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Variable aleatoria

1. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 3ºMedio Liceo Miguel Rafael Prado Departamento de Matemática Profesora: Patricia Romero Ulloa Mackarena Mora

2. RECORDEMOS: VARIABLES CUALITATIVAS CUANTITATIVAS ORDINALES NOMINALES DISCRETAS CONTINUAS

3. VARIABLE ALEATORIA Una  variable aleatoria  o  variable   estocástica es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento  aleatorio . EXPERIMENTO ALEATORIO Experimento cuyo resultado no se puede predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles

4. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Formalmente se define una función de probabilidades como aquella función que asocia a cada elemento del espacio muestral ( x ) de una variable aleatoria ( X ) la probabilidad que éste tenga. Entonces, f ( x ) será una función de probabilidad de tal manera que tal que f ( x )  =  P ( x ) , donde P ( x ) es la probabilidad del elemento x del espacio muestral .  

5. 1. Si se define la variable aleatoria X = “el número de hombres que una pareja puede tener si tienen dos hijos” HH, HM, MH, MM}   P(X=2) = ¼ P(X=1) = ½ P(X=0) = ¼

6. 2. Se define la v.a. X = Sumar los puntos obtenidos al lanzar dos dados Suma de las caras Probabilidad f(x) = P(X=x) 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36  

7. La gráfica del caso anterior Probabilidad V.A. X= Suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados

8. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD También llamada “probabilidad acumulada”, e s la probabilidad de que la variable tome valores iguales o inferiores a x, es decir:   Suma de las caras Probabilidad f(x) = P(X=x) Función distribución 2 P(X=2)= 1/36 3 P(X=3)= 2/36 4 P(X=4)= 3/36 5 P(X=5)= 4/36 6 P(X=6)= 5/36 7 P(X=7)= 6/36 8 P(X=8)= 5/36 9 P(X=9)= 4/36 10 P(X=10)= 3/36 11 P(X=11)= 2/36 12 P(X=12)= 1/36 Suma de las caras Probabilidad f(x) = P(X=x) 2 P(X=2)= 1/36 3 P(X=3)= 2/36 4 P(X=4)= 3/36 5 P(X=5)= 4/36 6 P(X=6)= 5/36 7 P(X=7)= 6/36 8 P(X=8)= 5/36 9 P(X=9)= 4/36 10 P(X=10)= 3/36 11 P(X=11)= 2/36 12 P(X=12)= 1/36

9. La gráfica de la función de distribución es:

10. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA También llamada “valor esperado” o “media poblacional” de una variable aleatoria X, formaliza la idea de “valor medio” de un fenómeno aleatorio”. Se simboliza como y se calcula de la siguiente forma:   Del ejemplo anterior tenemos que:     Por lo tanto el valor esperado al lanzar dos dados y sumar sus puntos es 7

11. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria. Una distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria. La distribución binomial de una variable aleatoria X, se calcula: Donde: n = Número de ensayos o experimentos x = número de éxitos p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso (q = 1-p)   Además, recordar que:

12. Por ejemplo: Imaginemos que un 80% de personas en el mundo han visto el partido de la final del último mundial de futbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto? Definamos los datos del enunciado: n = 4 (total de la muestra) x = 3 (número de éxito, ya que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos la hayan visto) p = 0,8 (80% de probabilidad éxito, es decir, que hayan visto el partido) q = 0,2 (1 - 0,8 = 0,2, probabilidad de fracaso, es decir, que no hayan visto el partido) En la fórmula: = = = = =   La probabilidad de que 3 de los amigos hayan visto el partido es de 41%   Como   Recuerda que: Entonces  

13. ESPERANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL   VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL   DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPIA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL