8; −10), calcula F =
Dv
Dh
Resolución
Se observa de los puntos:
A(5; −3) y B (8; –10)
x
mayor
y
mayor
Luego
Dh = x
mayor
– x
menor
Dh = 8 −5 ∴ Dh = 3
Dv = –3 –(–10)
Dv = −3 + 10 ∴ Dv = 7
Reemplazando F = 7/3
Rpta.: 7/3
Problema 5
En el gráfico, determina tanβ.
X
Y
b
(–3; –4)
(1; 2)
Resolución
Entre los puntos del plano cartesiano sabemos que hay
una Dh y una Dv.
Determinado Dh y Dv
Para los puntos (1; 2) y (–3; – 4)
b
(–3; –4)
(1; 2)
Dv
Dv
70 Unidad 4 71Unidad 470 Unidad 4 71Unidad 4

Actividades I. x
mayor
= 1
II. x
menor
= –3
Dh = 1 –(–3)
Dh = 4
III. y
mayor
= 2
y
menor
= –4
Dv = 2 –(–4) Dv = 6
Luego tanb =
Dh
Dv
Reemplazando tanb =
4
6
=
2 3
Rpta.: 2/3
Problema 6
Calcula el perímetro del rectángulo ABCD.
X
B
Y
D
A(–6; 3)
C(3; –2)
Resolución
Veamos una forma práctica para determinar Dv y Dh,
en el gráfico.
X
Y
B
D
A(–6; 3)
C(3; –2)
Dv
Dh
x
mayor
y
mayor
y
menor
x
menor
Luego Dh = 3 – (– 6)
Dh = 9
Dv = 3 – (– 2)
Dv = 5
Luego el perímetro de rectángulo ABCD es
Perímetro
(ABCD)
= 2Dh + 2Dv
Reemplazando:
Perímetro
(ABCD)
= 2(9) + 2(5) = 28 u
Rpta.: 28 u
Problema 7
Calcula el área del cuadrado ABCD
A
Y
X
B
D(–4; –2) C(2; –2)
Resolución
Del gráfico
A B
D(–4; –2) C(2; –2)
Dh
x
menor
x
mayor
Calcula Dh
Dh = 2 – (–4)
Dh = 6
Luego ABCD es un cuadrado donde:
Área
(ABCD)
= (Dh)
2
Área
(ABCD)
= 36 u
2
Rpta.: 36 u
2
72 Unidad 4 73Unidad 4 72 Unidad 4 73Unidad 4

Actividades 1. Calcula el valor de tanf.
A) 1/3
B) 2/3
C) 7/3
D) 5/3
E) 4/2
2. Calcula el área del triángulo ABC.
A) 182 u
2

B) 183 u
2
C) 184 u
2
D) 186 u
2
E) 187/2 u
2
6. Determina el valor de F =
Dv + 2
Dh – 3
.
A) 1,2
(–5; 6)
(3; –1)
Dv
Dh
x
y
B) 1,7
C) 1,6
D) 1,5
E) 1,8
En equipo
7. Calcula el valor de M =
Dh × Dv
3 – Dv
.
Dh
Dv
(5; 1)
(–6; –3)
A) 44 B) –44 C) –42
D) 43 E) –43
8. Calcula el valor de cotb.
(1; –4)
(–8; 3)
y
x
b
A) 7/9 B) 1/9 C) 2/9
D) 5/9 E) 8/9
Por mi cuenta
1. Determina la distancia vertical (Dv) entre los
puntos P(2; –8) y Q (2; 10).
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
2. Calcula la distancia horizontal (Dh) entre los pun-
tos M(15; 5) y N(30; 5).
A) 13 B) 15 C) 12 D) 14 E) 11
3. Calcula la distancia vertical (Dv) entre los puntos
P y Q.
A) 10 P(–3; 10)
Q(–3; –4)
Dv
x
y
B) 12
C) 14
D) 13
E) 15
En pareja
4. Determina la distancia horizontal (Dh) entre los
puntos R y S.
A) 16
y
x
S(10; –2)R(–6; –2) Dh
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
5. Del gráfico, calcula el valor de F =
Dh – Dv
Dh + Dv
.
A) 5/6 y
y
Dh
Dv
(–4; 2) (1; 2)
(3; 1)
(3; –6)
B) –6
C) 6
D) 1/6
E) –1/6
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
A(–12; –8)
C(5; 3)
B
y
x
(–10; –4)
(4; 2)
x
y
72 Unidad 4 73Unidad 472 Unidad 4 73Unidad 4

GEOMETRÍA ANALÍTICA
PARTE III
Distancia entre dos puntos
Se tiene el punto A de coordenadas (x
1
; y
1
) y el punto B (x
2
; y
2
). Se desea
calcular la distancia d que hay entre A y B
x
1
x
2
A(x
1
; y
1
)
B(x
2
; y
2
)
C
d
y
2
y
1
Dv
Dh
Entre los puntos A y B hay una distancia horizontal (Dh) y una distancia
vertical (Dv); donde:
Dh = x
2
– x
1
Dv = y
2
– y
1
En el ABC aplicamos el teorema de Pitágoras.
d
2
= Dh
2
+ Dv
2
Donde: Dh
2
+ Dv
2
Reemplazando Dh y Dv se obtiene: d = (x
2
– x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2
Teorema
La distancia entre dos puntos cualesquiera A(x
1
; y
1
)

