UNIDAD II_Parte II.pptx estadistisca y probabilidades

El archivo contiene información acerca del cálculo de probabilidades.

1. Universidad Nacional de Misiones Facultad de Ciencias Económicas ESTADÍSTICA I UNIDAD II Probabilidad y Distribuciones de Probabilidad Parte II

2. Contenidos

3. Variabla Aleatoria Como primera interpretación se podría decir que una variable aleatoria es aquella que asume valores de acuerdo con los resultados de un experimetno aleatorio. Variable aleatoria: es una descripción numérica de un experimento aleatorio. ( Estadística para Administración y Economía , Anderson, Sweeney y Williams) Variable aleatoria: es una función de valor real con dominio en el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. ( Estadística para las Ciencias Administrativas , Lincoln Chao)

4. EJEMPLO 1 Variable Aleatoria E1: lanzar 3 veces una moneda equilibrada Espacio Muestral S= Definiendo la variable X: número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda equilibrada l os eventos del espacio muestral se pueden poner en correspondencia con un número real como se muestra a continuación: A: No obtener cara al lanzar 3 veces una moneda. B: Obtener una cara al lanzar 3 veces una moneda. C: Obtener dos caras al lanzar 3 veces una moneda. D: Obtener tres caras al lanzar 3 veces una moneda.   X es una variable aleatoria discreta , toma un número finito de valores. Como los resultados son igualmente probables, se puede utilizar la definición clásica para calcular la probabilidad de cada resultado.

5. Distribución de Probabilidad Variable Aleatoria Discreta Definición La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es cualquier recurso: tabular, gráfico o fórmula que pone en correspondencia los valores de la variable con su correspondiente probabilidad. La función que permite calcular las probabilidades de cada uno de los valores de una variable aleatoria discreta recibe el nombre de función de probabilidad y se la denota con: o bien con Cualquiera sea la forma en la que se presente la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, deben cumplirse los siguientes requisitos: Valor Esperado Varianza  

6. 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 Distribución de Probabilidad X  P(X)=x   1 2   3   Distribución de Probabilidad X  P(X)=x 1 2 3 X: número de caras obtenidas al lanzar 3 veces la moneda E1: Lanzar 3 veces una moneda equilibrada Cada resultado es igualmente probable, su probabilidad es 1/8.

7. EJEMPLO 1 Valor Esperado y Varianza X: número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda =1,5 está en el centro de la distribución (debido a que la distribución es simétrica). La desviación estandar =0,87 indica la distancia promedio a la que están los valores de la variable del valor central .     1/8   1 3/8 3/8 =   2 3/8 6/8   3 1/8 3/8 =     Suma  12/8=3/2   = 1/8 1 3/8 3/8 2 3/8 6/8 3 1/8 3/8   Suma  12/8=3/2 X es una variable aleatoria discreta , toma un número finito de valores.

8. Función de Distribución Acumulada Variable Aleatoria Discreta Definición: Sea X una variable aleatoria discreta, la función Recibe el nombre de distribución acumulada o acumulativa de X   Ejemplo 1 X: número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda =  

9. Función de Distribución Acumulada Propiedades Definición: Sea X una variable aleatoria discreta, la función Recibe el nombre de distribución acumulada o acumulativa de X.     Propiedades Sea la funcición de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta, entonces:  

10. EJEMPLO 2 Variable Aleatoria E2: Elegir 3 artículos de una línea de producción para su inspección Espacio Muestral S= Eventos A: Obtener ningún artículo defectuoso en la muestra A: Obtener un artículo defectuoso en la muestra C: Obtener dos artículo defectuosos en la muestra d: Obtener 3 artículo defectuosos en la muestra   Definiendo la variable X: número de unidades defectuosas en la muestra Si bien son 8 los resultados posibles de este experimento, no son igualmente probable , razón por la cual para hallar la probabilidad de cada uno de los resultados recurriremos al diagrama de árbol.

