Wzory na całki

Podstawowe wzory n całki nieoznaczone. Przydatne każdemu studentowi podczas zajęć.

1. Przykªad zbioru zada« www.TaskBook.pl
Wzory dla caªek
L.p.Caªka Funkcja pierwotna
1
R
0 dx C
2
R
dx x+C
3
R
xdx
1
2
x
2
+C
4
R
x
n
dx
1
n+1
x
n+1
+C,n6=1
5
R
1
x
dx lnjxj+C
6
R
cf(x) dx c
R
f(x) dx+C
7
R
sin(x) dx cos(x) +C
8
R
cos(x) dx sin(x) +C
9
R
tg(x) dx lnjcos(x)j+C
10
R
ctg(x) dx lnjsin(x)j+C
11
R
1
cos
2
(x)
dx tg(x) +C
12
R
1
sin
2
(x)
dx ctg(x) +C
13
R
e
x
dx e
x
+C
14
R
a
x
dx
a
x
lna
+C,a >0
15
R
1
x
2
+a
2dx
1
a
arctg

x
a

+C
16
R
1
x
2
a
2dx
1
2a
ln



xa
x+a


+C
17
R
1
p
a
2
x
2dx arcsin

x
a

+C
18
R
1
p
x
2
+a
dx lnjx+
p
x
2
+aj+C
19
R
[f(x) +g(x)] dx
R
f(x) dx+
R
g(x) dx+C
20
R
e
ax
dx
1
a
e
ax
+C
21
R
sin(ax) dx
1
a
cos(x) +C
22
R
cos(ax) dx
1
a
sin(x) +C
cWydawnictwo TaskBook 1

2. Przykªad zbioru zada« www.TaskBook.pl
W serwisiewww.TaskBook.plmo»esz wybra¢ zadania, które Ci¦ interesuj¡. Je»eli masz szcze-
gólny problem z zadaniem, nie potrasz zrozumie¢ jak je rozwi¡za¢, mo»esz je wybra¢ kilka
razy.
Poni»ej zobaczysz trzy typy zada«. Ka»de z nich zostaªo wygenerowane przez specjalny algorytm
po dwa razy.
Gwarantujemy, »e b¦dziesz zadowolony.Je»eli nie b¦dziesz, mo»esz odesªa¢ e-booka.
Zapraszamy na stron¦www.TaskBook.pl
Zadania
Zad. 1.[923486] Wyznaczy¢ caªk¦
R
(e
8y
9)
2
dy:
Roz.Podnosimy do pot¦gi formuª¦ podcaªkow¡
Z

e
8y
9

2
dy=
Z

e
16y
18e
8y
+ 81

dy=
1
16
e
16y

9
4
e
8y
+ 81y+C:
Zad. 2.[923486] Wyznaczy¢
R
(e
3y
7)
2
dy:
Roz.Upraszczamy formuª¦ podcaªkow¡
Z

e
3y
7

2
dy=
Z

e
6y
14e
3y
+ 49

dy=
1
6
e
6y

14
3
e
3y
+ 49y+C:
Zad. 3.[342913] Policzy¢ caªk¦
R
1
0
7tdt:
Roz.Wykorzystamy wzory
Z
t
n
dt=
1
n+ 1
t
n+1
+C
i Z
mf(t)dt=m
Z
f(t)dt:
Otrzymujemy
I=
Z
1
0
7tdt= 7

1
2
t
2

j
1
0=
7
2
t
2
j
1
0=
7
2
(1
2
0
2
) = 3
1
2
:
Zad. 4.[342913] Policzy¢ caªk¦
R
1
2
14z
4
dz:
Roz.Posªu»ymy si¦ dwoma wzorami
Z
z
n
dz=
1
n+ 1
z
n+1
+C
i Z
mf(z)dz=m
Z
f(z)dz:
Dostajemy
I=
Z
1
2
14z
4
dz= 14

1
5
z
5

j
1
2=
14
5
z
5
j
1
2=
14
5
(1
5
(2)
5
) = 92
2
5
:
Zad. 5.[630209] Obliczy¢ caªk¦
R
(2e
5x
+ 1)
2
dx.
Roz.Obliczamy
Z
(2e
5x
+ 1)
2
dx=
Z
(4e
10x
+ 4e
5x
+ 1)dx= 4
Z
e
10x
dx
|{z}
I1
+4
Z
e
5x
dx
|{z}
I2
+
Z
1dx
|{z}
I3
;
cWydawnictwo TaskBook 2

3. Przykªad zbioru zada« www.TaskBook.pl
W celu wyznaczeniaI1iI2u»yjemy metody podstawiania. W naszym przypadku mamy
I1=
Z
e
10x
dx=







t= 10x
dt= 10dx
dx=
1
10
dt







=
1
10
Z
e
t
dt:
Poniewa»
R
e
t
dt=e
t
+Cdostajemy
I1=
1
10
e
t
+C1=
1
10
e
10x
+C1:
Analogicznie dostajemy
I2=
Z
e
5x
dx=







y= 5x
dy= 5dx
dx=
1
5
dy







=
1
5
Z
e
y
dy:
Stosuj¡c wzór
R
e
y
dy=e
y
+Cmamy
I2=
1
5
e
y
+C2=
1
5
e
5x
+C2:
Ostatnia caªkaI3jest równa
I3=x+C3:
Ostatecznie dostajemy
Z
(2e
5x
+ 1)
2
dx=
2
5
e
10x
+
4
5
e
5x
+x+C:
Zad. 6.[630209] Policzy¢ caªk¦
R
(3e
2y
+ 3)
2
dy.
Roz.Liczymy
Z
(3e
2y
+ 3)
2
dy=
Z
(9e
4y
18e
2y
+ 9)dy= 9
Z
e
4y
dy
|{z}
I1
18
Z
e
2y
dy
|{z}
I2
+
Z
9dy
|{z}
I3
;
›eby wyznaczy¢I1iI2u»yjemy metody podstawiania. Dostajemy
I1=
Z
e
4y
dy=







x= 4y
dx= 4dy
dy=
1
4
dx







=
1
4
Z
e
x
dx:
Wykorzystuj¡c wzór
R
e
x
dx=e
x
+Cmamy
I1=
1
4
e
x
+C1=
1
4
e
4y
+C1:
Post¦puj¡c podobnie dostajemy
I2=
Z
e
2y
dy=







t= 2y
dt= 2dy
dy=
1
2
dt







=
1
2
Z
e
t
dt:
Wykorzystuj¡c wzór
R
e
t
dt=e
t
+Cmamy
I2=
1
2
e
t
+C2=
1
2
e
2y
+C2:
Ostatnia caªkaI3wynosi
I3= 9y+C3:
Ostatecznie dostajemy
Z
(3e
2y
+ 3)
2
dy=
9
4
e
4y
9e
2y
+ 9y+C:
cWydawnictwo TaskBook 3

4. CZY CHODZIŁEŚ NA WYKŁADY?
CZY ROBIŁEŚ NOTATKI?
CZY SZUKAŁES DODATKOWYCH
INFORMACJI W INTERNECIE?
CZY SZUKAŁES DODATKOWYCH
INFORMACJI W BIBLIOTECE?
POSZUKAJ INFORMACJI NA....SPRAWDŹ SWOJĄ WIEDZĘ NA....
CZY WSZYSTKO ROZUMIESZ?
CZY POŻYCZYŁES NOTATKI?
WSZYSTKIE DROGI PROWADZĄ DO TASKBOOK
www.taskbook.pl
TAK
TAK
NIE
NIE
TAKNIE
TAK NIE
TAK NIE
TAK NIE