y B(x
2
; y
2
) en el plano
cartesiano, se calcula como:
d(A; B) =
(x
2
– x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2
CAPÍTULO20
HISTORIA DE LA
NAVEGACIÓN
Desde tiempos primitivos el
hombre ha sentido la necesidad
vital de adentrarse en el mar,
ya sea para obtener alimento o
para explorar nuevos horizontes.
Probablemente, en un principio
se valió de troncos, después de
balsas fabricadas con maderos
atados con lianas, luego de
canoas, piraguas y embarcaciones
cada vez más sofisticadas e
impulsadas por remos primero y
velas después. Fueron los inicios
de la navegación, la manera
más antigua de transportar
personas en forma masiva de la
Humanidad.
Aunque las primeras evidencias
de la inquietud del ser humano
por la navegación se remontan
a la época mesolítica, fue con
el desarrollo de las grandes
civilizaciones de la Antigüedad
cuando aparecieron las primeras
embarcaciones relativamente
avanzadas. Hace más de 5000
años los egipcios construyeron
diferentes tipos de barcos
para navegar por el Nilo, su
principal vía de comunicación.
Posteriormente, fenicios, griegos
y romanos se lanzaron a la
conquista del Mediterráneo con
naves cada vez más desarrolladas.
http://www.fundacionaquae.org/wiki-ex-
plora/23_navegantes/index.html
Dato histórico
Un grupo de andinistas instalan dos campamentos A y B en el nevado Yerupajá. Miguel desea saber como
puede determinar la distancia entre los dos campamentos, sabiendo que las coordenadas de los campamentos
son (x
1
; y
1
) y (x
2
; y
2
) respectivamente.
Yerupajá (6634 m, Cordillera de Huayhuash)
B
A
74 Unidad 4 75Unidad 474 Unidad 4 75Unidad 4

Problema 1
Calcula el área del cuadrado ABCD.
D(3; 1)
C(–1; 4)
B
A
Resolución
Calculamos la distancia L entre los puntos C y D.
D(3; 1)
C(–1; 4)
B
A
L
L
L
L
Por el teorema:
L =
(–1 – 3)
2
+ (4 – 1)
2

L = 4
2
+ 3
2
= 16 + 9
L = 25
∴L = 5
Luego el área del cuadrado ABCD es L
2
.
Reemplazando
Área
(ABCD)
= L
2
= 5
2
= 25 u
2
Rpta.: 25 u
2
Problema 2
Del gráfico calcula la distancia d entre los puntos
A y B?
B(1; 2)
A(4; 5)
d
Resolución
Primero tomamos la diferencias A – B. Luego, por el
teorema de Pitágoras:
B(1; 2)
A(4; 5)
d
d = (4 – 1)
2
+ (5 – 2)
2
d = 3
2
+ 3
2
d = 9 + 9
d = 18
9 × 2
= 32
Rpta.: 32
Problema 3
Calcula la distancia entre los puntos M(5;6) y N(3; –1).
Resolución
Se tiene los puntos:
M(5; 6)
N(3; –1)
Diferencia M – N por el
teorema de Pitágoras.
d = (5 – 3)
2
+ [6 – (–1)]
2
d = 2
2
+ 7
2
d = 4 + 49 = 53
¿Qué hubiera sucedido si hacemos la diferencia en
sentido contrario, N – M?
M(3; –1)
N(5; 6)
Diferencia N – M por el
teorema de Pitágoras.
d = (3 – 5)
2
+ (–1 – 6)
2
d = (3 – 5)
2
+ (–1 – 6)
2
d = 4 + 49 = 53
Obtendríamos la misma respuesta
Rpta.: 53
Problema 4
Calcula el perímetro de la región triangular ABC,
siendo A(3;7), B(23;17), C(15;2) sus vértices.
Resolución
A(3; 7)
B(23; 17)
C(15; 2)
a
c
b
Perímetro de la región ABC
2p = a + b + c
Distancia entre dos puntos:
a = (23 – 15)
2
+ (17 – 2)
2
→ a = 17
b = (11 – 3)
2
+ (2 – 7)
2
→ b = 13
c = (23 – 3)
2
+ (17 – 2)
2
→ c = 105
En (I): 2p = 10(3 + 5)
Rpta.: 10(3 + 5)
74 Unidad 4 75Unidad 474 Unidad 4 75Unidad 4

Actividades Por mi cuenta
1. Del gráfico, calcula d.
A) 13
(6; 4)
(4; 1)
dB) 10
C) 11
D) 2 13
E) 7
2. Determina la distancia entre los puntosP(10; 12)
y Q(5; 7).
A) 2 2 B) 3 2 C) 4 2
D) 5 2 E) 6 2
3. Calcula la distancia entre los puntos M(6; 3) y
N(2; –1)
A) 3 2 B) 2 2 C) 4 2
D) 2 E) 5 2
En pareja
4. Del gráfico, calcula el valor de n.
(–1; 6)
(–2; 4)
n
A) 5 5 B) 4 5 C) 2 5
D) 3 5 E) 5
5. En el plano cartesiano se ubican los puntos S(–
2; –3) y T(–5; –7). Determina la distancia entre
los mismos.
A) 3 B)5 C) 2
D) 1 E) 4
6. Determina el valor de F =
d
1
d
2
.
B(2; –6)
C (1; –4)
A(5; –8)
d
2
d
1
A)
13
5
−
B) 2
13
5
C)
5
13