11. 0,05 0,05 0,05 0,95 0,95 0,95 0,05 0,05 0,05 0,05 0,95 0,95 0,95 0,95 Distribución de Probabilidad X  P(X)=x   1 3 ( )=0,135275 2  3 ( )=0,007125 3   =0,000125 Distribución de Probabilidad X  P(X)=x 1 2 3 X: número de artículos defectuosos en la muestra E2: Elegir 3 artículos de una línea de producción para su inspección

12. Función de Distribución Acumulada Ejemplo 2 ,   X: número de artículos defectuosos en la muestra =   X 0,857375 0,857375 1 0,135375 0,99275 2 0,007125 0,999875 3 0,000125 1 1 X 0,857375 0,857375 1 0,135375 0,99275 2 0,007125 0,999875 3 0,000125 1 1 Distribución Acumulada

13. Modelos de Distribuciones Discretas de Probabilidad

14. Modelos de Distribuciones Discretas Ejemplos: Lanzar una moneda: C - X Elegir un artículo para su inspección: D - N Realizar una encuesta de opinión: F - C Experimento Bernoulli Distribución de Probabilidad

15. Modelos de Distribuciones Discretas   = = =   Valor Esperado Varianza Distribución Bernoulli

16. y Distribución Binomial Experimento Binomial

17. Distribución Binomial donde : es el número combinatorio que cuenta el número de resultados de “ n ” elementos, en los cuales se dieron “ x ” éxitos y “ ( n-x)” fracasos.  

18. 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 Distribución de Probabilidad X  P(X)=x   1 2   3   Distribución de Probabilidad X  P(X)=x 1 2 3 X: número de caras obtenidas al lanzar 3 veces la moneda E1: Lanzar 3 veces una moneda equilibrada Se trata de un experimento Binomial de parámetros n=3 y p=0,5 ya que cada lanzamiento es un experimento Bernoulli (dos resultados posibles) y “p” permanece constante.   Distribución de Probabilidad    

19. Ejercicio N°2 i) En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias de la línea de producción para verificar el porcentaje del número de defectos en el proceso. A partir de la información histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa es 0,05. El proceso se detiene en cualquier momento en que se encuentren dos o más defectos. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que la probabilidad de defectos se incremente. ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado día el proceso de producción se detenga?. ( Siendo Resulta:    

20. Ejercicio N°2 i) En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias de la línea de producción para verificar el porcentaje del número de defectos en el proceso. A partir de la información histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa es 0,05. El proceso se detiene en cualquier momento en que se encuentren dos o más defectos. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que la probabilidad de defectos se incremente. b) Suponga que la probabilidad de que se tenga un defecto se incrementa a 0,07. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga?. c) Calcule, para los ítems a y b, el valor esperado y la varianza. ¿Cómo afecta el incremento de p en los valores de E(X) y V(X). Explique.  

21. Distribución Hipergeom étrica

22. 1° Elección 2° Elección 3° Elección 3/5 2/4 4/6 2/5 2/4 1/4 3/4 4/5 3/4 4/4 1/5 2/6 1/4 Distribución Hipergeométrica El capataz de una fábrica tiene 4 hombres y 2 mujeres trabajando para él. Necesita elegir tres trabajadores para una labor especial y decide seleccionarlos al azar para no introducir algún sesgo en su selección. Confeccione un diagrama de árbol para indicar los resultados que integran el espacio muestral y asigne probabilidades a cada uno de dichos resultados. Se trata de un experimento Hipergeométrico de parámetros N=6; N E =2 y n=3 ya que cada elección es un experimento Bernoulli y la probabiiad de éxito cambia en cada elección. 1° Elección 2° Elección

23. 1° Elección 2° Elección 3° Elección 3/5 2/4 4/6 2/5 2/4 1/4 3/4 4/5 3/4 4/4 1/5 2/6 1/4 Distribución de probabilidad Distribución de Probabilidad X  P(X)=x   1 2   Distribución de Probabilidad X  P(X)=x 1 2         La probabilidad de éxito no permanece constante en cada elección, porque se muestrea una población finita, sin reposición,

24. ii ) Un determinado producto industrial se embarca en lotes de 20 unidades. Con el propósito de minimizar el número de artículos defectuosos enviados a los clientes, se instituyó un programa de inspección que consiste en tomar una muestra de 5 unidades de cada lote y rechazar el lote si se observa más de un artículo defectuoso. (Si el lote es rechazado, se prueba cada uno de sus elementos). Si un lote contiene 4 artículos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado? ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote? Siendo Resulta   Probabilidad de Rechazo Probabilidad de no rechazo  

25. Distribución de Poisson

26. ix ) Una empresa adjudicatario del sistema de peaje ha realizado un censo de tránsito y llegó a la conclusión de que, en promedio arriban a cierto puesto, 240 automóviles por hora. En base a esta apreciación, calcule la probabilidad de que lleguen: a) Un auto en un período de 1 minuto. b) Ningún auto en un período de 5 minutos. b) ¿Cuántos autos se espera que pasen por el peaje en un período de 1 minutos? ¿Y en 5 minutos? a) Como b) Como c) En 1 min: En 5 min:  

27. FIN Parte II