D)
13
5
E)
5
13
En equipo
7. Calcula el valor de E =
d
1 +
d
2
d
3
.
A(–2; 4)
E(7; –1)
F(4; 3)
B(3; 4) C(2; 6)
D(2; 1)
d
1
d
3
d
2
A) 1 B) 3 C) 1/2
D) 2 E) 1/3
8. Calcula el perímetro del triángulo ABC.
A) 2(9 – 7)u B(–1; 4)
C(–5; 1)
A(7; 6)
B) (9 – 7)u
C) 2(9 + 17)u
D) –2(9 + 7)u
E) 2( 7 – 9)u
1. Calcula el área del rectángulo ABCD.
A) 5 2
B) 6 2
C) 7 2
D) 8 2
E) 10 2
2. Determina el perímetro del cuadrado PQRS.
A) 10
B) 2 10
C) 3 10
D) 4 10
E) 5 10
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
C(1; –3)
B(3; –5)
A(6; –9)
D
S
R
D(3; –4)
P(6; –5)
76 Unidad 4 77Unidad 476 Unidad 4 77Unidad 4

Actividades GEOMETRÍA ANALÍTICA
PARTE IV
Las coordenadas de P será
P =

–8 + 2
2
;
1 + 9
2
 
→ P = (–3; 5)
Coordenadas del punto medio de un segmento
Para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento solo es
necesario conocer las coordenadas de sus extremos.
Se tiene el siguiente gráfico:
y
x
A(x
2
; y
2
)
B(x
1
; y
1
)
M(x; y)
Donde M: Punto medio del segmento AB (AM = MB) de
coordenadas (x; y).
Se tiene:
x =
x
1
+ x
2
2 y =
y
1
+ y
2
2
Luego las coordenadas de punto medio de AB están dadas por:
M =
 
x
1
+ x
2
2
;
y
1
+ y
2
2
 
CAPÍTULO21
En el Coropuna se ubican dos campamentos Q y R ubicados en las coordenadas que se indican en la figura.
Se desea instalar un tercer campamento P en el medio de los otros dos campamentos. ¿Cuál será las
coordenadas del punto P?
Coropuna (6 125 m, Cordillera Ampato)
P
R(2; 9)
Q(–8; 1)
COORDENADAS DEL
BARICENTRO DE UN
TRIÁNGULO
El baricentro de un triángulo
con vértices A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) y
C(x
3
; y
3
) tiene como coordenadas:
C( x
3
; y
3
)
B( x
2
; y
2
)
A( x
1
; y
1
)
G
Y
X
Se calcula:
xx x++
;
yy y
G
33
3 3
=
++12 12
dn
Donde G : Baricentro del
triángulo ABC
Ejemplo
Dados los vértices de un
triángulo A(–3, –2), B (7, 1) y
C(2, 7), calcula las coordenadas
del baricentro.
Resolución
Por propiedad se tiene que:
;
;
;
G
3
372
3
217
G
3
6
3
6
G22
=
−++− ++
=
=
b
b
^h
l
l
Observación
76 Unidad 4 77Unidad 476 Unidad 4 77Unidad 4

Problema 1
Del gráfico; determina las coordenadas del punto M.
R(3; 2)
M(x; y)
S(7; 6)
Resolución
Se obseva que M es el punto medio del segmento RS.
Se cumple:
x =
3 + 7
2
=
10
2
→ x = 5 y =
2 + 6
2
=
8
2
→ y = 4
Las coordenadas de M es (5; 4)
Rpta.: (5; 4)
Problema 2
Dados los puntos P(3; 5) y Q(–9; 7), calcula las
coordenadas del punto medio del segmento PQ.
Resolución
Sea el punto M(x; y) punto medio del segmento PQ .
Podemos calcular directamente las coordenadas x e y
de M, es :
De los puntos:
P(3; 5)
Q(–9; 7)
x =
3 – 9
2
+
–6
2
→ x = –3 y =
5 + 7
2
+
12
2
→ y = 6
Las coordenadas del punto medio son M(–3; 6)
Rpta.: (–3; 6)
Problema 3
Del siguiente gráfico, determina el valor de:
E =
x + y
x – y
.

B(1; 2)
D(14; 10)
C(–8; 4)A(3; 6)
P
Q
M(x; y)
Resolución
I. Calculando las coordenadas de P (punto medio):
P


3 + 1
2
;
6 + 2
2
 
P
 4
2
;
8 2

P(2; 4)
II. Calculando las coordenadas de Q (punto medio):
Q
 –8 + 14
2
;
4 + 10
2
 
Q
 6
2
;
14
2


Q(3; 7)
III. Como M es punto medio de PQ:

P(2; 4)
Q(3; 7)
M(x; y)
M
 2 + 3
2
;
7 + 4
2
 

M
 5
2
;
11
2


= M (x; y)
Donde x =
5
2
; y =
7 2

IV. Reemplazando:
E =
5 2
+
7 2
5 2
–
7 2
=
–2
2
12
2
=
12 –2
= –6
Rpta.: –6
Problema 4
Calcula el valor de E = x · y.
A(–7; 4)
B(3; 6)
M(x; y)
78 Unidad 4 79Unidad 4

Resolución
Del gráfico M, es punto medio del segmento.
Determinando las coordenadas (x; y)
de M donde:
A = (–7; 4)
B = (3; 6)
x =
–7 + 3
2
=
–4
2
= –2 y =
4 + 6
2
=
10
2
= 5
Piden E = (–2)5 = –10
Rpta.: –10
Problema 5
Determina el valor de E =
a + b
a – b
.
M(a; 4)
N(6; b)
(5; –4)
P
Resolución
El punto "P" es punto medio del segmento MN.
Por lo anterior se cumple:
5 =
6 + a
2
→ 10 = 6 + a → a = 4
–4 =
4 + b
2
→ 8 = 4 + b → b = –12
Piden:
E =
4 – 12
4 – (–12)
=
–8
4 + 12
=
–8
16
= –
1 2
Rpta.: –
1 2
Problema 6
Determina las coordenadas del punto M.
C(8; –12)
B(–1; 10)
A(–3; –6)
Q
M
Resolución
Q punto medio de AB. Por propiedad:
Q =


–3 – 1
2
;
–6 + 10
2
 
=
 –4
2
;
4
2



= (–2; 2)
M = punto medio de CQ.
Por propiedad:
C(8; –12)
Q(–2; 2)
M
M =
 8 – 2
2
;
2 – 12
2
 
=
 6
2
;
–10
2


= (3; –5)
Rpta.: (3: –5)
Problema 7
Calcula el valor de E =
x – y
x + y
(ABCD: paralelogramo).
A
B(–2; y)
E(3; 6)
D(x; 4)
C
Resolución
Se observa lo siguiente:
B(–2; y)
E(3; 6)
D(x; 4)
E es punto medio de BD.
Por propiedad:
3 =
x – 2
2
→ 6 = x – 2 → x = 8
6 =
y + 4
2
→ 12 = y + 4 → y = 8
Piden E =
8 – 8
8 + 8
=
0
16
= 0
Rpta.: 0
78 Unidad 4 79Unidad 4

Actividades 5. Calcula el valor de E =
x
y
.
A) 5/9
R(1; 6)
M(x; y)
S(6; 3)
B) 7/9
C) 4/9
D) 1/9
E) 8/9
6. Calcula el valor de M =
2a + b
a – b
.
A) 14/3
L(a; –5)
N(4; –4)
T(–2; b)
B) 15/3
C) 11/13
D) 16/13
E) 17/13
En equipo
7. Determina el valor de P = (x + y)
2
.
A) 25
Q(–3; y)
M(x; 4)
R(7; 5)
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29
8. Determina las coordenadas del punto R
T
S(5; 3)
P(3; 4)
P(7; 5)
R(x; y)
A) ;
2
9
4cm B) ;
2
9
2
11−−
cm C) ;
2
11
9cm
D) ;
2
9
2
11−
cm E) ;
2
11
9
−
−cm
Por mi cuenta
1. Calcula las coordenadas del punto medio del seg-
mento AB , siendo A(–8; 8) y B(–12; 6).
A) (–10; 7) B) (10; 7) C) (10; –7)
D) (–10; –7) E) (7; –10)
2. Determina las coordenadas del punto M.
A) (5; 1)
R(–6; –10)
Q(–4; 8)
M(x; y)
B) (5; –1)
C) (–5; –1)
D) (–5; 1)
E) (–1; 5)
3. Calcula las coordenadas del punto medio del seg-
mento PQ , donde P(–13; 5) y Q(4; 6).
A) ;
2
9
2
11
cm
B) ;
2
9
2
11−−
cm
C) ;
2
11
9cm
D) ;
2
9
2
11−
cm
E) ;
2
11
9
−
−cm
En pareja
4. Del gráfico, calcula el valor de E =
x – y
x + y
.
A) 2 M(4; –5)
P(x; y)
N(2; 3)
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
1. Calcula el valor de E =
a – b
a + b
.
A) 1/2
B) 1
C) 2
D) –1/2
E) –1
2. Determina el valor de E =
2a + 3
b + 2
(ABCD: Cuadrado)
A) 11/4
B) 13/4
C) 15/4
D) 17/4
E) 19/4
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
A(3; b)
C(5; 8)
D
B
M(a; 5)
C(–11; –5)
A(3; 8)
P
Q
D(5; –1)
R(a; b)
B(7; 10)
80 Unidad 4 81Unidad 480 Unidad 4 81Unidad 4

Actividades Por el radio vector tenemos:
Miguel = 300
2
+ 400
2
= 500 m
Aníbal = 1200
2
+ 500
2
= 1300 m
Se obtiene que Anibal está más alejado del campamento base.
Radio vector
Se define el radio vector (r) como la distancia de un punto cualquiera en el
plano cartesiano al origen de coordenadas.
Se tiene el punto Q(x; y) en el plano cartesiano:
Donde r: Radio Vector
En el OHQ, aplicamos el teorema de
Pitágoras:
r
2
= x
2
+ y
2
Así el radio vector r de punto Q(x ; y) es:
r = x
2
+ y
2
O(0; 0)
Q(x; y)
y
Y
x
yr
H
X
GEOMETRÍA ANALÍTICA
PARTE V
Un grupo de andinistas han estable-
cido su campamento base en el pun-
to A y desde allí se dirigen al nevado
Huandoy. Se toma como referencia
un plano cartesiano donde A es su
origen. Si el andinista Miguel se ubi-
ca en loa coordenada (300; 400) y el
andinista AnÍbal se ubica en el punto
(1200; 500). ¿Quién está más alejado
del campamento base A?
Huandoy a 6395 msn (Cordillera Blanca)
A X
Y
Matemática
en la vida
CAPÍTULO22
Ejemplo
Del gráfico, calcula el radio vector (r)
del punto Q.
0(0,0) 6
8
y
x
Q
Resolución
Sabemos que:
r = x
2
+ y
2
Para el punto Q.
x = 6, y = 8 → Q(6; 8)
Reemplazando:
r = 6
2
+ 8
2

r = 10
APORTES DE LA
TRIGONOMETRÍA
La trigonometría reúne en una
sola teoría dos tipos diferentes
de aplicaciones. Los métodos
trigonométricos se utilizan para
estudiar relaciones numéricas
entre los lados y los ángulos de
los triángulos y, por otro lado,
analizar los problemas relativos
a fenómenos periódicos.
Ejemplos de aplicación del
primer tipo tenemos en el
deslindamiento de terrenos,
Astronomía, Navegación,
Mecánica; del segundo tipo
tenemos aplicaciones en estudio
de fenómenos eléctricos, Teoría
de las vibraciones y en otras
ramas de la ciencia e ingeniería
moderna.
80 Unidad 4 81Unidad 480 Unidad 4 81Unidad 4

Actividades
Problema 4
Determina el radio vector del punto M(–1; 2).
Resolución
Sabemos que:
r = x
2
+ y
2
Para el punto M(–1; 2):
x = –1, y = 2
Reemplazando:
r
x
=
(–1)
2
+ (2)
2

r
x
=
1 + 4
r
x
=
5
Rpta.: 5
Problema 5
Determina el radio vector del punto M.
C(3; 7)
M(x; y)
B(8; 4)
A(2; 6)
Q
Resolución
I. Q es punto medio
de BD; sus coorde-
nadas son:
Q =


2 + 8
2
;
6 + 4
2
 

Q = (5; 5)
II. M es punto medio
de QC; sus coorde-
nadas son:

C(3; 7)
M(x; y)
Q(5; 5)
M =


5 + 3
2
;
5 + 7
2
 
M = (4; 6)
III. Radio vector de M:
r = 4
2
+ 6
2
r = 16 + 36
r = 52
r = 4 × 13
r = 213
Rpta.: 2 13
Problema 1
En el gráfico calcula el radio vector(r) del punto R
R(–3; –4)
(0; 0)
r
Y
X
Resolución
I. Por teoría
r = x
2
+ y
2
II. Para el punto R(–3; –4)
↓ ↓
x y
x = –3
y = –4
III. Reemplazando:
r = (–3)
2
+ (–4)
2
r = 9 + 16
r = 5
Rpta.: 5
Problema 2
Calcula el radio vector (r) del punto P(– 7; 3)
Resolución
I. Se sabe r = x
2
+ y
2
II. P(– 7; 3)

↓ ↓
x y
x = – 7
y = 3
III. Reemplazando
r = –7
2
+ 3
2
r = 7 + 9
r = 16 = 4
Rpta.: 4
Problema 3
Del gráfico calcula el valor de r.
Q –1; 3
Y
X
r
Resolución
Q –1; 3
Y
X
r
–1
3
I. Por teoría
r = x
2
+ y
2
II. Para el punto
Q(–1; 3)

↓ ↓
x y
x = –1
y = 3
III. Reemplazando:
r = (–1)
2
+ 3
2
r = 1 + 3
r = 4= 2
Rpta.: 2
82 Unidad 4 83Unidad 4 82 Unidad 4 83Unidad 4

Actividades Por mi cuenta
1. Determina el radio vector del punto Q(–5; –12).
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
2. Calcula el radio vector r
A) 11
Y
X
A(–9; –12)
r
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
3. Determina el radio vector r.
A) 1
–3
6
B
Y
X
r
B) 3
C) 2
D) –3
E) –1
En pareja
4. Determina el radio vector del punto Q.
A) 41
Q
–4
Y
X
5
B) 40
C) 47
D) 37
E) 43
5. Determina el valor de E =
r
1
+ r
2
r
2
.
A) 1/3
y
x
A –1; 15
B –5; –2
r
1
r
2
B) 2/3
C) 7/3
D) 5/3
E) 4/3
6. Indica qué punto(s) se encuentra(n) mas alejado(s)
del origen de coordenadas, siendo los puntos:
P – 8; – 1 ; Q – 2; – 7 y S 7; 9
A) P y Q B) P y S C) Sólo P
D) Sólo Q E) Sólo S
En equipo
7. Calcula el valor de m.
A) 0

Y
X
(–1; m)
5
B) 1
C) –1
D) 2
E) –2
8. Calcula el valor de a.
A) 6
37
Y
X
(a; –1)
B) –6
C) 5
D) –5
E) 4
1. Determina el radio vector del punto M
(ABCD: Paralelogramo).
A) 22
D(7;
B(3;
A
C
M(x; y)
B) 29
C) 23
D) 26
E) 21
2. Determina el área del rectángulo PQRS.
A) 9u
2

B) 8u
2
C) 12u
2
D) 10u
2
E) 13u
2
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
P(–4; –3)
Y
Q
S
R 3; –1
82 Unidad 4 83Unidad 482 Unidad 4 83Unidad 4

(+)
(–)
Sentido
antihorario
Sentido
horario
Ángulos en posición normal
Un ángulo trigonométrico se encuentra o está en Posición normal cuando
su Lado Inicial (donde empieza el ángulo) coincide con el Semieje Positivo
de las abscisas, su Vértice se encuentra en el punto (0; 0) que es el origen
del plano cartesiano y su Lado final puede pertenecer a cualquiera de los
cuadrantes.
Graficamente se tiene:
Lado final de a
Lado final de b Lado final de q
Lado inicial
de q; b y a
Vértice
b
q
X
Y
a
(0; 0)
Donde:
β: es un ángulo en posición normal, es positivo y ∈ al II C.
θ: es un ángulo en posición normal, es positivo y ∈ al I C.
α: es un ángulo en posición normal, es negativo y ∈ al III C.
Si el lado final cae en cierto
cuadrante, entonces el ángulo
pertenece a dicho cuadrante.
α
θ
β
1. α: Se encuentra en P.N
→ α ∈ IC
2. β: Se encuentra en P.N
→ β ∈ IIC
3. θ: Se encuentra en P.N
→ θ ∈ IVC
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
CAPÍTULO23
Dibujando en la figura los ángulo en posición norma, se deduce
que Miguel se halla en el IIC y Aníbal en el IC
O
y
x
Miguel(–300; 500)
Aníbal(100; 200)
IIC IC
IVCIIIC
Observación
Para determinar la posición de los an-
dinistas al escalar el nevado Huantsán,
se establece el campamento base O. La
posición se determina dibujando el án-
gulo en posición normal del lugar don-
de se halla el andinista. Miguel se ubica
en el punto (–300; 500) y AnÍbal en el
punto(100; 200) ¿En qué cuadrantes se
ubican los andinistas?
Nevado Huantsán (6369 m) Cordillera Blanca
Ten presente
5000–5000
3395
–3000
X
Y
O
84 Unidad 4 85Unidad 484 Unidad 4 85Unidad 4

También tenemos
el siguiente
gráfico:
q
w
b
Y
X
En el gráfico se observa los
ángulos β; θ y ω no están
en posición normal.
Ángulos que pertenecen a algún cuadrante
De acuerdo a su magnitud y a su signo, un ángulo puede pertenecer a uno
de los cuadrantes.
(II C) (I C)
(III C) (IV C)
(150°; 130°; 100°...)
(185°; 200°; 260°...)(280°; 300°; 340°...)
180°
90°
(+90°)
(+90°)( +90°)
(+90°)
270°
360°
0°
(II C) (I C)
(III C) (IV C)
(–190°; –240°; –250°...)
(–100°; –150°; –175°...)
(–290°; –320°; –350°...)
(–20°; –40°; –80°...)
–180° 0°
–270°
(–90°)
(–90°) (–90°)
(–90°)
–90°
–360°
Problema 1
Del gráfico indica cuántos ángulos son positivos.

Y
X
Resolución
Sabemos que los ángulos positivos tienen sentido
antihorario.
Del gráfico los ángulos que están en este sentido son: 4.
Rpta.: 4
Problema 2
¿Qué ángulos están en posicional normal?
Y
X
a
w
b
q
f
Resolución
Por teoría se observa que los ángulos ω; θ y β están en
posición normal.
Rpta.: ω; θ y β
Ten presente
Se dice que un ángulo en
posición normal pertenece a
algún cuadrante, cuando su lado
final cae en tal cuadrante
Ángulo de II C
X
Y
Ángulo de IV C
X
Y
84 Unidad 4 85Unidad 484 Unidad 4 85Unidad 4

Actividades Problema 3
Del gráfico, cuantos ángulos están en sentido horario.

qb
a
f
γ
w
Y
X
Resolución.
Del gráfico se observa
que los ángulos q, b, f, γ,
están en sentido horario.
Sentido horario
q
b
f
γ
Y
X
Problema 4
Del gráfico, cuantos ángulos están en sentido antiho-
rario.

b
a q
w
f
Y
X
Resolución
Sentido antihorario
Del gráfico, se observa que los ángulos f, w, q, están en
sentido antihorario.
q
wf
Y
X
Problema 5
Del gráfico, calcula el valor de E =
# Ángulos negativos
# Ángulos positivos

Y
X
Resolución
Del gráfico, se observa:
# ángulos positivos = 4
# ángulos negativos = 4

Reemplazando:
E =
4
4
E = 1
Rpta: 1
Problema 6
Del gráfico, calcula el valor de q.

q
30°
Y
X
Resolución
X
Y
q
30°
Del gráfico, se observa q:
es ángulo negativo.
–q + 30° + 90° = 360°
–q + 120° = 360°
q = – 240°
Rpta: –240°
86 Unidad 4 87Unidad 4 86 Unidad 4 87Unidad 4

Actividades Por mi cuenta
1. Indica qué ángulo(s) no está(n) en posición normal.
A) a y q
a
X
Y
q
X
Y
b
X
Y
B) a y b
C) q y b
D) Sólo q
E) Sólo b
2. Indica qué ángulo(s) no está(n) en posición normal.
A) b y f
f
Y
X
q
Y
X
b
Y
X
B) q y f
C) b y q
D) Ninguno
E) Todos
3. En el gráfico, ¿cuántos ángulos son positivos?
A) 0 Y
X
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
En pareja
4. En el gráfico, ¿cuántos ángulos poseen sentido ho-
rario?
A) 1
X
Y
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5. Indica qué ángulo están en sentido antihorario.
A) f; a; b
a
q
b
w
f
g
Y
X
B) b; q; g
C) a; g; b; q
D) w; q; b; a
E) f; q; b
6. En el gráfico, calcula el valor de:
E =
# de ángulos negativos
# de ángulos positivos
A) 1/2
Y
X
B) 3/2
C) 2
D) 2/3
E) 1/3
En equipo
7. Qué gráfico representa el ángulo –220°; en posi-
ción normal.
A) I
(I)
X
Y
(II)
X
Y
(III)
X
Y
B) II
C) I y III
D) III
E) Ninguno
8. Relaciona correctamente.
A) Ic; IIb; IIIa
B) Ia; IIb; IIIc
C) Ic; IIa; IIIb
D) Ib; IIa; IIIc
E) Ia; IIc, IIIb
1. Calcula el valor de β
A) –300°
B) –290°
C) –320°
D) –310°
E) –280°
2. Determina el valor de E =
f
a
.
A) 6/7
B) 7/6
C) 5/6
D) 6/5
E) 7/5
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
(a)
I) –250°
(b)
II) 310°
(c)
III) –350°
Y
X X X
Y Y
60°
40°
a
f
Y
X
X
Y
40°
b
86 Unidad 4 87Unidad 486 Unidad 4 87Unidad 4

Seno, coseno y tangente en el sistema cartesiano
Sea (4; 3) un punto del
lado final del ángulo q:
X
Y
r
(4; 3)
q
Sea (x; y) un punto del
lado final del ángulo q.
r
x
y
y
(x; y)
q
Donde r es el radio
vector y r = x
2
+ y
2
Trazamos la abscisa y
la ordenada del punto.
X
Y
5
3
44
3
(4; 3)
q
r
2
= 4
2
+ 3
2
⇒ r = 5
En esta figura
definimos las R. T de
q.
tanq =
y
r
=
Ordenada
Abscisa
cosq =
x
r
=
Abscisa
radio vector
senq =
y
r
=
Ordenada
radio vector
En esta figura
definimos las R.T. de
q.
senq =
3
5
cosq =
4 5
tanq =
3 4
Esta definición es
válida para ángulos en
cualquier cuadrante.
Siempre se debe
respetar el signo de x e
y en (x; y).
Tomando como origen de coordenadas el campamento base ubicada en el punto O del nevado Alpamayo,
un andinista se ubica en el punto A, tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es la pendiente a la cual se
halla el andinista tomando como referencia el campamento base?
Nevado Alpamayo
5497
A(400; 1500)
O
b
Del nevado ubicamos el
punto A y graficamos las
componentes de dicho punto.
Luego en la figura adjunta
la pendiente del punto esta
determinada por la tangente
del ángulo b, es decir
tanb =
1500
400
=
15
4
1500
400O
Y
A
X
b
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE
ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUDCAPÍTULO24
TYCHO BRAHE
Astrónomo danés, considerado
el más grande observador del
cielo en el período anterior a la
invención del telescopio.
Hizo que se construyera
Uraniborg, el primer instituto
de investigación astronómica.
Los instrumentos diseñados
por Brahe le permitieron medir
las posiciones de las estrellas y
los planetas con una precisión
muy superior a la de la época.
Johannes Kepler fue invitado
a trabajar con Brahe y, tras
su muerte, las medidas sobre
la posición de los planetas, y
las medidas del movimiento
de Marte, en particular de su
movimiento retrógrado, pasaron
a manos de Kepler y fueron
esenciales para que estableciera
las tres leyes del movimiento
planetario, estas leyes sirvieron
de base a la Ley de la Gravitación
Universal de Newton.
Dato histórico
88 Unidad 4 89Unidad 488 Unidad 4 89Unidad 4

Problema 1
En la figura, calcula las razones trigonométricas de q
(seno, coseno y tangente)
Y
X
(–4; –3)
r
q
Resolución
Cálculo de r:
r = (–4)
2
+ (–3)
2
⇒ r = 5
(–4; –3)
–3
–4
–3
5
q
senq =
–3
5
→ senq = –
3
5

cosq =
–4
5
→ cosq = –
4 5

tanq =
–3 –4
→ tanq =
3 4

Problema 2
Calcula el valor de tanf.
–2; – 7
Y
X
f
Resolución
–2; – 7
Y
X
f
X Y
Sabemos que: tanf =
y x
En el gráfico
x = –2
y = –7
Reemplazando:
tanf =
–2
– 7
=
2
7
7
Rpta.:
2 7
7
Problema 3
Si: P(–3; 2) es un punto del lado final del ángulo en
posición normal α, calcula el valor de:
E = 213 senα – 6tanα.
Resolución
Aplicando la regla práctica, esto es:
P(–3; 2) → x = –3
y = 2
Determinamos el radio
vector:
r = (–3)
2
+ 2
2
r = 13
Reemplazando:
E213
13
2
6
3
2
2
= −
−
f ep o
E = 4 + 4
E = 8
Rpta.: 8
Problema 4
Determina el valor de n, si tana =
–3
5
(n; –6)
a
Resolución
I. Del gráfico observamos: x = n
y = –6
II. Luego: tana =
y
x

tana =
–6
n
(1)
III. Dato: tana =
–3
5
(2)
I V. Igualando (1) = (2):
–6
n
=
–3
5
21
n = 10
Rpta.: 10
88 Unidad 4 89Unidad 488 Unidad 4 89Unidad 4

Actividades Problema 5
Del gráfico, calcula el valor de senβ.
Y
X
(8; –9)
(2; –3)
M
b
Resolución
Por punto medio, las coordenadas de M son:
M


2 + 8
2
;
3 – 9
2
 
∴M(5; –3)
Y
X
(8; –9)
(2; –3)
M(5; –3)
b
Piden senb; donde senb =
y
x
Del gráfico: M(5; –3)
x = 5; y = –3
Calculando el radio vector:
r = 5
2
+ (–3)
2
r = 25 + 9
r = 34
Reemplazando, se tiene:
senb =
–3
34

Rpta.:
–3
34
Problema 6
Del gráfico, calcula el valor de E = sena + cosb.
(–6; 8)
(3; 4)
b
a
Resolución
(–6; 8)
(3; 4)
b
a
4
8
–6 3
Para a: x = 3; y = 4; r = 3
2
+ 4
2
= 5
sen a =
y
r
=
4 5
Para b: x = – 6; y = 8; r = (–6)
2
+ 8
2
= 10
cosb =
x
r
=
–6 10
=
–3 5
Reemplazando:
E =
4 5
+
(–3)
5
E =
1 5
Rpta.:
1
5

Problema 7
Del problema anterior. Calcula E =
tanb – tana
1 + tanb · tana
Resolución
tanb =
y
x
=
8
–6
=
–4
3
tana =
y x
=
4 3
Reemplazando:
E =
1 +

– 4
3
  4
3


–4
3
–
4
3
E =
24
7
Rpta.:
24
7

90 Unidad 4 91Unidad 4 90 Unidad 4 91Unidad 4

Actividades Por mi cuenta
1. Calcula el radio vector en el siguiente gráfico
A) 16
(–2; –3)
b
Y
X
B) 13
C) 15
D) 2 13
E) 3 13
2. Del gráfico determina el valor de cosf
A) 2/3
–2; 5

Y
X
f
B) 3/2
C) -2/3
D) –2/3
E) 3/5
En pareja
3. Calcula el valor de E = 10senθ + 3tanθ.
A) –6 Y
X
(–1; 3)
q
B) –5
C) –4
D) –3
E) –2
4. Si P(7; –2) es un punto del lado final del ángulo
en posición normal β, calcula el valor de
M = 11senβ + 14tan
2
β.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
5. Del gráfico, calcula el valor de P = tanα · senβ
A) –2/5
a
b
q
(4; –3)
(–3; 2)
Y
X
B) 5/2
C) 2/5
D) –5/2
E) 1/5
6. Calcula el valor de x, si tanβ =
–4
3
.
A) 6
b
Y
X
(x; –8)
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
En equipo
7. Determina el valor de E =
x
y
.
Si tana = –3
tanb = 2
a
b

(x; –4)
(–2; y)
X
Y
A) 1/3 B) 3 C) –3 D) 2/3 E) –1/3
8. Calcula el valor de E = 4tanα – 13cosβ
A) 7 Y
X
(–2; 3)
(1; 2)
a
b
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
1. Calcula el valor de tanα.
A) –3/2
B) 3/2
C) 2/3
D) –2/3
E) 1/3
2. Calcula el valor de E =
tanb
tanq

A) 1/14
B) 3/14
C) 14
D) 14/3
E) 5/14
¿Qué apliqué para resolver los problemas del capítulo? ¿Qué dificultades tuve para resolver algunos
problemas? ¿Cómo los superé?
Reflexiono
Olimpiadas
(–2; –3)
(10; 15)
XQ
a
Y
(1; –6)
(–7; 3)
q
b
X
Y
90 Unidad 4 91Unidad 490 Unidad 4 91Unidad 4

La historia de la
trigonometría y de las
funciones trigonométricas
podría extenderse por
más de 4000 años. Los
babilonios determinaron
aproximaciones de
medidas de ángulos o
de longitudes de los
lados de los triángulos
Interrogación
1. ¿De qué trata la situación?
2. ¿De qué datos dispones?
3. ¿Qué datos conoces?
Orientación dirigida
4. ¿Qué tienes que averiguar?
Realizar la formulación matemática
5. Realiza una gráfica que representa la situación
Explicación
6. ¿Qué conceptos matemáticos están presentes en el problema?
7. ¿Cuál es la respuesta del problema?
Orientación libre
8. Si la relación entre v1 y v2 fuera como 5 es a 8, ¿cuál es el ángulo de re-
fracción?
Integración
9. Completa los siguientes enunciados:
El cociente entre el seno y el coseno da como resultado la razón
trigonométrica ...
El seno de un ángulo del I cuadrante es igual al coseno del complemento
del ángulo en el cuadrante ...
LEY DE
SNELL - DESCARTES
La Ley de la Refracción de Snell-Descartes relaciona las velocidades de la
luz en dos medios distintos y contiguos, con los ángulos de incidencia y
refracción de la luz. Si v1 es la velocidad de la luz en el medio superior,
v2 es la velocidad de la luz en el medio inferior y denotamos por i y r los
ángulos de incidencia y refracción como se ve en la figura, y se aprecia la
Ley de Snell-Descartes.
Supongamos que los dos medios en cuestión son aire y agua. Sea que
la razón de v1 a v2 es como 5 es a 6. Si el ángulo de incidencia es de 30
grados, entonces, ¿cuál es el ángulo de refracción?
r
i
sen
sen
v2
v1
=
Aire
N
Agua
r
i
Paso a paso
92 Unidad 4 MTUnidad 4

Trigonometría 1ro de Secundaria - LOGIMATIC Ccesa007.pdf

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Trigonometría 1ro de Secundaria - LOGIMATIC Ccesa007.pdf

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